1、人教版八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解单元练习题（含答案）一、选择题(共8小题,每小题分,共0分) 1.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2你根据图乙能得到的数学公式是（）A （a+b）（a-b）=a2-b2B （a-b）2=a2-2ab+b2Ca（a+b）=a2+abDa（a-b）=a2-ab2.若（x-a）（x+b）=x2+mx+n，则m，n分别为（）Am=b-a，n=-abBm=b-a，n=abCm=a-b，n=-abDm=a+b，n=-ab3.现有一列式子：552-452；5552-4452；5
2、5552-44452则第个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A 1.11111111016B 1.11111111027C 1.1111111056D 1.111111110174.计算：xn+1xn-1（xn）2的结果是（）A -1B 1C 0D 15.若3x+2y=3，求27x9y的值为（）A 9B 27C 6D 06.观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5. 请你猜想（a+b）10的展开式第
3、三项的系数是（）A 36B 45C 55D 667.若（x-5）（2x-n）=2x2+mx-15，则m、n的值分别是（）Am=-7，n=3Bm=7，n=-3Cm=-7，n=-3Dm=7，n=38.要使（y2-ky+2y）（-y）的展开式中不含y2项，则k的值为（）A -2B 0C 2D 3二、填空题 9.若x+3，分式(x)2=10.当a=-2时，（b-a）（a+b）（a2+b2）-（a4+b4）的值为11.已知82m16m=211，则m的值为12.若27m93=321，则m=13.用四个相同的长方形与一个小正方形无重叠、无缝隙地拼成一个大正方形的图案（如图），则由图形能得出（a-b）2=_（
4、化为a、b两数和与积的形式）.14.如图，在长为a、宽为b的长方形场地中，横向有两条宽均为n的长方形草坪，斜向有一条平行四边形的草坪，且其中一边长为m，则图中空地面积用含有a、b、m、n的代数式表示是15.给下列多项式添括号，使它们的最高次项系数变为正数. （1）-x2+x=_； （2）3x2-2xy2+2y2=_； （3）-a3+2a2-a+1=_； （4）-3x2y2-2x3+y3=_16.计算：（a2b）3=三、解答题 17.若x=3an，y=-a2n1，当a=2，n=3时，求anx-ay的值18.计算：（x+3）（x-5）-x（x-2）19.如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b
5、的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个正方形（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+120.天宫一号腾空之后某一时刻飞行速度是音速的22倍，而音速是3.4102米/秒，一架喷气式飞机的速度是5102米/秒，试问：这一时刻天宫一号腾空之后飞行速度是这架喷气式飞机的速度的几倍？21.工厂要做一个棱长为1.5103mm的正方体铁箱，至少要多少mm2的铁皮？第十四章 整式的乘法与因式分解单元练习题答案解析1.【答案】B【解
6、析】大正方形的面积=（a-b）2，还可以表示为a2-2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2故选B2.【答案】A【解析】（x-a）（x+b）=x2+mx+n，x2+（b-a）x-ab=x2+mx+n，m=b-a，n=-ab故选A3.【答案】D【解析】根据题意得：第个式子为5555555552-4444444452=（555555555+444444445）（555555555-444444445）=1.11111111017故选D4.【答案】B【解析】原式=x2nx2n=1，故选B5.【答案】B【解析】27x9y=33x32y=33x+2y=33=27，故选B6.【答案】B【解析】（a+
7、b）2=a2+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，2
8、52，210，120，45，10，1，则（a+b）10的展开式第三项的系数为45故选B7.【答案】C【解析】（x-5）（2x-n）=2x2+mx-15，2x2-（10+n）x+5n=2x2+mx-15，故5n15，m10n，解得m7 ，n3故选C8.【答案】C【解析】（y2-ky+2y）（-y）的展开式中不含y2项，-y3+ky2-2y2中不含y2项，k-2=0，解得k=2故选C9.【答案】5【解析】x+=3 （x-）2=x2+-2=（x+）2-4=9-4=5 故答案为510.【答案】-32【解析】（b-a）（a+b）（a2+b2）-（a4+b4）=（b2-a2）（a2+b2）-（a4+b4）
9、=（b4-a4）-（a4+b4）=-2a4；a=-2，原式=-2a4=-2（-2）4=-32故答案为-3211.【答案】【解析】82m16m=211，232m24m=211，23+m+4m=211，3+m+4m=11，m=，故答案为12.【答案】8【解析】原式等价于33m323=33m-2-1=321，3m-2-1=21解得m=8，故答案为813.【答案】（a+b）2-4ab【解析】小正方形的边长为（a-b），面积为（a-b）2，又小正方形的面积=大正方形的面积-4长方形的面积，小正方形面积为（a-b）2=（a+b）2-4ab，故答案为（a+b）2-4ab14.【答案】（b-2n）（a-m）【
10、解析】在长为a、宽为b的长方形场地中，横向有两条宽均为n的长方形草坪，斜向有一条平行四边形的草坪，且其中一边长为m，则图中空地面积用含有a、b、m、n的代数式表示是 （b-2n）（a-m），故答案为（b-2n）（a-m）15.【答案】（1）-（x2-x）（2）-（2xy2-3x2-2y2）（3）-（a3-2a2+a-1）（4）-（3x2y2+2x3-y3）【解析】（1）-x2+x=-（x2-x）； （2）3x2-2xy2+2y2=-（2xy2-3x2-2y2）； （3）-a3+2a2-a+1=-（a3-2a2+a-1）； （4）-3x2y2-2x3+y3=-（3x2y2+2x3-y3）.16.
11、【答案】-a6b3【解析】（a2b）3=-a6b3，故答案为-a6b317.【答案】解：anx-ay=an3an-a（-a2n1）=3a2n+a2na=2，n=3，3a2n+a2n=326+26=224【解析】把x=3an，y=-a2n1，代入anx-ay，利用同底数幂的乘法法则，求出结果18.【答案】解：原式=x2-5x+3x-15-x2+2x=-15【解析】根据多项式与多项式相乘的法则、单项式与多项式相乘的法则以及合并同类项法则计算即可19.【答案】解：（1）S1a2b2，S2=（a+b）（a-b）；（2）（a+b）（a-b）=a2-b2；（3）原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24
12、+1）（28+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（24-1）（24+1）（28+1）+1=（28-1）（28+1）+1=（216-1）+1=216【解析】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式；（2）根据面积相等可得（a+b）（a-b）=a2-b2；（3）从左到右依次利用平方差公式即可求解20.【答案】解：依题意得（3.4102）22（5102）=3.4225=14.96答：天宫一号腾空之后飞行速度是这架喷气式飞机的速度的14.96倍【解析】先计算出这一时刻天宫一号腾空之后飞行速度223.4102米/秒，再除以这架喷气式飞机的速度是5102米/秒即可，从而得出
13、答案21.【答案】解：正方体的表面积为6（1.5103）2=62.25106=1.35107mm2答：至少要1.35107mm2的铁皮【解析】根据正方体的表面积公式，可得积的乘方，根据积的乘方，可得答案人教版八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解单元测试(3)一、选择题（共 14 小题 ，每小题 3 分 ，共 42 分 ）1.若，则等于（ ）A.B.C.D.2.把多项式因式分解的结果是（ ）A.B.C.D.3.以下二次三项式在实数范围内一定不能分解因式的是（ ）A.B.C.D.4.代数式与的公因式是（ ）A.B.C.D.5.计算的结果是（ ）A.B.C.D.6.若为整数，则一定能被（ ）整除A
14、.B.C.D.7.下列多项式中，能运用公式法进行因式分解的是（ ）A.B.C.D.8.下列运算中，正确的是（ ）A.B.C.D.9.分解因式的正确结果是（ ）A.B.C.D.10.如果的展开式中只含有这一项，那么的值为（ ）A.B.C.D.不能确定11.设，如果，那么、的大小关系为（ ）A.B.C.D.不能确定12.若，那么的值是（ ）A.B.C.D.13.下多项式中，在实数范围内能分解因式的是（ ）A.B.C.D.14.若，且，则 A.B.C.D.卷II（非选择题）二、填空题（共 6 小题 ，每小题 3 分 ，共 18 分 ）15.已知，则_16.已知，则_17.若多项式是完全平方展开式，则
15、_18.要使多项式不含关于的二次项，则与的关系是_19.如图，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个完全相同的小长方形，然后按图的形状拼图图中的图形阴影部分的边长为_；（用含、的代数式表示）请你用两种不同的方法分别求图中阴影部分的面积；方法一：_；方法二：_观察图，请写出代数式、之间的关系式：_20.杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则_三、解答题（共 8 小题 ，共 90 分 ）21.(11分) 计算：；22.(11分) 因式分解：（1）（2）（3）23.（11分）关于的多项式分解因式后有一个因式是，试求
16、的值24.（11分）一个单项式加上多项式后等于一个整式的平方，试求这样的单项式并写出相应的等式（请写个）25.（11分）已知（、为整数）是及的公因式，求、的值26.（11分）已知展开后的结果中不含、项求的值27.（11分）老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别对这个多项式进行描述，（甲）：这是一个三次四项式；（乙）：常数项系数为；（丙）：这个多项式的前三项有公因式；（丁）：这个多项式分解因式时要用到公式法；若这四个同学的描述都正确，请你构造两个同时满足这些描述的多项式，并将它因式分解28.（13分）如图所示，某规划部门计划将一块长为米，宽为米的长方形地块进行改建，其中阴影部分进行绿化，
17、中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时的绿化面积答案1.C2.D3.D4.A5.B6.A7.C8.D9.D10.A11.A12.C13.D14.D15.16.17.18.相等19.20.21.解：；22.解：（1）；（2）；（3）23.解：，24.解：加，则；加，则；加，则25.解：二次三项式既是的一个因式，也是的一个因式，也必定是与差的一个因式，而，26.解：因为展开后的结果中不含、项所以所以27.解：28.解：（平方米），当，时，（平方米）人教版八年级上册数学第14章整式的乘法与因式分解单元测试题（解析版）一选择题（共10小题）1下列计算正确的是（）Aa（bc+d）a+
18、b+cdB3x2x1Cxx2x4x7D（a2）2a42已知a2+a30，那么a2（a+4）的值是（）A18B12C9D以上答案都不对3如果a2n1an+5a16，那么n的值为（）A3B4C5D64计算（4a2+12a3b）（4a2）的结果是（）A13abB3abC1+3abD13ab5若等式x2+ax+19（x5）2b成立，则 a+b的值为（）A16B16C4D46如果多项式y24my+4是完全平方式，那么m的值是（）A1B1C1D27如图的面积关系，可以得到的恒等式是（）Am（a+b+c）ma+mb+mcB（a+b）（ab）a2b2C（ab）2a22ab+b2D（a+b）2a2+2ab+b2
19、8下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A2x（x+3）2x2+6xB24xy23x8y2Cx2+2xy+y2+1（x+y）2+1Dx2y2（x+y）（xy）9已知xy3，x+y2，则代数式x2y+xy2的值是（）A6B6C5D110如图，长方形的长、宽分别为a、b，且a比b大5，面积为10，则a2bab2的值为（）A60B50C25D15二填空题（共8小题）11计算：0.6a2ba2b2（10a）a3b3 12如果（nx+1）（x2+x）的结果不含x2的项（n为常数），那么n 13若2018m6，2018n4，则20182mn 14如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b
20、的两个圆，则剩下的钢板的面积为 15已知m2n216，m+n6，则mn 16把a216分解因式，结果为 17已知42a2a+129，且2a+b8，求ab 18若实数a、b、c满足ab，bc1，那么a2+b2+c2abbcca的值是 三解答题（共7小题）19计算：（1）a3a2a4+（a）2；（2）（x22xy+x）x20（1）分解因式：x3x（2）分解因式：（x2）22x+421已知a，mn2，求a2（am）n的值若2n4n64，求n的值22已知a+b，ab求：（1）ab；（2）a2+b223如图，某市有一块长为（2a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间
21、将修建一座雕像（1）试用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？（2）若a3，b2，请求出绿化面积24图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中实现用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形（1）图b中，大正方形的边长是 阴影部分小正方形的边长是 ；（2）观察图b，写出（m+n）2，（mn）2，mn之间的一个等量关系，并说明理由25如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为神秘数”，如：42202，124222，206242，因此4，12，20这三个数都是神秘数（1）52和200这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2n和2n2（其中n取正整
22、数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数（取正整数）的平方差是神秘数吗？为什么2018年秋人教版八年级上册数学第14章 整式的乘法与因式分解单元测试题参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1下列计算正确的是（）Aa（bc+d）a+b+cdB3x2x1Cxx2x4x7D（a2）2a4【分析】根据去括号、合并同类项、同底数幂的乘法和幂的乘方计算判断即可【解答】解：A、a（bc+d）ab+cd，错误；B、3x2xx，错误；C、xx2x4x7，正确；D、（a2）2a4，错误；故选：C【点评】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键2已知a2+
23、a30，那么a2（a+4）的值是（）A18B12C9D以上答案都不对【分析】已知a2+a30则a2+a3，然后把所求的式子利用a2+a表示出来即可代入求解【解答】解：a2+a30，a2+a3a2（a+4）a3+4a2a3+a2+3a2a（a2+a）+3a23a+3a23（a2+a）339故选：C【点评】本题考查了整式的化简求值，正确利用a2+a表示出所求的式子是关键3如果a2n1an+5a16，那么n的值为（）A3B4C5D6【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得出关于n的方程，解出即可【解答】解：a2n1an+5a16，a2n1+n+5a16，即a3n+4a1
24、6，则3n+416，解得n4，故选：B【点评】本题考查了同底数幂的乘法，属于基础题，解答本题的关键掌握同底数幂的运算法则4计算（4a2+12a3b）（4a2）的结果是（）A13abB3abC1+3abD13ab【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案【解答】解：（4a2+12a3b）（4a2）13ab故选：A【点评】此题主要考查了整式的除法，正确掌握运算法则是解题关键5若等式x2+ax+19（x5）2b成立，则 a+b的值为（）A16B16C4D4【分析】已知等式利用完全平方公式整理后，利用多项式相等的条件求出a与b的值，即可求出a+b的值【解答】解：已知等式整理得：x2+ax+19（x
25、5）2bx210x+25b，可得a10，b6，则a+b10+64，故选：D【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键6如果多项式y24my+4是完全平方式，那么m的值是（）A1B1C1D2【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可【解答】解：多项式y24my+4是完全平方式，m1，故选：C【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键7如图的面积关系，可以得到的恒等式是（）Am（a+b+c）ma+mb+mcB（a+b）（ab）a2b2C（ab）2a22ab+b2D（a+b）2a2+2ab+b2【分析】根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论【解答】解：阴
26、影部分的面积a2b2；阴影部分的面积（a+b）（ab），则a2b2（a+b）（ab）故选：B【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键8下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A2x（x+3）2x2+6xB24xy23x8y2Cx2+2xy+y2+1（x+y）2+1Dx2y2（x+y）（xy）【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；B、不是因式分解，故本选项不符合题意；C、不是因式分解，故本选项不符合题意；D、是因式分解，故本选项符合题意；故选：D【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是
27、解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解9已知xy3，x+y2，则代数式x2y+xy2的值是（）A6B6C5D1【分析】根据因式分解法即可求出答案【解答】解：xy3，x+y2，x2y+xy2xy（x+y）6故选：A【点评】本题考查因式分解法，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型10如图，长方形的长、宽分别为a、b，且a比b大5，面积为10，则a2bab2的值为（）A60B50C25D15【分析】直接利用提取公因式法分解因式，进而得出把已知代入即可【解答】解：由题意可得：ab5，ab10，则a2bab2ab（ab）50故选：B【点评】此题主要考查了提取公因式
28、法分解因式，正确分解因式是解题关键二填空题（共8小题）11计算：0.6a2ba2b2（10a）a3b3a4b3【分析】根据整式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式a2ba2b2+10a4b3a4b3+10a4b3a4b3；故答案为： a4b3；【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型12如果（nx+1）（x2+x）的结果不含x2的项（n为常数），那么n1【分析】根据多项式的运算法则把括号展开，再合并同类项；找到含有x的二次项并让其系数为0，即可求出n的值【解答】解：（nx+1）（x2+x）nx3+nx2+x2+xnx3+（n+1）x2+x，（nx+1）
29、（x2+x）的结果不含x2的项，n+10，解得n1，故答案为：1【点评】本题主要考查单项式与多项式的乘法，运算法则需要熟练掌握，不含某一项就让这一项的系数等于0是解题的关键13若2018m6，2018n4，则20182mn9【分析】根据同底数幂的除法和幂的乘方解答即可【解答】解：因为2018m6，2018n4，所以20182mn（2018m）22018n3649，故答案为：9【点评】此题考查同底数幂的除法，关键是根据同底数幂的除法和幂的乘方法则计算14如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆，则剩下的钢板的面积为【分析】由大圆面积减去两个小圆的面积表示出剩下的钢板面积
30、即可【解答】解：由题意得：剩下的钢板面积为：（）2（）2（）2（a2+2ab+b2a2b2），故答案为：【点评】此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键15已知m2n216，m+n6，则mn【分析】根据（m+n）（mn）m2n2，再把m2n216，m+n6，代入求解【解答】解：m2n216，m+n6，（m+n）（mn）m2n2，即6（mn）16mn故答案是：【点评】本题主要考查平方差公式的运用，熟练掌握公式是解题的关键16把a216分解因式，结果为（a+4）（a4）【分析】利用平方差公式进行因式分解【解答】解：a216（a+4）（a4）故答案是：（a+4）（a4
31、）【点评】考查了因式分解运用公式法能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反17已知42a2a+129，且2a+b8，求ab9【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案【解答】解：42a2a+129，且2a+b8，222a2a+129，2+a+a+19，解得：a3，故23+b8，解得：b2，ab329故答案为：9【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确应用同底数幂的乘法运算法则是解题关键18若实数a、b、c满足ab，bc1，那么a2+b2+c2abbcca的值是3+【分析】利用完全平方公式将代数式变形：a2+b2+c2abbcca（2a2+
32、2b2+2c22ab2bc2ca） （ab）2+（bc）2+（ac）2，即可求代数式的值【解答】解：ab，bc1，ac+1a2+b2+c2abbcca（2a2+2b2+2c22ab2bc2ca） （ab）2+（bc）2+（ac）2a2+b2+c2abbcca3+故答案为：3+【点评】本题考查了因式分解的应用，利用完全平方公式将代数式变形是本题的关键三解答题（共7小题）19计算：（1）a3a2a4+（a）2；（2）（x22xy+x）x【分析】（1）根据同底数幂的乘法的法则计算即可；（2）根据多项式除单项式的法则计算即可【解答】解：（1）a3a2a4+（a）2a9+a2；（2）（x22xy+x）x
33、x2y+1【点评】本题考查了同底数幂的乘法，多项式除单项式，熟记法则是解题的关键20（1）分解因式：x3x（2）分解因式：（x2）22x+4【分析】（1）首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可；（2）直接提取公因式（x2）进而分解因式即可【解答】解：（1）原式x（x21）x（x+1）（x1）；（2）原式（x2）22（x2）（x2）（x4）【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确找出公因式是解题关键21已知a，mn2，求a2（am）n的值若2n4n64，求n的值【分析】利用同底数幂的乘法，找出原式a2+mn，再代入a，mn的值即可得出结论；由2n4n64可得出3n6，进
34、而可求出n的值【解答】解：原式a2amna2+mn（）4；2n4n2n22n23n64，3n6，n2【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，解题的关键是：（1）利用同底数幂的乘法，找出原式a2+mn；（2）利用幂的乘法找出3n622已知a+b，ab求：（1）ab；（2）a2+b2【分析】（1）根据（a+b）2（ab）24ab代入数据即可得到结论；（2）由于a2+b2（a+b）22ab，于是得到结论【解答】解：（1）a+b，ab（a+b）2（ab）24ab752，ab0.5（2）a2+b2（a+b）22ab720.56【点评】本题考查了对完全平方公式的应用，注意：完全平方公式是：
35、（a+b）2a2+2ab+b2，（ab）2a22ab+b223如图，某市有一块长为（2a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像（1）试用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？（2）若a3，b2，请求出绿化面积【分析】（1）绿化面积等于总面积减去中间正方形的面积；（2）代入a、b的值后即可求得绿化面积；【解答】解：（1）绿化的面积是（2a+b） （a+b）a22a2+3ab+b2a2a2+3ab+b2；（2）当a3，b2时，原式9+323+431平方米【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键24图a是一个长为2m、
36、宽为2n的长方形，沿图中实现用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形（1）图b中，大正方形的边长是m+n阴影部分小正方形的边长是mn；（2）观察图b，写出（m+n）2，（mn）2，mn之间的一个等量关系，并说明理由【分析】（1）依据图形即可得到大正方形的边长是m+n，阴影部分小正方形的边长是mn；（2）将等式（mn）2（m+n）24mn的左边或右边化简变形，即可得到结论成立【解答】解：（1）由图b可得，大正方形的边长是m+n，阴影部分小正方形的边长是mn；故答案为：m+n；mn；（2）（mn）2（m+n）24mn理由如下：右边（m+n）24mnm2+2mn+n24mnm22mn
37、+n2（mn）2左边，所以结论成立【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何证法，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释25如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为神秘数”，如：42202，124222，206242，因此4，12，20这三个数都是神秘数（1）52和200这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2n和2n2（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数（取正整数）的平方差是神秘数吗？为什么【分析】（1）根据定义进行判断即可；（2）根据平方差公式进行计算，可得这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数；（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可【解答】解：（1）5214212219614452是神秘数200不能表示成两个连续偶数的平方差，200不是神秘数（2）是理由如下：（2n）2（2n2）22（4n2）4（2n1）这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数（3）设这两个连续奇数为：2n1，2n+1 （x为正整数）（2n+1）2（2n1）28n而由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数【点评】此题主要考查了因式分解的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键
