1、2.3 2.3 相关数学知识相关数学知识傅氏变换傅氏变换物理含义：若函数x(t)表示信号，t时间。则X(f)表示信号的频谱，f 频率，角频率=2=2 f。smtjmmfTeCtxs22 )(s若x(t)是以T为周期的函数，则傅氏变换可以用傅立叶级数表示物理含义：若函数x(t)表示周期信号，t时间。T周期。则Cm表示信号的离散频谱，f频率。角频率=2f。smsfTtmmAtx22 )12cos(1214)(s0 x(t)x(t)是以是以T T为周期的矩形函数，则其傅立叶级数表示为：为周期的矩形函数，则其傅立叶级数表示为：基波（1次谐波）3次谐波5次谐波7次谐波对以对以T T为周期的矩形波的正弦谐
2、波叠加逐次逼近：为周期的矩形波的正弦谐波叠加逐次逼近：1次谐波1、3次谐波1、3、5次谐波1、3、5、19次谐波1、3、5、39次谐波1、3、5、199次谐波1、3、5、1999次谐波离散信号与离散系统的频域表示离散信号与离散系统的频域表示(付氏变换）付氏变换）DFT是重要的变换1.分析有限长序列的有用工具。2.在信号处理的理论上有重要意义。3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。DFTDFT要解决两个问题：要解决两个问题：一是一是离散离散与与量化量化，二是二是快速运算快速运算。信号处理 DFT(FFT)傅氏变换 离散量化傅氏变换的几种可能形式1.连续时间、
3、连续频率的傅氏变换-傅氏变换dtetxjXtj)()(:正dejXtxtj)(21)(:反0)(jX0t)(tx时域信号频域信号连续的非周期的非周期的连续的对称性:时域连续，则频域非周期。反之亦然。2.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数2/2/00)(1)(:ppTTtjkpdtetxTjkX正0tpT)(tx-ktjkejkXtx0)()(:0反0)(0jkXpT20时域信号频域信号连续的周期的非周期的离散的*时域周期为Tp,频域谱线间隔为2/Tp3.离散时间、连续频率的傅氏变换-序列的傅氏变换nTjnTjenTxeX)()(:正x(nT)T-T0T2Tt0Ts2)(TjjeXeX或-2
4、/2/)(1)(:ssdeeXnTxTjnTjs反TTs2,*频域的周期为时域抽样间隔为时域信号频域信号离散的非周期的周期的连续的4.离散时间、离散频率的傅氏变换-DFTx(nT)=x(n)FTp1t0T2T1 2 N NTTpn0002 0 1 2 3)1()1(0NNNN0k)()(0kxexTjk TfTss120NsFTp220NT由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。时域信号频域信号离散的周期的周期的离散的.2,;2*0TTTTspp频域的周期为时域的离散间隔为为函数，频域的离散间隔时域是周期为10,)()()(102NkenxnxDFTkXNnknNj1
5、0,)(1)()(102NnekXNkXIDFTnxNknkNjNWNje2有限序列的离散傅氏变换(DFT)的定义1,1,0 ,)()(10NkWnxkXNnnkN101,1,0 ,)(1)(NknkNNnWkXNnx旋转因子具有下列性质：周期性:共轭对称性:可约性:rNnNnNWW)(nNnNWWnrNrnNWW/nNrnrNWW两者的差别仅在指数的符号和因子1/N.1,1,0 ,)()(10NkWnxkXNnnkN101,1,0 ,)(1)(NknkNNnWkXNnxMATLABMATLAB中快速傅立叶变换函数中快速傅立叶变换函数 y=fft(x);y=fft(x,n);y=fft(x,n
6、,dim)y=fft(x);y=fft(x,n);y=fft(x,n,dim)x:输入序列，其长度小于n时，尾部补零；大于n时，截断成n点数据；若x为矩阵，则fft函数作用于x的每一列。y:序列x的FFT，长度与x相同，一般是复序列。注意：1.对于N点的x，其FFT是N点的复数序列，其点n=N/2+1对应奈奎斯特频率(离散信号系统采样频率的一半)，作谱分析时仅取序列y的前一半，及前N/2点即可；y的后一半序列和前一半是对称的。2.若N点序列x(n)(n=0,1,N-1)是在采样频率fs(Hz)下获得的，则y=X(k)(n=0,1,N-1)，其中，第k点所对应的实际频率值为f=k*fs/N(Hz)。3.做FFT分析时，幅值大小与FFT选择点数有关，但不影响分析结果。FFT FFT IFFTxx(n)h(n)y(n)X(k)H(k)Y(k)
