1、 第3章 自动控制系统的时域分析 3.1 典型输入作用和时域性能指标 3.2 一阶系统的瞬态响应 3.3 二阶系统的瞬态响应 3.4 高阶系统分析 3.5 稳定性和代数稳定判据 3.6 稳态误差分析3.1 典型输入作用和时域性能指标 3.1.0 时域分析 3.1.1 典型输入作用及其拉氏变换 3.1.2 瞬态过程和稳态过程 3.1.3 瞬态过程的性能指标 3.1.4 稳态过程的性能指标 3.1.5 对一个控制系统的要求指控制系统在一定的输入信号作用下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态性能和稳态性能。时域分析是一种在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观和准确的优点。由于系统的输出
2、量的时域表达式是时间的函数，所以系统的输出量的时域表达式又称为系统的时间响应。系统输出量的时域表示可由微分方程得到，也可由传递函数得到。在初值为零时，可利用传递函数进行研究，用传递函数间接的评价系统的性能指标。控制系统的性能指标，可以通过在输入信号作用下系统的瞬态和稳态过程来评价。系统的瞬态和稳态过程不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。3.1.0 时域分析这表明，在外作用加入系统之前系统是相对静止的，被控制量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零。典型初始状态:规定控制系统的初始状态均为零状态，即在 时 0t0)0()0()0(.yyy 3.1.0 时域分析 在分析和设计控制
3、系统时，需要确定一个对各种控制系统的性能进行比较的基础，这个基础就是预先规定一些具有特殊形式的测试信号作为系统的输入信号，然后比较各种系统对这些输入信号的响应。选取测试信号时必须考虑的原则：选取的输入信号的典型形式应反映系统工作时的大部分实际情况。选取外加输入信号的形式应尽可能简单，易于在实验室获得，以便于数学分析和实验研究。应选取那些能使系统工作在最不利情况下的输入信号作为典型的测试信号。在控制工程中采用下列五种信号作为典型输入信号 3.1.1 典型输入作用及其拉氏变换 脉冲函数：阶跃函数：tA)(tx0,0,0)(tAttxA阶跃幅度，A=1称为单位阶跃函数，记为1（t）。其拉氏变换后的像
4、函数为：sAtxL)(斜坡函数（速度阶跃函数）：0,0,0)(tBtttxB=1时称为单位斜坡函数。t)(txBttx)(其拉氏变换后的像函数为：2)(sBtxL 3.1.1 典型输入作用及其拉氏变换提示：上述几种典型输入信号的关系如下：21)(1)(23322AtdtdAtdtdtAdtdtA抛物线函数（加速度阶跃函数）：0,210,0)(2tCtttxC=1时称为单位抛物线函数。t)(tx221)(Cttx 其拉氏变换后的像函数为：3)(sCtxL正弦函数：，式中，A为振幅，为频率。tASintx)(其拉氏变换后的像函数为：22sinnnstAL 3.1.1 典型输入作用及其拉氏变换 分析
5、系统特性究竟采用何种典型输入信号，取决于实际系统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。当系统的输入具有突变性质时，可选择阶跃函数为典型输入信号；当系统的输入是随时间增长变化时，可选择斜坡函数为典型输入信号。讨论系统的时域性能指标时，通常选择单位阶跃信号作为典型输入信号。3.1.1 典型输入作用及其拉氏变换典型响应：单位脉冲函数响应单位脉冲函数响应：1)()(sGsY 单位阶跃函数响应单位阶跃函数响应：ssGsY1)()(单位斜坡函数响应单位斜坡函数响应：21)()(ssGsY 单位抛物线函数响应：单位抛物线函数响应：31)()(ssGsY提示：上述几种典型响应有如下关系：单位脉冲单位脉冲函数响
6、应函数响应单位阶跃单位阶跃函数响应函数响应单位斜坡单位斜坡函数响应函数响应单位抛物线单位抛物线函数响应函数响应积分积分积分积分积分积分微分微分微分微分微分微分 3.1.1 典型输入作用及其拉氏变换 在典型输入信号的作用下，任何一个控制系统的时间响应都由瞬态响应和稳态响应两部分组成。1瞬态响应：又称为瞬态过程或过渡过程。是指系统在典型输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到最终状态的响应过程。n 由于实际的控制系统存在惯性、阻尼及其它一些因素，系统的输出量不可能完全复现输入量的变化，瞬态过程曲线形态可表现为衰减振荡、等幅振荡和发散等形式。n 瞬态过程包含了输出响应的各种运动特性，这些特性称为系
7、统的瞬态性能。n 一个可以实际运行的控制系统，瞬态过程必须是衰减的。即系统必须是稳定的。3.1.2 瞬态响应和稳态响应 2稳态响应：又称为稳态过程。是指系统在典型输入信号的作用下，当时间趋近于无穷大时，系统的输出响应状态。n 稳态过程反映了系统输出量最终复现输入量的程度，包含了输出响应的稳态性能。n 从理论上说，只有当时间趋于无穷大时，才进入稳态过程，但这在工程应用中是无法实现的。因此在工程上只讨论典型输入信号加入后一段时间里的瞬态过程，在这段时间里，反映了系统主要的瞬态性能指标。而在这段时间之后，认为进入了稳态过程。3.1.2 瞬态响应和稳态响应 n 控制系统在典型输入信号的作用下的性能指标
8、，由瞬态性能指标和稳态性能指标两部分组成。n 由于稳定是控制系统能够正常运行的首要条件，因此只有当瞬态过程收敛（衰减）时，研究系统的瞬态和稳态性能才有意义。n 在工程应用上，通常使用单位阶跃信号作为测试信号，来计算系统时间域的瞬态和稳态性能。3.1.3 瞬态过程的性能指标 描述稳定的系统在单位阶跃信号作用下，瞬态过程随时间t的变化状况的性能指标，称为瞬态性能指标，或称为动态性能指标。为了便于分析和比较，假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态，而且输出量及其各阶导数均等于零。稳定控制系统的单位阶跃响应曲线有衰减振荡和单调上升两种类型。3.1.3 瞬态过程的性能指标（一）衰减振荡：具有衰减振
9、荡的瞬态过程如图所示：延迟时间 ：dt输出响应第一次达到稳态值的50%所需的时间。)(y 上升时间 ：rt输出响应第一次达到稳态值y()所需的时间。或指由稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间。rt 3.1.3 瞬态过程的性能指标（衰减振荡）最大超调量(简称超调量)：%100)()(%maxyyy式中：输出响应的最大值；maxy)(lim)(tyyt稳态值；输出响应超过稳态值达到第一个峰值ymax所需要的时间。峰值时间 ：pt)(yptmaxy瞬态过程中输出响应的最大值超过稳态值的百分数。调节时间或过渡过程时间 ：st当 和 之间的误差达到规定的范围之内一般取 的5%或2%，称允许误差范
10、围，用D表示且以后不再超出此范围的最小时间。即当 ，有：)(ty)(y)(ystt)52(%)(|)()(|或DDyyty)(02.0)(05.0yy或st 3.1.3 瞬态过程的性能指标（衰减振荡）振荡次数N：srpttt,在上述几种性能指标中，表示瞬态过程进行的快慢，是快速性指标；而 反映瞬态过程的振荡程度，是振荡性指标。其中 和 是两种最常用的性能指标。N%,%st)(y在调节时间内，y(t)偏离 的振荡次数。或在0tts时，系统的输出响应进入稳态过程。稳态过程的性能指标主要是稳态误差。当时间趋于无穷大时，若系统的输出量不等于输入量，则系统存在稳态误差，稳态误差是控制系统精度或抗干扰能力
11、的一种度量。)(lim)(lim0ssEteestss稳态过程的性能指标式中：e(t)=给定输入值-实际输出值（单位反馈）；E(s)是系统的误差。3.1.4 稳态过程的性能指标 系统应该是稳定的；系统达到稳态时，应满足给定的稳态误差的要求；系统在瞬态过程中应有好的快速性。简称为：稳、准、快 3.1.5 对一个控制系统的要求q 时域分析q 典型输入作用极其之间的关系q 典型响应及其之间的关系q 瞬态过程和稳态过程q 瞬态过程的性能指标(有衰减振荡和单调变化之分)q 稳态过程的性能指标(稳态误差)q 对一个控制系统的要求(稳、准、快)3.1.6 小结 3.2 一阶系统的瞬态响应 3.2.1 一阶系
12、统的数学模型 3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应 3.2.3 一阶系统的单位阶跃响应 3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应 3.2.5 一阶系统的单位加速度响应 3.2.6 一阶系统的瞬态性能指标 3.2.7 减小一阶系统时间常数的措施其闭环传递函数为：11111)()()(TssRsYsKssKsK式中，称为时间常数，开环放大系数越大，时间常数越小。KT1 由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其传递函数是 s的一次有理分式。一阶系统的微分方程为：)(sY-sK)(sE)(sR典型的一阶系统的结构图如图所示。)()()(trtydttdyT 3.2.1 一阶系统的数学模型当一阶系统的输入信号为
13、单位脉冲信号r(t)=(t)，其拉氏变换为R(s)=1，则系统的输出为:TsTTsTssRsY/1/1111)()(上式的拉氏反变换称为一阶系统的单位脉冲响应：01)(teTtyTt，一阶系统的单位脉冲响应曲线：一阶系统的单位脉冲响应曲线为单调下降的指数曲线，时间常数T越大，响应曲线下降越慢，表明系统受到脉冲输入信号后，恢复到初始状态的时间越长。单位脉冲响应的终值均为零。3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应 显然一阶系统的单位阶跃响应是一条由零开始按指数规律单调上升并最终趋于1的曲线。ssR1)(,111)(sTssYTteTssLsTsLty1111111)(1111)()()(TssRsYs
14、当 时一阶系统的单位阶跃响应曲线：3.2.3 一阶系统的单位阶跃响应n 单位阶跃响应曲线是单调上升的指数曲线，为非周期响应；n 时间常数T反映了系统的惯性，时间常数T越大，表示系统的惯性越大，响应速度越慢，系统跟踪单位阶跃信号越慢，单位阶跃响应曲线上升越平缓。反之，惯性越小，响应速度越快，系统跟踪单位阶跃信号越快，单位阶跃响应曲线上升越陡峭。由于一阶系统具有这个特点，工程上常称一阶系统为惯性环节或非周期环节。3.2.3 一阶系统的单位阶跃响应-特点n 单位阶跃响应曲线的斜率为：1()tTy teT0,1)(tetyTt显然在t=0处的斜率为1/T，并且随时间的增加斜率变小。下表表示了单位阶跃响
15、应曲线上各点的值、斜率与时间常数T之间的关系。根据这一特点，可用实验的方法测定一阶系统的时间常数，或测定系统是否属于一阶系统。3.2.3 一阶系统的单位阶跃响应-特点n 一阶系统跟踪单位阶跃信号时，输出量和输入量之间的位置误差随时间减小，最后趋于零。输出量和输入量之间的位置误差：Ttetytte)()(1)(稳态位置误差：0lim)(limTtttete 3.2.3 一阶系统的单位阶跃响应-特点当一阶系统的输入信号为单位斜坡信号r(t)=t，其拉氏变换为R(s)=1/s2，则系统的输出为:TsTsTssTsTssRsY/111111)()(22上式的拉氏反变换称为一阶系统的单位斜坡响应：()(
16、1),0tTy ttTet 一阶系统的单位斜坡响应曲线：曲线1表示输入单位斜坡信号r(t)=t，曲线2和曲线3分别表示系统时间常数等于T和2T时的单位斜坡响应曲线。3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应n 一阶系统在跟踪单位斜坡信号时，总是存在位置误差，并且位置误差的大小随时间而增大，最后趋于常值T。位置误差的大小与系统的时间常数T也有关，T越大，位置误差越大，跟踪精度越低。反之，位置误差越小，跟踪精度越高。3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应特点系统的输入量和输出量之间的位置误差为：)1()()()(TteTtytrte系统的稳态位置误差为：TeTteTttt)1(lim)(limn 单位斜坡响应
17、曲线的斜率为：()1tTy te 显然在t=0时其斜率为零，并且随时间的增加斜率变大，最大斜率为1。3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应特点当一阶系统的输入信号为单位加速度信号r(t)=t2/2，其拉氏变换为R(s)=1/s3，则系统的输出为:上式的拉氏反变换称为一阶系统的单位加速度响应：TsTsTsTssTsTssRsY/111111)()(222330)1(21)(22teTTtttyTt，一阶系统的单位加速度响应曲线：曲线1表示输入单位加速度信号r(t)=t2/2，曲线2和曲线3分别表示系统时间常数等于T和2T时的单位加速度响应曲线。3.2.5 一阶系统的单位加速度响应n 一阶系统在跟踪单
18、位加速度信号时，总是存在位置误差，而且位置误差的大小随时间而增大，最后趋于无穷大。因此，一阶系统不能实现对单位加速度信号的跟踪。n 系统的输入量和输出量之间的位置误差为：系统的稳态位置误差为：)1()()()(2TteTTttytrte)1(lim)(lim2TttteTTtte 3.2.5 一阶系统的单位加速度响应特点n 单位脉冲信号与单位阶跃信号的一阶导数、单位斜坡信号的二阶导数和单位加速度信号的三阶导数相等。n 单位脉冲响应与单位阶跃响应的一阶导数、单位斜坡响应的二阶导数和单位加速度响应的三阶导数也相等。3.2.5 一阶系统的单位加速度响应线性系统的特点 3.2.5 一阶系统的单位加速度
19、响应线性系统的特点结论一：一阶系统对输入信号导数的响应，等于一阶系统对该输入信号响应的导数。结论二：这个性质是线性定常系统的一个重要特性，适用于任何阶的线性定常系统，而线性时变系统和非线性系统则不具有这个特性。由：得：n 延迟时间td：延迟时间定义为输出响应第一次达到稳态值的50%所需的时间。Ttde15.0Ttd693.0n 上升时间tr：设一阶系统输出响应达到10%稳态值的时间为t1，达到90%稳态值的时间为t2，则有:Tte111.0Tte219.0Tt10536.01Tt30259.22解得：所以上升时间tr为：Ttttr197.212 3.2.6 一阶系统的瞬态性能指标n 调整时间t
20、s:假设系统的误差带宽度为D,则根据调整时间的定义有:TtseD1%1DDD5324%ln，TTTts得：n 峰值时间tp 和超调量%：一阶系统的单位阶跃响应曲线为单调上升的指数曲线，没有振荡，所以峰值时间和超调量不存在。3.2.6 一阶系统的瞬态性能指标n 一阶系统的时间常数T对系统性能起着非常重要的作用，时间常数不仅影响一阶系统的响应速度，还影响系统跟踪输入信号的精度。n 对于不同的输入信号，时间常数越大，系统的响应速度越慢，跟踪精度越低。n 对于大多数的实际工程系统，通常希望有较小的时间常数。方法一 通过负反馈减小时间常数:11)(TssG原系统为:，加入负反馈如下图：反馈后系统的闭环传
21、递函数为：1111()11111KTssTT ssTs 3.2.7 减小一阶系统时间常数的措施 方法二 在系统的前向通道上串联一个比例环节。原系统为：传递函数为：11)(0Tss改进后系统为：11111111)(sTsTsKsKsKsTT 3.2.7 减小一阶系统时间常数的措施 例：已知一阶系统的方块图如图所示。试求该系统单位阶跃响应的调整时间ts；若要求ts0.1秒，求此时的反馈系数。)(sC-s100)(sR0.1解：由系统方块图求出闭环传递函数：11.010101001.01001100)()()(sssssRsYs由闭环传递函数知时间常数T=0.1秒所以：ts=3T=0.3秒（D0.0
22、5）3.2.7 减小一阶系统时间常数的措施 若要求ts0.1秒，求此时的反馈系数。可设反馈系数为k101.011001100)()()(skkksssRsYs当 ，则 ，即 时ts0.1秒kT01.01.003.03kTts3.0k)(sC-s100)(sRk由此可知：对一阶系统而言反馈加深可使调节时间减小。反馈加深对系统的响应还有什么影响？)1(310)(30tety由此可知：反馈加深还将使输出幅值减小。)3011(31013010013.01001100)(ssssssssY 3.2.7 减小一阶系统时间常数的措施 Step ResponseTime(sec)Amplitude00.10.
23、20.30.40.50.60123456789101.0k3.0k 3.2.7 减小一阶系统时间常数的措施 一阶系统的传递函数和典型方块图 一阶系统的单位阶跃响应(单调上升曲线，性能指标常用调整时间)系统对输入信号导数的响应等于对输入信号响 应的导数减小一阶系统时间常数的方法 3.2.8 小结 3.3 典型二阶系统的瞬态性能 3.3.1 典型二阶系统的数学模型 3.3.2 典型二阶系统的单位阶跃响应 3.3.3 典型二阶系统的瞬态性能指标 3.3.4 二阶系统瞬态性能的改善开环传递函数为:sssGnn2)(22闭环传递函数为:2222)(1)()(nnnsssGsGs)2(2nnss)(sR)
24、(sY-典型结构的二阶系统如右图所示：由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化为二阶系统来研究。典型二阶系统的微分方程：0)()(2)(222ttrtydtdyTdttydT，3.3.1 典型二阶系统的数学模型 称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数，称为无阻尼振荡圆频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征参数。T称为二阶系统的时间常数。)(sn1212)(1)()(22222TssTsssGsGsnnn122,1nnp其特征根为：二阶系统的特征方程为：0222nnss 3.3.1 典型二阶系统的数学模型注意：当 不同时，特征
25、根有不同的形式，系统的阶跃响应形式也不同。它的阶跃响应有振荡和非振荡两种情况。当 时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。0 当 时，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。10 当 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。1 当 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。1122,1nnp 3.3.1 典型二阶系统的数学模型当输入为单位阶跃函数时，有：ssR1)(ssssssYnnn121)()(222222221)()(nnnssssss
26、Y0cos1)(tttyn当 时，极点为：0njp2,1 此时输出将以频率 做等幅振荡，所以,称为无阻尼振荡圆频率。nn121)()(22211sssLssLtynnn 3.3.2 典型二阶系统的单位阶跃响应输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差：0cos)(1)()()(tttytytrten，误差曲线呈现等幅振荡形式。即系统在无阻尼情况下，不能跟踪输入的单位阶跃信号。3.3.2 典型二阶系统的单位阶跃响应2222222121)(nnnnnnssssssssY2222)()(221nnnnnssss222)1()(1nnnnsss222222)1()()1()(1nnnnnnssss 当 时，系统
27、极点为：1022,11nnjp 称为阻尼振荡频率。21nd 3.3.2 典型二阶系统的单位阶跃响应0,)1sin(1)1cos(1)(222tttetynntn22222222)1()(11)1()(1nnnnnnssss)sin()(22btebasbat)cos()(22btebasasat0,)11sin(11)(2122ttgtetyntn 3.3.2 典型二阶系统的单位阶跃响应0,)11sin(11)(2122ttgtetyntn 3.3.2 典型二阶系统的单位阶跃响应n 在欠阻尼(0-p2时，在两个衰减的指数项中，后者衰减的速度远远快于前者，即此时二阶系统的瞬态响应主要由前者来决定
28、，或者说主要由极点p1决定，因而过阻尼二阶系统可以由具有极点-p1的一阶系统来近似表示。3.3.2 典型二阶系统的单位阶跃响应 上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应形式如下表所示：单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根 衰减振荡一对共轭复根(左半平面）等幅周期振荡一对共轭虚根 无阻尼,0njs2,1欠阻尼,1o22,11nnjs临界阻尼，1)(2,1重根ns过阻尼，1122,1nns 3.3.2 典型二阶系统的单位阶跃响应可以看出：随着 的增加，y(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦
29、运动，当 时y(t)呈现单调上升运动(无振荡)。可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。1 3.3.2 典型二阶系统的单位阶跃响应（一）衰减振荡瞬态过程 ：)10(0,)11sin(11)(2122ttgtetyntn 上升时间 ：根据定义，当 时，。rtt rt1)(rty1)11sin(112122tgterntrn0)11sin(212tgtrn，210211212kktgtrn 3.3.3 典型二阶系统的性能指标（衰减振荡瞬态过程）取 k=0，得：)1(111121212tgtgtdnr 称为阻尼角，这是由于 。cos21)(tgtg而21ndrt)1(21tg2211nntgn
30、21nj21njn 3.3.3 典型二阶系统的性能指标（衰减振荡瞬态过程）峰值时间 ：当 时，ptptt 0)(pty0)cos(1)sin(1)(22pddtpdtntetetypnpntgttgndpd21)(整理得：,.)2,1,0(nntpd由于 出现在第一次峰值时间，取n=1，有：dnpt21pt0,)sin(11)(2ttetydtn211tg其中0)cos()sin(pddpdntt 3.3.3 典型二阶系统的性能指标（衰减振荡瞬态过程）00.10.20.30.40.50.60.70.80.910510152025rnpnttdrtdpt 3.3.3 典型二阶系统的性能指标（衰减
31、振荡瞬态过程）sin11)sin(11)(212122eetyp 最大超调量 ：%max)()(ytytyp得将峰值时间 代入dpt0,)sin(11)(2ttetydtn21sinn21nj21njn211)(etyp%100)1)(%100)()()(%pptyyyty故：%100%21e%100%10021ctgeenn 3.3.3 典型二阶系统的性能指标（衰减振荡瞬态过程）最大超调量仅与阻尼系数有关。3.3.3 典型二阶系统的性能指标（衰减振荡瞬态过程）调节时间 ：st可见，写出调节时间的表达式是困难的。由右图可知响应曲线总在一对包络线之内。包络线为：根据调节时间的定义，当tts时|y
32、(t)-y()|y()%。%)1tgsin(1212Dtedtn211)(tbnety 3.3.3 典型二阶系统的性能指标（衰减振荡瞬态过程）nst%)1ln(2D当t=ts时，有：由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快，因此可用包络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲线的包络线进入误差带时，调整过程结束。当 较小时，近似取：，且1124912.3)02.0ln(3996.2)05.0ln(时当时当52,3,4nnst所以%1112Dsnte 3.3.3 典型二阶系统的性能指标（衰减振荡瞬态过程）说明：n 调整时间与系统特征根的实部数值成反比。系统特征根距虚轴的距离越远，系统的
33、调整时间越短。n 由于阻尼系数的选取主要是根据对系统超调量的要求来确定的，所以调整时间主要由无阻尼振荡频率n决定。n 若能保持阻尼系数不变而增加无阻尼振荡频率n值，则可以在不改变超调量的情况下缩短调整时间。52当当,3,4nnst22,11nnjp 3.3.3 典型二阶系统的性能指标（衰减振荡瞬态过程）5.振荡次数N：振荡次数定义为在0=t1，其单位阶跃响应为：01)11(1211)(21222121212)1(2)1(2teTTTeTTTeetyTtTtttnn，同样可以根据确定的阻尼系数 值，由牛顿迭代法求得系统的调整时间。比如：当1.25时：DD5/6.62/4.8，nnst 3.3.3
34、 典型二阶系统的性能指标（单调上升瞬态过程）过阻尼二阶系统的无因次调整时间曲线 3.3.3 典型二阶系统的性能指标（单调上升瞬态过程）通常，都希望控制系统有较快的响应时间，即希望系统的阻尼系数在01之间。而不希望处于过阻尼情况(1)，因为调节时间过长。但对于一些特殊的系统不希望出现超调系统（如液位控制）和大惯性系统（如加热装置），则可以处于(1)的情况。需要说明的是，在所有非振荡过程中，临界阻尼系统的调节时间最小。3.3.3 典型二阶系统的性能指标（单调上升瞬态过程）极点位置与阶跃响应形式的关系单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根 衰减振荡一对共轭复根(
35、左半平面）等幅周期振荡一对共轭虚根 无阻尼,0njs2,1欠阻尼,1o22,11nnjs临界阻尼，1)(2,1重根ns过阻尼，1122,1nns 3.3.3 典型二阶系统的性能指标（小结）阻尼系数、阻尼角与最大超调量的关系=cos-1%=cos-1%0.184.2672.90.6946.3750.278.4652.70.745.574.60.372.5437.230.707454.30.466.4225.380.7838.7420.56016.30.836.871.50.653.139.840.925.840.15极点位置与特征参数、n及性能指标的关系 3.3.3 典型二阶系统的性能指标（小结
36、）极点距虚轴的距离与系统的调整时间成反比(00.8)n是极点到原点的直线距离，距离越大振荡频率越高。对于临界阻尼和过阻尼情况，此规律也存在。3.3.3 典型二阶系统的性能指标（小结）二阶系统超调产生过程1.0,t1误差信号为正，产生正向修正作用，以使误差减小，但因系统阻尼系数小，正向速度大，造成响应出现正向超调。2.t1,t2误差信号为负，产生反向修正作用，但开始反向修正作用不够大，经过一段时间才使正向速度为零，此时输出达到最大值。3.t2,t3误差信号为负，此时反向修正作用大，使输出返回过程中又穿过稳态值，出现反向超调。4.t3,t4误差信号为正，产生正向修正作用，但开始正向修正作用不够大，
37、经过一段时间才使反向速度为零，此时输出达到反向最大值。3.3.4 改善二阶系统响应特性的措施二阶系统超调产生原因1.0,t1 正向修正作用太大，特别在靠近t1 点时。2.t1,t2 反向修正作用不足。减小二阶系统超调的思路1.0,t1 减小正向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。2.t1,t2 加大反向修正作用。附加与原误差信号同向的信号。3.t2,t3减小反向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。4.t3,t4 加大正向修正作用。附加与原误差信号同向的信号。即在0,t2 内附加一个负信号，在t2,t4内附加一个正信号。减去输出的微分或加上误差的微分都具有这种效果。3.3.4 改善二阶系统响
38、应特性的措施为了改善系统性能而改变系统的结构、参数或附加具有一定功能的环节的方法称为对系统进行校正。附加环节称为校正环节。比例微分控制和速度反馈是较常用的校正方法。1比例微分控制：比例微分控制，通常是在系统的前向通道上加入比例微分控制环节，该环节由比例环节和微分环节并联而成，其传递函数为：skksGdpc)(式中，和kp和kd分别称为比例和微分系数。3.3.4 改善二阶系统响应特性的措施-比例微分控制具有比例微分校正的二阶系统的闭环传递函数为:pndnndpnksksskksRsYs2222)2()()()()(改写为:2222)(1)(kdkdkdkdsszszs2dnkdnpkdkk，,d
39、pkkz 其中:二阶系统引进比例微分校正后，当比例系数kp1时，系统的无阻尼振荡频率kd和阻尼系数kd都增大了，这是否表明系统的超调量和调整时间都将减小，从而使系统的瞬态性能得到改善呢？现在还不能下结论。3.3.4 改善二阶系统响应特性的措施-比例微分控制具有零点的二阶系统的零、极点位置：2222)(1)(nnnsszszs22212211nnnnzzlztgtg，1-3.3.4 改善二阶系统响应特性的措施-比例微分控制系统的单位阶跃响应为：)()()2(1)2(1)()(21222222sYsYsssszssssssYnnnnnn)2(1)(,)2()(22222221nnnnnnssssz
40、sYssssY01sin11)11sin(11)()()(22212221tteztgtetytytyntnntnn，分别为典型二阶系统的单位阶跃响应和附加零点引起的分量。2222)(1)(nnnsszszs 3.3.4 改善二阶系统响应特性的措施-比例微分控制)2(1)(,)2()(22222221nnnnnnsssszsYssssY)(1)(12ssYzsY又：即：dttdyzty)(1)(12因此，具有附加零点二阶系统的单位阶跃响应还可以写为：dttdyztyty)(1)()(11由图看出：由于y2的影响，使得具有附加零点的二阶系统比典型二阶系统的单位阶跃响应具有更快的响应速度和更大的超
41、调量。3.3.4 改善二阶系统响应特性的措施-比例微分控制为了更加清楚地说明附加零点对二阶系统的影响，用表示附加零点与典型二阶系统复数特征根的实部之比，即：nz附加零点位置对y(t)的影响 随着的减小，即附加零点越趋向于虚轴，y(t)的超调量将明显增大，附加零点对系统的影响愈加显著。3.3.4 改善二阶系统响应特性的措施-比例微分控制具有附加零点的二阶系统主要性能指标 y(t)紧凑形式：)1sin(11)(22tzletyntn2超调量%：%,1002%21)(222errzrn/21)(nrt1上升时间tr 3调整时间ts：)5(1)ln3()2(1)ln4(DD，nsnszltzlt 3.
42、3.4 改善二阶系统响应特性的措施-比例微分控制-主要性能指标 与超调量%的关系 超调量%与的关系:例如：当=0.3，=7或=0.5，=4时，附加零点对系统超调量的影响可以忽略。3.3.4 改善二阶系统响应特性的措施-比例微分控制l 典型二阶系统引入比例微分校正后，系统的无阻尼振荡频率n和阻尼系数都可以增加。从这个角度说，系统的超调量和调整时间可以减小。l 同时系统的表现形式变为附加了一个零点的二阶系统，附加一个零点的二阶系统相对典型二阶系统（在无阻尼振荡频率n和阻尼系数不变的情况下）来说，超调量增大，响应速度加快。l 综合起来，典型二阶系统引入比例微分校正后，只要比例系数kp和微分系数kd选
43、择恰当，其瞬态性能指标能得到较好的改善。讨论：3.3.4 改善二阶系统响应特性的措施-比例微分控制引进比例微分校正前后，二阶系统单位阶跃响应曲线的一个例子 曲线1、2分别为未引入和引入比例微分校正后的单位阶跃响应曲线。很显然，引入比例微分校正后，系统的响应速度加快，超调量和调整时间减小。参阅例3.2.2 3.3.4 改善二阶系统响应特性的措施-比例微分控制2速度反馈校正：利用系统输出信号y(t)的微分作为反馈信号，与输出信号一起同时加到系统的输入端，以产生误差信号，起到增加系统阻尼的目的。3.3.4 改善二阶系统响应特性的措施-速度反馈校正具有速度反馈校正的二阶系统的闭环传递函数 2222)2
44、()()()(nnnnsssRsYs0)2(222nnnss具有速度反馈校正的二阶系统的特征方程 速度反馈校正具有增大系统阻尼的作用。2nv速度反馈校正不影响系统的无阻尼振荡频率。系统对单位阶跃信号响应的超调量可以通过改变阻尼系数v的值加以控制。通过调整速度反馈系数，使阻尼系数v落在0.40.8之间，从而减小超调量。3.3.4 改善二阶系统响应特性的措施-速度反馈校正引进速度反馈校正前后，二阶系统单位阶跃响应曲线的一个例子 曲线1、2分别为未引入和引入速度反馈校正后的单位阶跃响应曲线。由图可知，二阶系统引入速度反馈校正以后，可以减小系统的超调量和调整时间，但有时会增大系统的上升时间。参阅例3.
45、3.3 3.3.4 改善二阶系统响应特性的措施-速度反馈校正q 二阶系统的动态性能指标基于以下两个条件：第一，性能指标是根据系统对单位阶跃输入的响应给出的；第二，初始条件为零。q 典型二阶系统的瞬态响应二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统的阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应。q 典型二阶系统的性能指标主要是超调量和调整时间；与系统参数之间的关系；速度反馈校正。q 具有零点的二阶系统单位阶跃响应的紧凑形式；性能指标；比例微分校正。3.3.4 二阶系统响应特性-小结 3.4 高阶系统的时域分析 3.4.1 三阶系统的瞬态响应 3.4.2 高阶系统的瞬态响应 3.4.3 闭环主导极点n 在
46、控制工程中，几乎所有的控制系统都是高阶系统，即用高阶微分方程描述的系统。n 对于不能用一、二阶系统近似的高阶系统来说，确定其动态性能指标是比较复杂的。n 工程上常采用闭环主导极点的概念对高阶系统进行近似分析从而得到高阶系统动态性能指标的估算公式。n 对于不能简化为低阶系统的高阶系统，可采用数值计算的方法进行仿真，得出系统的瞬态性能指标。3.4.1 三阶系统的瞬态响应传递函数：)2)(1()()()(222nnnssTssRsYs221nnjp当 0 1 时，极点分布如下：211nnjpTp13这相当于在典型二阶系统的基础上增加了一个惯性环节，或增加了一个实极点。3.4.1 典型三阶系统的瞬态响
47、应三阶系统的单位阶跃响应的表达式：33222103223221)(2()(psAssAsAsAspssspsYnnnnn式中：1|)(00sssYA由22121122|)(|)2)(nnjsjsnnAsAsssY同理：1)2(1|)()(2333pssYpsA可得：1)2()2(221A1)2(1)2(2222nAnp3表示实极点和共轭复极点的相对位置。3.4.1 三阶系统的瞬态响应-单位阶跃响应三阶系统的单位阶跃响应如下：0sin1 1)2(cos)2(1)2(1)2(1)(222223ttteetyddttpn，三阶系统的单位阶跃响应的紧凑形式如下：0),sin(1)2(11)2(1)(2
48、223tteetydttpn式中：21nd1)2(1)2(221tg 3.4.1 三阶系统的瞬态响应-单位阶跃响应为参变量时三阶系统的单位阶跃响应曲线 当无穷大时，即负实极点远离虚轴时，三阶系统即为典型二阶系统的瞬态响应曲线。在一般情况下，01时，表示实极点远离虚轴，共轭复极点离虚轴近，系统的瞬态特性主要由共轭复极点决定，呈二阶系统的特性，即系统的特性由二阶系统的特征参数和n决定。当0,Tf0，试确定系统稳定时放大系数K的取值范围。解：闭环传递函数为：32()()oimfmfKsT T sTTssK特征方程为：0)(23KssTTsTTfmfm 3.5.3 代数稳定性判据-劳斯-胡尔维茨稳定性
49、判据的应用劳斯阵：列出对应的劳斯阵列如下：0010123KTTKTTTTKTTTTssssfmfmfmfmfm整理后可得开环放大系数K的取值范围是：fmTTK110要使系统稳定，必须：0fmfmfmTTKTTTT0K及 3.5.3 代数稳定性判据-劳斯-胡尔维茨稳定性判据的应用0)(23KssTTsTTfmfmq 确定系统的相对稳定性（稳定裕度）利用劳斯和胡尔维茨稳定性判据确定的是系统稳定或不稳定，即绝对稳定性。在实际系统中，往往需要知道系统离临界稳定有多少裕量，这就是相对稳定性或稳定裕量问题。利用实部最大的特征方程的根 p（若稳定的话，它离虚轴最近）和虚轴的距离 表示系统稳定裕量。若p处于虚
50、轴上，则 ，表示稳定裕量为0。0 作 的垂线，若系统的极点都在该线的左边，则称该系统具有 的稳定裕度。一般说，越大，稳定程度越高。可用 代入特征方程，得以z为变量的新的特征方程，用劳斯-胡尔维茨判据进行判稳。若稳定，则称原系统具有 的稳定裕度。s zs 3.5.3 代数稳定性判据-劳斯-胡尔维茨稳定性判据的应用例已知系统的方块图，为使系统特征方程的根都位于s=-1的左边，试确定k值的取值范围。)5)(3(sssk解：闭环特征方程为：现以 s=x-1代入上式，得015823ksss082523kxxx劳斯阵：8051885210123kkkxxxx要使系统稳定，必须系数皆大于0，8k劳斯阵第一列
