1、离散型随机变量的期望教学设计一、教材分析教材的地位和作用 离散型随机变量的期望位于普通高中课程标准实验教科书（数学 选修2-3）第二章第2节第一课时，它是在学生已学了随机变量这一数学概念之后进而学习的新的知识，是概率论与数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数。此外，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，学习期望为今后学习数学及相关学科产生重大作用。二、学情分析根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点三、教学目标知识与技能目标通过实例，让学生理解离散型随机变量期望的概念。会计算简单的离散型随机变量的期望，并解决实际问题。过程与方
2、法目标让学生经历概念的建构这一过程，进一步体会从特殊到一般的思想。通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识。情感与态度目标通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其积极探索的精神。教学目标是课堂教学的一面帅旗，课堂教学过程的一切活动都应围绕它，都应为着实现本节课的教学目标。四、教学重点与难点重点：离散型随机变量期望的概念。难点：离散型随机变量期望的实际应用。理论依据在实际问题中，要了解某班学生在一次数学测试中的总体水平，很重要的是看平均分。要了解射手的射击水平，关键的是看他在一次射击试验中平均命中环数。而期望正是反映随机变量在随机试验中取值的平均值，学习期望
3、的概念将为解决这类实际问题打下良好的基础。因此把对期望的概念的教学作为本节课的教学重点。此外，学生初次应用概念解决实际问题也较为困难，故把其作为本节课的教学难点。根据以上分析及学生的实际情况确立本节课的教学目标如下：五、教法选择与学法指导引导发现法问题情境法“发现学习”是美国著名心理学家布鲁纳所倡导的一种学习方法，它能最大限度地发挥学生学习的主观能动性，激发学习的兴趣，调动学习的积极性。爱因斯坦说过：“问题是数学的心脏”。因此在教学中通过创设问题情境，让学生在解决问题的过程中经历知识的形成与应用过程，从而更好地理解知识的意义。四、教学的基本流程设计情境屋（引入新课）（1分钟）问题苑（建构概念）
4、（15分钟）点金帚（归纳总结）（2分钟）回归线（回归引例）（4分钟）快乐套餐（实际应用）（18分钟）新课改强调发展学生的应用意识，注重学生对新知识的探求和发现过程，真正体现数学源于实际，又应用于实际。因此在本节课的情境创设，概念建构，问题设置等都与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值，并学会用数学的视野去关注身边的数学。围绕这一指导思想，下面我讲具体阐述一下我对本节课教学过程的设计六、教学过程教学环节教学内容设计意图创设情境引入新课根据惠更斯在机遇的规律这部著作中引进“期望”这个术语，解决当时刚时感兴趣的博弈问题。我创设“赌徒分赌金”的情境。其情景如下：A、B两个实力相当的赌徒同时分别掷骰子
5、，各押赌注32个金币，规定谁先掷出3次“6点”就算赢对方，赌博进行了一段时间，A赌徒已掷出了2次“6点”，B赌友也掷出了1次“6点”，发生意外，赌博中断。两人应该怎样分这64个金币？从人们感兴趣的博弈问题出发，设置悬念，吸引学生注意力，激发其兴趣和求知欲望，从而引入新课。建构概念情境某商场要将单价分别为18，24，36的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等。如何对混合糖果定价才合理？通过师生探究发现：当定价为混合糖果的平均价格时才合理。进而转为求混合糖果的平均价格从而得出如下结论：根据混合糖果中3种糖果的比例可知在1kg的混合糖果中，3种糖果的质量分别是kg
6、，kg和kg，则混合糖果的合理价格应该是18+24+36=23（）接着教师引导学生分析混合糖果中每粒糖果的质量都相等在混合糖果中任取一粒糖果，它的单价为18，24或36的每粒糖果被取到的概率分别为，和，若用表示被取到的这粒糖果的价格，则每千克混合糖果的合理价格表示为E=18P（=18）+24P（=24）+36P（=36）其中E叫做的期望,也就是混合糖果的平均价格。改变直接给出求“平均价格”的问题，使问题生活化。此时就把学生对期望的认识定位在这个平均值上，使得这个陌生的概念与平均值联系起来，并揭示了期望的实际含义。接着舍去这个具体问题的意义，抽象出一般的离散型随机变量的期望的概念，并用文字语言描
7、述抽象的数学公式，以加深公式的记忆。这里渗透了从特殊到一般的数学思想方法，并使学生的感性认识上升到理性认识。此外由实际问题抽象概括出概念可培养学生的抽象概括能力。概括定义一般地,若离散型随机变量的概率分布为则称为的数学期望或均值,它反映了随机变量取值的平均水平。用文字语言描述抽象的数学公式E=+即：离散型随机变量的数学期望即为随机变量取值与相应概率分别相乘后相加。公式符号化理解概念教师接着提出问题：请观察此题中的分布列，思考：“离散型随机变量的期望与可能取值的算术平均数相同吗？”此问题的提出将学生的注意力转而集中到对算术平均数的计算，求得答案，发现两者不同。通过师生共同分析得出其原因是期望的计
8、算是从概率分布出发，因而它是概率意义下的平均值。随机变量取每个值时概率不同导致了期望不同于初中所学的算术平均数。为了让学生进一步发现当随机变量取每个值时概率都相等时，两者相等。教师再提出问题：“随机变量的期望与可能取值的算术平均数何时相等？”并可举随机抛掷一个骰子，所得骰子的点数的期望以助理解。甲、乙两名射手一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量与,且，的分布列为123P0.30.10.6123P0.30.40.3甲、乙两人谁的射击水平高？弄清数学概念，理解数学概念是学生学好数学的基础和前提，为了加深学生对概念的理解。通过递进式地设置问题，加深学生对概念的理解，突出教学重点。为了进一步理解期
9、望的含义。设置练习，让学生通过计算平均命中环数来比较两人的射击水平。到此为止，学生已能透彻理解期望的实际含义。并能将期望与初中所学的算术平均数的联系与区别。实际应用问题1：有一批数量很大的产品，其次品率是15 。对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽到次品，但抽查次数最多不超过10次。求抽查次数的期望。教师强调：一般地，在产品抽查中已说明产品数量很大时，各次抽查结果可以认为是相互独立的。解题中注意：取110的整数，前k-1次取到正品，而第k次取到次品的概率是P（=k）=（k=1，2，3，,9）P（=10）=应突破的教学难点是求的分布列。解完此例题后归纳
10、求离散型随机变量期望的步骤：、确定离散型随机变量的取值。、写出分布列，并检查分布列的正确与否。、求出期望。问题2：目前由于各种原因，许多人选择租车代步，租车行业生意十分兴隆，但由于租车者以新手居多，车辆受损事故频频发生。据统计，一年中一辆车受损的概率为0.03。现保险公司拟开设一年期租车保险,一辆车一年的保费为1000元,若在一年内该车受损,则保险公司需赔偿3000元。一年内，一辆车保险公司平均收益多少？变式一：一辆车一年的保险费为1000元，若在一年内该车受损,则保险公司需赔偿元，一年中一辆车受损的概率为0.03，则赔偿金至少定为多少元，保险公司才不亏本?变式二：若一辆车一年的保险费为元，若
11、在一年内该车受损,则保险公司需赔偿元，一年中一辆车受损的概率为，则,，应满足什么关系，保险公司方可盈利。解法：设表示盈利数，则随机变量的分布列为E=即时方可盈利。回归引例，解决问题，前后呼应主要通过让学生亲自计算，若比赛继续进行，直至分出胜负，A、B两赌徒各自期望得多少金币，接着从期待金额的角度来公平分配赌金。巩固练习练习1：练习2：学数学是为了用数学。生活中蕴涵数学知识,数学知识又能解决生活中的问题。接着设置两个问题，让学生从生活实际问题中抽象出数学模型，从而更好的指导实践。回归概念本质，紧扣应用概念解决实际问题。此时学生感受数学真妙，居然能解决延续了整整一个半世纪的分取赌金的问题。为了巩固
12、运用知识，反馈课堂教学，设置如下练习归纳总结一个概念，两个注意，三个步骤。并让学生知道理解概念是关键，掌握公式是前提，实际应用是深化。为了让学生养成良好的学习数学的方法和习惯。最后引导学生对解题思路和方法的总结。作业本节课作业布置分为基础题、能力题、课后探究题能力题是 一道有关期望在风险与决策中的应用的问题，体现作业设计的实践性。探究题为学习期望的线性公式，二项分布公式及方差的概念作铺垫。并体现作业设计的探究性。体现分层次教学的思想，由易到难，让不同 的学生得到不同的发展。七、评价分析1、评价学生学习过程本节课在情境创设，例题设置中注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值，在教学中注意观察
13、学生是否置身于数学学习活动中，是否精神饱满、兴趣浓厚、探究积极，并愿意与老师、同伴交流自己的想法。2、评价学生的基础知识、基本技能和发现问题、解决问题的能力教学中通过学生回答问题，学生举例，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用，教师根据反馈信息适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、充分质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的的亮点给予表扬，树立自信心，帮助他们积极向上。教学设计“说明”本节的教学有如下特点：（1）、注重情境创设，联系生活实际，关注身边数学。（2）、期望概念的教学是本节课的重点，本节突出概念的建构，通过实例，引导学生分析，并归纳出定义；通过练习，层层递进，加深学生对概念的理解，帮助学生把握概念的本质特征，使学生的思维活起来；通过例题分析，让学生体会学习期望的意义。本节课以现实问题引入，以生活中的实例结束，让学生认识到数学源于生活，又应用于生活，生活中处处有数学。
