1、3.2 提公因式法1.1.经历探索多项式各项公因式的过程，并在具体问题中经历探索多项式各项公因式的过程，并在具体问题中能确定多项式的公因式能确定多项式的公因式.2.2.会用提公因式法把多项式因式分解会用提公因式法把多项式因式分解.3.3.培养解决问题的能力培养解决问题的能力.)32)(32(94)2(22bababa1.1.等式从左边到右边是什么变形？等式从左边到右边是什么变形？2229124)32)(1(bababa因式分解因式分解整式乘法整式乘法2.2.因式分解的定义：因式分解的定义：一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这
2、个多项式因式分解形式，称为把这个多项式因式分解.)(bammbma因式分解因式分解3.3.整式乘法与因式分解的关系：整式乘法与因式分解的关系：整式乘法与因式分解是相反方向的变形整式乘法与因式分解是相反方向的变形.整式乘法整式乘法因式分解因式分解相反方向的变形相反方向的变形1.1.以下多项式由哪些项组成？以下多项式由哪些项组成？mcmbma都含有因式都含有因式m m2.2.这些项有什么共同特点？这些项有什么共同特点？mambmcm公因式的定义：公因式的定义：几个多项式的公共的因式称为它们的几个多项式的公共的因式称为它们的公因式公因式.mcmbma公因式公因式m m找出下列各多项式的公因式找出下列
3、各多项式的公因式.ac+bcac+bc3 3x x2 2+x+x30m30mb b2 2+5nb+5nb3x+63x+6a a2 2b2ab2ab b2 2+ab+ab7(a3)b(a7(a3)b(a3)3)c c x x5b5b3 3ababa-3a-3找找 2 x 2 x 2 2+6 x +6 x 3 3 的公因式的公因式.系数：系数：各项系数的各项系数的最大公约数最大公约数.2 2字母：字母：相同字母相同字母.x x 所以公因式是所以公因式是2x2x2 2.指数：指数：相同字母指数相同字母指数的最低次幂的最低次幂.2 2下列各式的公因式分别是什么？下列各式的公因式分别是什么？7 7x x
4、2 2-21x-21x7x7x3 3y y2 2 4242x x2 2y y 3 3a a2 2b 2ab 2ab b2 2+abc+abc7(x2)x(2x)7(x2)x(2x)7x7x7x7x2 2y y2 2ababx-2x-2提公因式法的定义：提公因式法的定义：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提提公因式法公因式法.分两步：分两步：第一步，找出公因式；第一步，找出公因式；第二步，提公因式第二步，提公因式 ，即用多项式除以公因式，即用多项式除以
5、公因式.例例1 1 把把 9x9x2 26xy+3xz6xy+3xz因式分解因式分解.【解析【解析】9x9x2 26xy+3xz6xy+3xz=3x=3x 3x-3x 3x-3x 2y+3x 2y+3x z z =3x(3x-2y+z).=3x(3x-2y+z).把把 -24x-24x3 3+12x+12x2 2-28x -28x 因式分解因式分解.解：解：-24x-24x3 3+12x+12x2 2-28x-28x=-(24x=-(24x3 3-12x-12x2 2+28x)+28x)=-(4x=-(4x 6x 6x2 2-4x-4x3x+4x3x+4x7)7)=-4x(6x=-4x(6x2
6、 2-3x+7).-3x+7).当多项式第一项系数是负当多项式第一项系数是负数时，通常先提出数时，通常先提出“-”，使括号内第一项系数变为使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都正数，注意括号内各项都要变号要变号.下列各式中的公因式是什么？下列各式中的公因式是什么？(1)a(xy)b(xy).(2)x(a 3)y(a 3）.(3)6m(p 3)5n(p 3).(4)x(ab)y(ab)z(ab).)(yx)(yx)3(a)3(a)3(p)3(p)(ba)(ba)(ba判断：下列各式哪些成立？判断：下列各式哪些成立？223322(1)baab(2)(xy)(yx)(3)(xy)(yx)(4)
7、abba(5)(ab)(ba)成立的有：（成立的有：（2 2）（）（4 4）（）（5 5）2n2n2n 12n 1(ab)(ba)(2)(ab)(ba).，nn(1)(ab)(b a).例例2 2 试分解下列因式：试分解下列因式：(1)a(x 3)2b(x 3).(2)a(x 3)2b(3 x）.22(3)a(xy)b(yx).23(4)()().a xyb yx)3(2)3()1(xbxa解：)3(x)3(x(x 3)(a2b).)3(2)3()2(xbxa)3(x(3)x)3(2)3(xbxa)3(2xb(x 3)(a 2b).22)()()3(xybyxa2(xy)(ab).2()()x
8、yab xy2()().xya bx by22)()(yxbyxa234a(xy)b(xy)（）原式2(xy)2b(xy)2(xy)32(2)6()12().mnnm()()a xyb xy分解下列因式：分解下列因式：(1)()().a xyb yx(1)()()a xyb yx解：()xy()yx()().xy a b32(2)6()12()mnnm26()()2mnmn326()12()mnmn2)(12nm26(m n)(m n2).()b xy.45927811397整除能被试证明：1397213979)39()992781（证明：因为134291413991493)3(999399)
9、9939(9993921213131412945.45927811397整除能被所以例例3 3 1.1.（南通（南通中考）因式分解：中考）因式分解：axax2 2-ax=_.-ax=_.【解析【解析】提公因式提公因式ax,axax,ax2 2-ax=ax(x-1).-ax=ax(x-1).答案：答案：ax(x-1)ax(x-1)2.(2.(宿迁宿迁中考中考)若若2a-b=2,2a-b=2,则则6+8a-4b=_.6+8a-4b=_.【解析【解析】6+8a-4b=6+4(2a-b)=14.6+8a-4b=6+4(2a-b)=14.答案：答案：14143.3.已知已知x+yx+y=6=6，xyxy
10、=-3=-3，则，则x x2 2y+xyy+xy2 2=_.=_.【解析【解析】如果想从已知条件中直接求出如果想从已知条件中直接求出x x，y y的具体数值，的具体数值，理论上是可行的，但以我们目前所掌握的知识是办不到理论上是可行的，但以我们目前所掌握的知识是办不到的的.观察所求代数式发现，先将所求代数式因式分解，观察所求代数式发现，先将所求代数式因式分解，然后再将条件等式代入即可然后再将条件等式代入即可.原式原式=xy=xy（x+yx+y），），当当x+yx+y=6=6，xyxy=-3=-3时，时，原式原式=-3=-36=-18.6=-18.答案：答案：-18-18正确找出多项式各项的公因式
11、的关键是什么？正确找出多项式各项的公因式的关键是什么？1.1.系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.2.2.字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.3.3.指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即相同指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即相同字母的最低次幂字母的最低次幂.多项式各项的公因式可以是单项式，也可以是多项式多项式各项的公因式可以是单项式，也可以是多项式.正直的人并不是渺小的，不要把谦虚和渺正直的人并不是渺小的，不要把谦虚和渺小、妄自菲薄混为一谈小、妄自菲薄混为一谈.契诃夫契诃夫
