1、第第3 3章章 流体动力学流体动力学方程推导依据：方程推导依据：F=maF=ma或动量守恒定律或动量守恒定律 推导方法：对微元控制体推导方法：对微元控制体dxdydzdxdydz运用运用F=maF=ma或或动量守恒定律。动量守恒定律。在流场中取一微元体在流场中取一微元体dxdydzdxdydz，顶点，顶点A A处的运动参数为：处的运动参数为：ZYX;P、质量力表面力作用在微元体上的力有：作用在微元体上的力有：zyxuuu、p3.3 3.3 理想流体动量传输方程理想流体动量传输方程欧拉方程欧拉方程H HG GF FE EA AD DC CB B0 0y yx xz z理想流体微小平行六面体理想流
2、体微小平行六面体dxxpppdyypppdzzpppx x方向：方向：（1 1）压力）压力dxdydzxPdydzdxxPPP（2 2）体积力）体积力XdxdydzXdxdydz（3 3）流体加速度）流体加速度dtdudxdydzmax)37.3(dxdydzxpXdxdydzdtdudxdydzFmax3.3 3.3 理想流体动量传输方程理想流体动量传输方程欧拉方程欧拉方程)38.3(111dtduzPZdtduyPYdtduxPXzyx欧拉方程欧拉方程适用范围适用范围可压缩、不可压缩流体，稳定流、非稳定流。可压缩、不可压缩流体，稳定流、非稳定流。用矢量表示用矢量表示)39.3(1DtuDP
3、W3.3 3.3 理想流体动量传输方程理想流体动量传输方程欧拉方程欧拉方程dtduxPXx1化简后得化简后得同理可得同理可得Y、Z方向的受力平衡式，综合可得：方向的受力平衡式，综合可得：）（把5.3xxzxyxxxxazuuyuuxuutudtdu 代入式（代入式（3 3.38.38）得：）得：3.3 3.3 理想流体动量传输方程理想流体动量传输方程欧拉方程欧拉方程)40.3(111zuuyuuxuutuxPZzuuyuuxuutuyPYzuuyuuxuutuxPXzzzyzxzyzyyyxyxzxyxxx 方程（方程（3-313-31）中：一般情况下）中：一般情况下X X、Y Y、Z Z是已
4、知的，对不可压缩流是已知的，对不可压缩流体体=常数。常数。4 4个变量个变量u ux x，u uy y，u uz z，P P，三个动量方程，加上连续性方，三个动量方程，加上连续性方程就可求解流体流动问题。程就可求解流体流动问题。)(,0,切应力有粘性力实际流体微元体受力分析：微元体受力分析：垂直于垂直于x x轴的两个平面轴的两个平面xxpxzxy0yxz实际流体微小平行六面体实际流体微小平行六面体xyxzxxp、切应力：压应力：左侧面左侧面dxxdxxdxxppxyxyxzxzxxxx切应力：压应力：dxxppxxxxdxxxzxzdxxxyxy右侧面右侧面角标角标1-1-应力作用面的外法线方
5、向应力作用面的外法线方向角标角标2-2-应力的作用方向应力的作用方向3.4 3.4 实际流体动量传输方程实际流体动量传输方程纳维尔纳维尔-斯托克斯方程斯托克斯方程微元体受力分析（续）：微元体受力分析（续）：垂直于垂直于 y y轴的两个平面轴的两个平面yxyzyyp0yxz实际流体微小平行六面体实际流体微小平行六面体yzyxyyp、切应力：压应力：后面后面dyydyyydyxppyzyzyxyxyyyy切应力：压应力：前面前面ydyxppyyyydyyyxyxdyyyzyz3.4 3.4 实际流体动量传输方程实际流体动量传输方程纳维尔纳维尔-斯托克斯方程斯托克斯方程微元体受力分析（续）：微元体受
6、力分析（续）：垂直于垂直于 z轴的两个平面轴的两个平面zxzzpzy0yxz实际流体微小平行六面体实际流体微小平行六面体zyzxzzp、切应力：压应力：底面底面dzzdzzdzzppzyzyzxzxzzzz切应力：压应力：顶面顶面dzzppzzzzdzzzxzxdzzzyzy3.4 3.4 实际流体动量传输方程实际流体动量传输方程纳维尔纳维尔-斯托克斯方程斯托克斯方程0yxz实际流体微小平行六面体实际流体微小平行六面体zzpyypxxpzxxyxzyzzyyx微元体受力分析（续）：微元体受力分析（续）：综上所述，实际流体受力如下图所示综上所述，实际流体受力如下图所示3.4 3.4 实际流体动量
7、传输方程实际流体动量传输方程纳维尔纳维尔-斯托克斯方程斯托克斯方程0yxz微小平行六面体在微小平行六面体在x x方向受力分析方向受力分析xxpdxxppxxxxyxdyyyxyxzxdzzzxzx3.4 3.4 实际流体动量传输方程实际流体动量传输方程纳维尔纳维尔-斯托克斯方程斯托克斯方程微元体微元体x x方向受力分析：方向受力分析：N-SN-S方程推导：方程推导：微元体边长微元体边长dxdx、dydy、dzdz、dydzp-xx左侧面：dxdydzxppxxxxdydz右侧面：法向力法向力切向力切向力dxdzyx后面：dzdddxdzyxyxxyy前面：dxdyzx底面：dzdxdyzdxd
8、yzxzx顶面：体积力：同理想流体，体积力：同理想流体，x x方向分量方向分量X Xdxdydzdxdydz惯性力：惯性力：ma(xma(x方向方向)dtdudxdydzx将上述各力代入将上述各力代入x x方向的动量平衡方程方向的动量平衡方程 mamax x=F=F，有，有dxdydzdtdudxdydzzdxdydzydxdydzxpdxdydzXxzxyxxx（体积力）（体积力）（正应力）（正应力）（切应力）（切应力）（惯性力）（惯性力）两边同除以两边同除以dxdydzdxdydz:)42.3(zyxpXdtduzxyxxxx3.4 3.4 实际流体动量传输方程实际流体动量传输方程纳维尔纳
9、维尔-斯托克斯方程斯托克斯方程为了将方程中的力转换为速度，可根据广义牛顿粘性定律为了将方程中的力转换为速度，可根据广义牛顿粘性定律2(3.43)(3.44)xxxyxxyyxxzxzzxuppxuuxyuuxz 将以上两式代入式（将以上两式代入式（3.423.42），可得：），可得：zuyuxuxzuyuxuxPXdtduzyxxxxx222222对于不可压缩流体对于不可压缩流体=常数，根据连续性方程，上式最后一项为常数，根据连续性方程，上式最后一项为0 0：222222zuyuxuxPXdtduxxxx3.4 3.4 实际流体动量传输方程实际流体动量传输方程纳维尔纳维尔-斯托克斯方程斯托克斯
10、方程 上式两边同除以上式两边同除以，得：且）（46.31222222zuyuxuxPXdtduxxxx（3.463.46）式与（）式与（3.383.38）式类似，只是多了切应力项。）式类似，只是多了切应力项。同理可得同理可得y y、z z方向方程。方向方程。）（46.31222222zuyuxuyPYdtduyyyy）（46.31222222zuyuxuzPZdtduzzz 应用拉普拉斯算子，可将式（应用拉普拉斯算子，可将式（3.463.46）改写为：）改写为：3.4 3.4 实际流体动量传输方程实际流体动量传输方程纳维尔纳维尔-斯托克斯方程斯托克斯方程将上式用矢量表示：将上式用矢量表示：)4
11、7.3(12UPWDtUD （3 3.47.47）式即实际流体的动量守恒方程）式即实际流体的动量守恒方程UPWDtUD2或 物理意义：质量物理意义：质量加速度加速度=压力压力+粘滞力粘滞力+质量力（或重力）质量力（或重力）对无粘性流体对无粘性流体0 0，则（，则（3 3.47.47）式变为（）式变为（3 3.38.38）、（）、（3 3.39.39）式。）式。)47.3(111222zzyyxxuzPZdtduuyPYdtduuxPXdtdu纳维尔纳维尔斯托克斯方程斯托克斯方程 （N NS S方程方程）3.4 3.4 实际流体动量传输方程实际流体动量传输方程纳维尔纳维尔-斯托克斯方程斯托克斯方程
