1、九年级上册数学期末考试试题【答案】一选择题（满分30分，每小题3分）1用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（）A（2x2）（3x4）0，22x0或3x40B（x+3）（x1）1，x+30或x11C（x2）（x3）23，x22或x33Dx（x+2）0，x+202如图，在66的正方形网格中，ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tanBAC的值是（）ABCD3下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）Ax24x40Bx236x+360C4x2+4x+10Dx22x104如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（）ABCD5如
2、图，将ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若ACB30，则DAC的度数是（）A60B65C70D756下列事件中必然发生的事件是（）A一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式C200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品D随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数7已知反比例函数y，下列结论中不正确的是（）A图象必经过点（3，2）B图象位于第二、四象限C若x2，则0y3D在每一个象限内，y随x值的增大而减小8函数y2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解
3、析式是（）Ay2（x1）2+2By2（x1）22Cy2（x+1）2+2Dy2（x+1）229若圆锥的底面半径长是5，母线长是13，则该圆锥的侧面面积是（）A60B60C65D6510如图，O的半径为6，直径CD过弦EF的中点G，若EOD60，则弦CF的长等于（）A6B6C3D9二填空题（满分18分，每小题3分）11如图，双曲线y与抛物线yax2+bx+c交于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由图象可得不等式组0+bx+c的解集为 12如图，在ABC中，M、N分别是AB、AC上的点，MNBC，若SMBC：SCMN3：1，则SAMN：SABC 13如图，轮船从B处以每小时60
4、海里的速度沿南偏东20方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50方向上，轮船航行20分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10方向上，则C处与灯塔A的距离是 海里14在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中白球大约有 个15如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y（x0）的图象与正比例函数ykx、yx（k1）的图象分别交于点A、B若AOB45，则AOB的面积是 16设ABC外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，内心为I，延长AI交外接圆于D，则AIID 三解答题（共9小题，满分72分）17（6
5、分）水果店老板以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，老板决定降价销售（1）若这种水果每斤售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示，需要化简）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，老板需将每斤的售价定为多少元？18（6分）一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球（1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；（2）求摸出的两个小球号码之和等于4的概率19（6分
6、）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且ODBC，OD与AC交于点E（1）若B70，求CAD的度数；（2）若AB4，AC3，求DE的长20（6分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10，待加热到100，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（）和通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程设某天水温和室温为20，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：（1）分别求出当0x8和8xa时，y和x之间的关系式；（2）求出图中a的值；（3）李老师这天早
7、上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过40的开水，问他需要在什么时间段内接水21（7分）如图，将RtABC绕直角顶点A逆时针旋转90得到ADE，BC的延长线交DE于F，连接BD，若BC2EF，试证明BED是等腰三角形22（8分）如图，在ABC中，ACB90，O是边AC上一点，以O为圆心，以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D，在BC的延长线上取点F，使得BFEF（1）判断直线EF与O的位置关系，并说明理由；（2）若A30，求证：DGDA；（3）若A30，且图中阴影部分的面积等于2，求O的半径的长23（10分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，
8、投放市场进行试销据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？24（10分）如图1，ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BDCF，BDCF成立（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转（090）时，如图2，BDCF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（2）
9、当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45时，如图3，延长BD交CF于点G求证：BDCF；当AB4，AD时，求线段BG的长25（13分）已知：正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，设点B（4，4），点P（t，0）是x轴上一动点，过点O作OHAP于点H，直线OH交直线BC于点D，连AD（1）如图1，当点P在线段OC上时，求证：OPCD；（2）在点P运动过程中，AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时，求t的值；（3）如图2，抛物线yx2+x+4上是否存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由参考答案一选择题1用因式分解法解方程，
10、下列方法中正确的是（）A（2x2）（3x4）0，22x0或3x40B（x+3）（x1）1，x+30或x11C（x2）（x3）23，x22或x33Dx（x+2）0，x+20【分析】用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的因此第二、第三个不对，第四个漏了一个一次方程，应该是x0，x+20解：用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的因此第二、第三个不对，第四个漏了一个一次方程，应该是x0，x+20所以第一个正确故选：A【点评】此题考查了学生对因式分解方法应用的条件的理解，提高了学生学以致用的能力2如图，在66的正方形网格中，ABC的顶点都在小正方形的顶
11、点上，则tanBAC的值是（）ABCD【分析】过点B作BDAC，交AC延长线于点D，利用正切函数的定义求解可得解：如图，过点B作BDAC，交AC延长线于点D，则tanBAC，故选：C【点评】本题主要考查三角函数的定义，解题的关键是掌握正切函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做A的正切3下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）Ax24x40Bx236x+360C4x2+4x+10Dx22x10【分析】根据方程的系数结合根的判别式，分别求出四个选项中方程的根的判别式，利用“当0时，方程有两个相等的实数根”即可找出结论解：A、（4）241（4）320，该方程有两个不相等的实数根，A不符合题
12、意；B、（36）2413611520，该方程有两个不相等的实数根，B不符合题意；C、424410，该方程有两个相等的实数根，C符合题意；D、（2）241（1）80，该方程有两个不相等的实数根，D不符合题意故选：C【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键4如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（）ABCD【分析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，2据此可作出判断解：从左面看可得到从左到右分别是3，2个正方形故选：A【点评】本题考查几何体的三视图由几何体的俯视图及小
13、正方形内的数字，可知左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字5如图，将ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若ACB30，则DAC的度数是（）A60B65C70D75【分析】由旋转性质知ABCDEC，据此得ACBDCE30、ACDC，继而可得答案解：由题意知ABCDEC，则ACBDCE30，ACDC，DAC75，故选：D【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角旋转前、后的图形全等6下列事件中必然发生
14、的事件是（）A一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式C200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品D随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；故选：C【点
15、评】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键7已知反比例函数y，下列结论中不正确的是（）A图象必经过点（3，2）B图象位于第二、四象限C若x2，则0y3D在每一个象限内，y随x值的增大而减小【分析】根据反比例函数的性质进行选择即可解：A、图象必经过点（3，2），故A正确；B、图象位于第二、四象限，故B正确；C、若x2，则y3，故C正确；D、在每一个象限内，y随x值的增大而增大，故D正确；故选：D【点评】本题考查了反比例函数的选择，掌握反比例函数的性质是解题的关键8函数y2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（）Ay2（x1）2+2By2（
16、x1）22Cy2（x+1）2+2Dy2（x+1）22【分析】先确定物线y2x2的顶点坐标为（0，0），再把点（0，0）平移所得对应点的坐标为（1，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式解：抛物线y2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，2），所以平移后的抛物线解析式为y2（x1）22故选：B【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式9若
17、圆锥的底面半径长是5，母线长是13，则该圆锥的侧面面积是（）A60B60C65D65【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算解：该圆锥的侧面面积251365故选：D【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长10如图，O的半径为6，直径CD过弦EF的中点G，若EOD60，则弦CF的长等于（）A6B6C3D9【分析】连接DF，根据垂径定理得到，得到DCFEOD30，根据圆周角定理、余弦的定义计算即可解：连接DF，直径CD过弦EF的中点G，DCFEO
18、D30，CD是O的直径，CFD90，CFCDcosDCF126，故选：B【点评】本题考查的是垂径定理的推论、解直角三角形，掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键二填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11如图，双曲线y与抛物线yax2+bx+c交于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由图象可得不等式组0+bx+c的解集为x2xx3【分析】根据函数图象写出x轴上方且抛物线在双曲线上方部分的x的取值范围即可解：由图可知，x2xx3时，0ax2+bx+c，所以，不等式组0ax2+bx+c的解集是x2xx3故答案为：x2xx3【点评】本题考查了
19、二次函数与不等式组，此类题目，准确识图，利用数形结合的思想求解更简便12如图，在ABC中，M、N分别是AB、AC上的点，MNBC，若SMBC：SCMN3：1，则SAMN：SABC1：9【分析】根据三角形的面积得出MN：BC，进而利用相似三角形的性质解答即可解：SMBC：SCMN3：1，MN：BC1：3，MNBC，AMNABC，SAMN：SABC1：9，故答案为：1：9【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据三角形的面积得出MN：BC13如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50方向上，轮船航行20分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北
20、偏东10方向上，则C处与灯塔A的距离是海里【分析】作AMBC于M由题意得，DBC20，DBA50，BC6020海里，NCA10，则ABCABDCBD30由BDCN，得出BCNDBC20，那么ACBACN+BCN30ABC，根据等角对等边得出ABAC，由等腰三角形三线合一的性质得到CMBC10海里然后在直角ACM中，利用余弦函数的定义得出AC，代入数据计算即可解：如图，作AMBC于M由题意得，DBC20，DBA50，BC6020海里，NCA10，则ABCABDCBD502030BDCN，BCNDBC20，ACBACN+BCN10+2030，ACBABC30，ABAC，AMBC于M，CMBC10海
21、里在直角ACM中，AMC90，ACM30，AC（海里）故答案为：【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，余弦函数的定义，难度适中求出CMBC10海里是解题的关键14在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中白球大约有15个【分析】由摸到红球的频率稳定在0.25附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可解：设白球个数为：x个，摸到红色球的频率稳定在0.25左右，口袋中得到红色球的概率为0.25，解得：x15，即白球的个数为15个，故答案为：1
22、5【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键15如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y（x0）的图象与正比例函数ykx、yx（k1）的图象分别交于点A、B若AOB45，则AOB的面积是2【分析】根据AB两点分别在反比例函数和正比例函数图象上，且存在相同k值，可先证明点A横坐标和B纵坐标相等，利用旋转知识证明AOB面积为AOB的面积，再利用反比例函数k的几何意义解：如图，过B作BDx轴于点D，过A作ACy轴于点C设点A横坐标为a，则A（a，）A在正比例函数ykx图象上kak同理，设点B横坐标为b，则B（b，）ab2当点A坐标为（a，）时，点B坐标为（
23、，a）OCOD将AOC绕点O顺时针旋转90，得到ODABDx轴B、D、A共线AOB45，AOA90BOA45OAOA，OBOBAOBAOBSBODSAOC21SAOB2故答案为：2【点评】本题为代数几何综合题，考查了三角形全等、旋转和反比例函数中k的几何意义解答的切入点，是设出相应坐标，找出相关数量构造方程16设ABC外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，内心为I，延长AI交外接圆于D，则AIID2Rr【分析】如图作IFAB于F，设ABC的外心为O，作OMBD于M，连接OB、OD由AFIOMD，推出，可得DMAIRr，再证明DIDB2DM即可解决问题；解：如图作IFAB于F，设ABC的外心为O，
24、作OMBD于M，连接OB、ODOMBD，OBOD，BOMDOM，BMDM，BADBOD，FAIMOD，AFIOMD90，AFIOMD，DMAIRr，BAICAI，CAIDBE，ABICBI，又BIDABI+BAI，DBIDBC+IBC，DIBDBI，DBDI2DM，DMDI，DIAIRr，AIDI2Rr故答案为2Rr【点评】本题考查三角形的外心与内心、相似三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题三解答题（共9小题，满分72分）17（6分）水果店老板以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售
25、出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，老板决定降价销售（1）若这种水果每斤售价降低x元，则每天的销售量是100+200x斤（用含x的代数式表示，需要化简）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，老板需将每斤的售价定为多少元？【分析】（1）销售量原来销售量+下降销售量，据此列式即可；（2）根据销售量每斤利润总利润列出方程求解即可解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+20100+200x（斤）；故答案为：100+200x（2）设这种水果每斤售价降低x元，根据题意得：（42x）（100+200x）300
26、，解得：x或x1，当x时，销售量是100+200200260；当x1时，销售量是100+200300（斤）每天至少售出260斤，x1413，答：老板需将每斤的售价定为3元【点评】本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解18（6分）一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球（1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；（2）求摸出的两个小球号码之和等于4的概率【分析】（1）画树状图列举出所有情况；（2）让摸出的两个球号码之
27、和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种（2）由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，摸出的两个小球号码之和等于4的概率为【点评】本题考查借助树状图或列表法求概率如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）19（6分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且ODBC，OD与AC交于点E（1）若B70，求CAD的度数；（2）若AB4，AC3，求DE的长【分析】（1）根据圆周角定理可得ACB90，则CAB的度数即可求得，在等腰
28、AOD中，根据等边对等角求得DAO的度数，则CAD即可求得；（2）易证OE是ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得解：（1）AB是半圆O的直径，ACB90，又ODBC，AEO90，即OEAC，CAB90B907020，AODB70OAOD，DAOADO（180AOD）（18070）55，CADDAOCAB552035；（2）在直角ABC中，BCOEAC，AEEC，又OAOB，OEBC又ODAB2，DEODOE2【点评】本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是ABC的中位线是关键20（6分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放
29、满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10，待加热到100，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（）和通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程设某天水温和室温为20，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：（1）分别求出当0x8和8xa时，y和x之间的关系式；（2）求出图中a的值；（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过40的开水，问他需要在什么时间段内接水【分析】（1）由函数图象可设函数解析式，再将图中坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得y与x的关系式；（2）将y20代入y，即可
30、得到a的值；（3）要想喝到不超过40的开水，7：30加20分钟即可接水，一直到8：10；解：（1）当0x8时，设yk1x+b，将（0，20），（8，100）代入yk1x+b，得k110，b20，所以当0x8时，y10x+20；当8xa时，设y，将（8，100）代入，得k2800，所以当8xa时，y；故当0x8时，y10x+20；当8xa时，y；（2）将y20代入y，解得a40；（3）8：108分钟8：02，10x+2040，0x2，40，20x40所以李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前能喝到不超过40的热水，则需要在7：508：10时间段内接水【点评】本题考查了一次
31、函数与反比例函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出两个函数的解析式21（7分）如图，将RtABC绕直角顶点A逆时针旋转90得到ADE，BC的延长线交DE于F，连接BD，若BC2EF，试证明BED是等腰三角形【分析】根据直角三角形的两锐角互余，以及对顶角相等，旋转的性质，即可证得BF是DE的垂直平分线，据此即可证得证明：将RtABC绕直角顶点A逆时针旋转90得到ADE，DEBC，ADFABC，BC2EF，DFEF，DE2EF，在直角ABC中，ABC+ACB90，又ABCADE，ACB+ADE90FCDACB，FCD+ADE90，CFD90，BFDE，EFFD，BF垂直平分DE，BDBE，BD
32、E是等腰三角形【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键22（8分）如图，在ABC中，ACB90，O是边AC上一点，以O为圆心，以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D，在BC的延长线上取点F，使得BFEF（1）判断直线EF与O的位置关系，并说明理由；（2）若A30，求证：DGDA；（3）若A30，且图中阴影部分的面积等于2，求O的半径的长【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到AAEO，BBEF，于是得到OEG90，即可得到结论；（2）根据含30的直角三角形的性质证明即可；（3）由AD是O的直径，得到AED90，根据三角形
33、的内角和得到EOD60，求得EGO30，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论解：（1）连接OE，OAOE，AAEO，BFEF，BBEF，ACB90，A+B90，AEO+BEF90，OEG90，EF是O的切线；（2）AED90，A30，EDAD，A+B90，BBEF60，BEF+DEG90，DEG30，ADE+A90，ADE60，ADEEGD+DEG，DGE30，DEGDGE，DGDE，DGDA；（3）AD是O的直径，AED90，A30，EOD60，EGO30，阴影部分的面积rr2解得：r24，即r2，即O的半径的长为2【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积的计
34、算，正确的作出辅助线是解题的关键23（10分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？【分析】（1）根据“利润（售价成本）销售量”列出方程；（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；（
35、3）把y4000代入函数解析式，求得相应的x值，即可确定销售单价应控制在什么范围内解：（1）y（x50）50+5（100x）（x50）（5x+550）5x2+800x27500，y5x2+800x27500（50x100）；（2）y5x2+800x275005（x80）2+4500，a50，抛物线开口向下50x100，对称轴是直线x80，当x80时，y最大值4500；（3）当y4000时，5（x80）2+45004000，解得x170，x290当70x90时，每天的销售利润不低于4000元【点评】本题考查二次函数的实际应用建立数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解题关键是要读懂题目的意思，根
36、据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关系式和方程，再求解24（10分）如图1，ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BDCF，BDCF成立（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转（090）时，如图2，BDCF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45时，如图3，延长BD交CF于点G求证：BDCF；当AB4，AD时，求线段BG的长【分析】（1）ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，易证得BADCAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BDCF；（2）由BADCAF，可得ABMGCM，又由对顶
37、角相等，易证得BMACMG，根据相似三角形的对应角相等，可得BGCBAC90，即可证得BDCF；首先过点F作FNAC于点N，利用勾股定理即可求得AE，BC的长，继而求得AN，CN的长，又由等角的三角函数值相等，可求得AMAB，然后利用BMACMG，求得CG的长，再由勾股定理即可求得线段BG的长解（1）BDCF成立理由：ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，ABAC，ADAF，BACDAF90，BADBACDAC，CAFDAFDAC，BADCAF，在BAD和CAF中，BADCAF（SAS）BDCF（2）证明：设BG交AC于点MBADCAF（已证），ABMGCMBMACMG，BMACMG
38、BGCBAC90BDCF过点F作FNAC于点N在正方形ADEF中，ADDE，AE2，ANFNAE1在等腰直角ABC 中，AB4，CNACAN3，BC4在RtFCN中，tanFCN在RtABM中，tanABMtanFCNAMABCMACAM4，BMBMACMG，CG在RtBGC中，BG【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法25（13分）已知：正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，设点B（4，4），点P（t，0）是x轴上一动点，过
39、点O作OHAP于点H，直线OH交直线BC于点D，连AD（1）如图1，当点P在线段OC上时，求证：OPCD；（2）在点P运动过程中，AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时，求t的值；（3）如图2，抛物线yx2+x+4上是否存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）证OPCD，可以证明它们所在的三角形全等，即证明：AOPOCD；已知的条件有：AOPOCD90，OAOC4，只需再找出一组对应角相等即可，通过图示可以发现OAP、HAP是同角的余角，这两个角相等，那么证明三角形全等的全部条件都已得出，则结论可证（2）点P在x轴上运
40、动，那么就需分三种情况讨论：点P在x轴负半轴上；可以延续（1）的解题思路，先证明AOP、OCD全等，那么得到的条件是OPCD，然后用t表示OP、BD的长，再根据给出的相似三角形得到的比例线段，列等式求出此时t的值，要注意t的正负值的判断；点P在线段OC上时；由于OP、CD都小于等于正方形的边长（即OA、AB），所以只有OPBD时，给出的两个三角形才有可能相似（此时是全等），可据此求出t的值；点P在点C的右侧时；方法同（3）这道题要分两种情况讨论：线段PC为平行四边形的对角线，那么点Q、D关于PC的中点对称，即两点的纵坐标互为相反数，而QPCD，即Q、P的横坐标相同，那么先用t表示出Q点的坐标，代入抛物线的解析式中，即可确定t的值；线段PC为平行四边形的边；先用t表示出PC的长，把点D向左或向右平移PC长个单位就能表达出点Q的坐标，代入抛物线解析式后即可得到t的值（1）证明：ODAH，OAPDOC90AOD；正方形OABC中，OAOC4，AOPOCD90，即：，AOPOCDOPCD（2）解：点P在x轴负半轴上时，P（t，0），且t0，如图；在RtAOP中，OHAP，POHPAO90
