1、 3.1.2用二分法求方程的近似解本节课选自普通高中课程标准实验教科书必修1（人教A版）第三章函数的应用第一节函数与方程第二小节用二分法求方程的近似解.一、教学背景分析1.教学内容分析函数与方程是中学阶段研究的重要数学模型，本节课是学生在系统学习了集合、函数的概念及性质以及基本初等函数（I）之后，研究函数与方程关系的内容，是函数与方程一节的重点.二分法是数值计算中最简单常用的一种方法.本节课学生通过对具体实例的探究，借助图形计算器用二分法求相应函数零点的近似解，经历用函数的观点看方程的思维过程，在问题的解决中突出函数的应用，深化对函数与方程联系的理解，初步形成用函数观点处理问题的意识，这是本节
2、课的一条明线；总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，发展学生的数学抽象能力，是本节课的一条暗线.这也是研究程序性知识的一条主线. 图形计算器可以实现求方程的近似解，但是内置的程序是由人设计的，并且“二分法”的产生要远远早于计算器，因此对于此内容的学习是十分必要的：我们要“教”计算器如何求解.2.学生学情分析初中阶段，学生学习了简单的一元一次方程和一元二次方程，并会用求根公式求一元二次方程的根；高中阶段，学生学习了基本初等函数（I），对指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质都有了比较深入的研究，同时对“数形结合”思想有了较为深入的理解和应用；另外，前一节内容的学习，不仅把函数与方程联
3、系起来，还可以利用零点的存在性定理判断零点是否存在。这些都为本节课的学习奠定了基础.同时对已经学过此内容的高二、高三学生的调研发现，学生对于“精确度”的概念非常模糊，这也对我们的教学提供了参考.二、教学目标设计基于以上分析，根据本节课的教学内容、课程标准的要求和学生的实际情况，确定本节课的教学目标为：1.知识与技能（1）通过具体实例，能够借助图形计算器用二分法求相应方程的近似解（给定精度），体会二分法的思想，了解这种方法是求方程近似解的常用方法；（2）通过具体实例，归纳概括二分法的实施步骤，并用准确的数学语言表述出来；2.过程与方法经历借助图形计算器画出具体函数的图像、用二分法求函数零点的近似
4、值、总结二分法实施步骤的过程，体会其中所蕴含的函数与方程思想、数形结合思想、逼近思想以及从具体到一般的研究方法等；3.情感态度与价值观引导学生用联系的观点理解有关内容，沟通函数、方程、不等式以及算法等内容，使学生体会知识之间的联系；发展学生的理性思维.【教学重点】理解二分法的基本思想、会用二分法求方程的近似解.【教学难点】精确度的概念、归纳概括二分法的实施步骤并用准确的数学语言表述.三、教学策略分析为了更好地突出重点，我在引入环节通过具体实例以及介绍历史上方程求解的发展脉络引入课题求方程的近似解，首先解决了“研究什么”、“为什么研究”的问题.至于“如何研究”则通过具体实例阐释.在这个过程中借助
5、图形计算器充分体现数形结合思想，并将数形结合思想具体化落实：1.从数到形：方程的解函数的零点函数图象与轴的交点；2.从形到数：交点的坐标数轴上的区间表格数据二分法的形成.为了突破难点，在具体实例的解决中采用问题串的形式引导、激发学生的探究热情：“如何将零点所在区间缩小”、“如何停止”等，由此引出 “精确度”的概念.为了突破此难点，首先在引入中用“误差”做铺垫，同时利用数轴进行直观解释.而从具体实例中的二分法上升到归纳概括一般步骤对于学生是困难的，在教学中首先在解决具体问题中引导学生思考“第一步做什么，第二步做什么”，然后引导学生用文字语言表述并尝试用数学符号语言表述，同时利用数轴的直观来突破符
6、号语言中“赋值”这一难点.本节课的核心内容是“用二分法求方程的近似解，体会二分法思想”，为了不冲淡本节课的主题，在教学中设计应用TI图形计算器：作图功能、表格功能（计算函数值）、求解功能.图形计算器的使用，可以帮助我们实现“数形结合”的具体化落实，对知识的发展起到了助力作用.三、教学过程的设计与实施（一）具体实例，引出课题【问题1】2018年5月15日北大珠峰登山队成功登顶世界第一高峰珠穆朗玛峰，以此庆贺北大建校120周年.我们知道，随着海拔的升高，大气压强会降低,空气中的含氧量会降低，影响人的身体.（1）登山队员为了实时监测身处地的大气压强，从某公司购买了先进的气压表，在其产品参数中有这样一
7、句话：经订正后测量误差不大于Pa，你如何理解这句话？（2）已知大气压强（单位Pa）与海拔（单位m）间的关系式为：.2018年5月13日登山队计划前往海拔7790米的营地，但是某队员身体不适，当压强降低为海拔的倍时他就必须停止攀登，此时他能否到达该营地呢？【设计意图】从一个实际问题引入，首先让学生体会现实生活中存在大量取近似值问题，如生产零食袋上标注的净含量、的正方形地面砖等,另一方面（1）中的“误差”也为要学习的“精确度”概念做铺垫.对于（2）可以从两个角度将实际问题转化为数学问题：一是求方程的解，与7790比较；二是将7790代入关系式求出压强，利用压强与海拔的比值进行判断.本节课我们抓住角
8、度一，让学生产认知冲突，激发学生的求知欲望并体会求近似解的必要性，同时引入方程求解的历史，让学生感受数学文化方面的熏陶.这样我们就解决了“研究什么”、“为什么研究”的问题.（二）问题引领，探究方法【问题2】如何求方程的近似解？【设计意图】由于问题1中方程较为复杂，为了计算方便研究此方程.引导学生从函数与方程联系角度将求方程的解进行转化：一种是转化为求函数零点的近似值；另一种是将方程变形为，转化为求函数交点横坐标的近似值. 通过学生小组合作探究、教师追问解决如下问题：函数的零点是否存在？如果存在有几个？并找到零点的一个大致范围.二分法源于逐步搜索法，该方法基于连续函数零点存在性定理：按某规则将区
9、间分成若干个子区间，在每个子区间上计算端点值，一旦发现两端点的函数值异号，则可断定该子区间上至少有一个零点.本节课作为二分法的起始课，确定初始区间是十分重要的，因为我们只需要求出一个零点即可，不需要考虑所有零点，所以课本上给出了一个单调函数的例子（至多有一个零点）.可以通过两种途径寻找零点大致范围：借助图形计算器画出函数图象；利用函数零点存在性定理判断.如果学生选择前者，那就需要用零点存在定理进行验证；如果学生选择后者，要引导学生通过图象观察函数的单调性，以此来确定零点个数。这样就实现了“从数到形”的具体化落实：方程的解函数的零点函数图象与轴的交点.【问题3】如何将函数零点所在的区间缩小？【设
10、计意图】这是引出二分法的一个关键问题.所谓的将区间“缩小”即是在区间内取点，而要确保零点在新区间内，则函数在该区间内应该满足零点存在性定理的条件，这样就会涉及到端点函数值的计算.一般情况下，在区间内取的点应该是特殊点：中点、三等分点、黄金分割点等，而取中点是最容易想到的，它从图形上看是对称的，从数字上看也是对称的，因此用取中点的方法缩小区间.在教学中追问学生为何选择取中点，让学生给出选择的理由，发展学生的理性思维.实际上对于为何取中点来缩小区间学生是有疑义的，但是由于学生还没有进行函数端点值的运算，也没有对不同取点方法进行比较，因此对二分法的“运算简便”（快速缩小区间）是没有体会的.在教学中设
11、计先利用二分法求函数零点的近似值，学生经历“运算体验”以后，利用运算进行简单解释：二分法经过4次函数值运算以后将原区间缩小为原来的，而取三等分点的经过4次函数值运算才将原区间缩小为原来的.当然，这里只是针对这几种取点方式的比较，从整个数值分析学科来看，二分法一般收敛比较慢，常用于粗算.【学生活动】利用“取中点”的方法，将函数零点所在的区间进一步缩小.【设计意图】利用图形计算器的表格功能对函数端点值进行计算，将区间逐步缩小.应用图形计算器进行运算主要考虑要围绕本节课的核心展开教学，而不要在计算函数值这样的末节问题上花费学生太多精力.在取中点的过程中，通过数轴直观显示每次研究的区间，让学生体会“新
12、区间”与“旧区间”在“地位”上的“平等”：都含有函数的零点；同时，图形计算器表格中的两个端点始终用表示，这样主要是为后面总结一般步骤时的“赋值”做铺垫.图形计算器的表格直观显示了函数端点的取值情况，这样就实现了“从形到数”的具体化落实：交点的坐标数轴上的区间表格数据二分法的形成. 另外，学生利用数轴将区间缩小的过程中能体会到:对于零点所在的区间我们可以做到“要多小有多小”，也就是可以无限缩小下去，从中体会“逼近”的数学思想.【问题4】我们采用“取中点”的方法逐步缩小零点所在的区间，既然是求近似值，那该如何停止呢？【设计意图】在初中阶段，学生接触过“精确到”的概念，它与“有效数字”是密切相关的；
13、而此处 “精确度”的概念与之是不同的：“精确度”是在无法求得精确值的前提下，通过近似值与精确值的差的绝对值小于某个具体数值，而对精确值的一种近似：对于数值， 满足的即的满足精确度为的近似值.在教学中设计让学生分组交流给出“停止”的标准，学生类比“误差”的概念能够给出 “精确度”的概念，但是对于如何刻画这个差值学生是有困难的.因此在教学中引导学生尝试找到满足条件的区间（含有精确值且区间长度小于精确度）来解决，并利用数轴进行直观解释.具体来看就是：对于数值，如果要获得它的满足精确度的近似值，就是找到一个包含的区间，只要即可.此时对于任意，有，因此可以将区间内的任意一点作为近似值.特别地，可以取区间
14、端点作为近似值.在教学过程中，引导学生理性看待“精确度”的概念，发展学生的数学抽象能力，培养理性精神.对于 “停止的标准”有的学生可能会用函数值与0进行比较，这种方法与研究函数的趋势是有关系的，不具有普适性；另外在实践中我们也不采用这样的方法.紧接着，以精确度为0.01为例确定所求函数的零点的近似值.【问题5】前面我们得到了函数精确度为0.01的零点的近似值，也就是方程的近似解.那如何判断这个解是否相对准确呢？【设计意图】合理检验是学生提高运算能力和操作水平的重要步骤，按照之前的经验，将求出的值代回函数或方程检验是不现实的，因为它本身就是近似值，代回后所得结果一定不为0.而利用图形计算器独有的
15、求解功能，可以求出任意方程的近似解，与我们所求近似解进行对比即可.【二分法的概念】对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.（三）归纳概括，渗透算法【问题6】在上述用二分法求函数零点近似值过程中，你进行了哪些操作？【设计意图】归纳概括出二分法求函数零点近似值的一般步骤，并用数学符号语言表达对于学生是困难的.教学中首先在解决具体问题中引导学生思考“第一步做什么，第二步做什么”，让学生对具体的算法结构有初步的认识.【问题7】用二分法求函数零点近似值的一般步骤是什么？【设计意图】首先引导学生用自然语言描述一般
16、步骤.体会从特殊到一般的研究方法. 由于在具体函数研究中每个区间端点是确定的，因此不存在对区间端点的不断“赋值”,但在一般步骤的描述中我们需要把这个过程用数学符号表达出来，这对于高一的学生来说是困难的，但需要将这种思想渗透给学生，为算法的学习进行必要的准备.考虑到学生的具体情况，教师给予一定帮助,并利用数轴的几何直观来突破此难点,在此过程中让学生体会从具体到抽象的研究方法.【教师过渡】我们看到在二分法的操作过程中，计算占了很大的比重，而且是在重复相同的步骤.因此，我们可以通过设计计算程序，借助计算机完成计算.如果单从运算角度看，二分法经过4次函数值运算以后将原区间缩小为原来的，而取三等分点的话
17、经过4次函数值运算才将原区间缩小为原来的.因此二分法的运算更加简便.当然随着知识的不断积累，我们会有更多不同的角度来审视二分法.【设计意图】我们意识到，“二分法”是一个非常综合的内容，把它完全讲透还需要综合函数、算法、不等式、数列、极限等多方面知识，即便像“为什么是二分而不是其他分？”这样让学生非常困惑的问题我们也不能给出完美的解释.现阶段我们的重点放在了方程与函数的联系、算法渗透上,因此最后做一些铺垫，引导学生以后继续深入研究二分法.（四）课堂小结，布置作业1.课堂小结（1）谈谈你对“二分法”的理解；（2）回顾本节课的研究过程，体现了哪些数学思想方法？2.布置作业 （1）课本91页练习1,2；（2）设计一个问题，用二分法求的近似值（精确度0.01）. 【设计意图】从知识和思想方法两个方面让学生回顾本节课的研究过程，总结提升.
