1、 在已知自相关矩阵的情况下，L-D算法虽是一种很完善的估计方法，但用于已知数据（而不是已知自相关阵）的情况，需要用自相关估计值代替真实值，即使估计质量变坏，又增加了计算工作量。有必要寻求一种能绕过相关估计，直接由已知数据估计反射系数的方法。这就需要对预测误差有进一步的了解。本节讨论的内容就是这一类方法的基础。格形滤波器前向预测是由x(n-1),x(n-2),x(n-p)预测x(n)由x(n-p+1),x(n-p+2),x(n)“预测”x(n-p)称为后向预测1()()()()()()mmke nx nx nx nak x nk1()()()pppkkenx na x nk,00()(),1pp
2、p p kpkenax nka1()()()ppkke nx na x nk11()()()()mmmma kaka m am k11111(1)()()(1)1()(1)ppppppapenenapenen00()()()()enx nenx n1,1,()pkpkppp kaaap a可得：格形滤波器最重要的两个性质：各级参数(反射系数)的模值小于1,一般情况下可保证滤波器稳定;级间是“去耦”的,因此,当各级分别调至最佳时可以使滤波器达到全局最佳yule-walker方法用最小平方时间平均准则代替集合平均准则：1()()()pppkkenx na x nk1201()minNppnenN
3、120()minNppnen 或如图所示的是用自相关法计算ep+(n)的原理例 试根据信号的四个取样值x(n)=2,4,1,3,分别用自相关法和协方差法估计AR(1)模型参数。解:(1)自相关法 e1+(n)按下图计算很简捷协方差法 用下列时间平均最小平方准则代替集合平均的最小平方准则 上式与自相关法的主要区别是求和范围不同。现在的求和范围是p(N-1)。这意味着,并没有假设已知数据x(n)(0nN-1)以外的数据等于0,或者说,没有“加数据窗”的不合理假设。这一特点如下图所示。12()minNpn pen协方差法存在着稳定性问题,举例说明如下。设输入序列长度为3,对其进行1阶线性预测,误差产
4、生的过程如下图所示。可以得出 由上式看出,a11的计算式中分母与x(2)无关,因而若x(2)足够大,就有可能使|a11|1,这表明预测误差滤波器不是最小相位的,所以不稳定。在实际应用协方差法时应当注意这个问题。例 试根据信号的四个取样值x(n)=2,4,1,3,分别用自相关法和协方差法估计AR(1)模型参数。解:(2)协方差法：e1+(n)按下图计算很简捷Burg法 自相关法的计算效率高,且能保证预测误差滤波器是最小相位的,但数据两端要附加0取样值,实际上等效于数据加窗,这将使参数估计的精度下降。特别是当数据段很短时,加窗效应更为严重。协方差法计算效率也高,但潜在着不稳定因素。自相关法和协方差
5、法都是直接估计AR参数。Burg法则一方面希望利用已知数据段两端以外的未知数据(但它对这些未知数据不作主观臆测),另一方面又总是设法保证使预测误差滤波器是最小相位的。Burg法与自相关法和协方差法不同,它不直接估计AR参数,而是先估计反射系数,然后利用 Levinson Durbin递推算法由反射系数求得AR参数 Burg法首先要估计反射系数,所使用的准则是前向和后向预测误差功率估计的平均值最小准则,预测误差功率估计仍然用时间平均来代替集合平均。因此,Burg法估计反射系数的准则表示为 上式的求和范围与协方差法相同。前向和后向预测误差滤波器的工作都是在数据段上进行的(数据段两端不需要补充0),
6、如下图所示。122()()minNppn penen由上式求对反射系数ap(p)的偏导数并令其等于0,解出 利用 Schwarz不等式可以证明:|ap(p)|1。这就保证了预测误差滤波器具有最小相位性质。11111(1)()()(1)1()(1)ppppppapenenapenen 一般情况下,求出ap(p)后,即可利用 levinson-durbin递推算法中式子由p-1阶AR参数计算出p阶AR参数。综上所述,Burg法可归纳为以下三个公式:11111(1)()()(1)1()(1)ppppppapenenapenen1,1,()pkpkppp kaaap aBurg法估计AR(p)模型参数
7、的具体计算步骤如下:确定初始条件确定k-1阶AR参数(迭代计算时,k值从1开始选取):ak-1,i,k-12,knN-1 计算ak(k)。计算aki计算ek+(n)和ek-(n)，knN-1计算k阶均方误差,其公式为k2=(1-ak2(k)k-12 回到步骤,进行下一次迭代。00()()()enenx n122001()NnxnN 一般来说,如果处理的数据采自AR过程,那么采用Burg算法可以获得精确的AR谱估计,但在处理正弦信号的数据时却会遇到某些困难。例如谱线分裂问题,谱峰位置受相位影响很大的问题等。为减小相位的影响,可对反射系数估计公式进行如下修正式中,p(n)为适当选择的一个具有非负权
8、值的窗函数。MATLABMATLAB实现实现A=LEVINSON(R,ORDER)A=ARYULE(X,ORDER)功能：采用L-D递推算法来求解AR模型的参数a1,a2,.,ap及白噪方差。两者均为定阶order求解，但前者输入参数为序列的自相关函数，后者为采样序列。Pyulear函数功能：利用Yule-Walker方法(自相关法)进行功率谱估计格式：Pxx=Pyulear(x,order,nfft)Pxx,F=Pyulear(x,order,nfft,Fs)Pyulear(x,order,nfft,Fs)Pxx=Pyulear(x,order,nfft)中：order：指定AR模型的阶数；
9、nfft：设定FFT算法的长度，默认为256；若nfft为偶数，则Pxx 为nfft/2+1维的列向量；若为奇数，Pxx为（nfft+1）/2维的列向量；x为复数时，Pxx的长度为nfft。Pxx,F=Pyulear(x,order,nfft,Fs)中，可在F向量得到功率谱估计的频率点，Fs指定采样频率。Pyulear(x,order,nfft,Fs)直接画出功率谱估计的曲线图 Pcov函数功能：利用协方差法进行功率谱估计格式：Pxx=Pcov(x,order,nfft)Pxx,F=Pcov(x,order,nfft,Fs)Pcov(x,order,nfft,Fs)其格式说明调用参看Pyule
10、ararburg函数、PBURG函数功能：分别利用Burg法求解AR模型参数和功率谱估计格式：A=ARBURG(X,ORDER)Pxx=Pburg(x,order,nfft)Pxx,F=Pburg(x,order,nfft,Fs)Pburg(x,order,nfft,Fs)Pburg格式说明调用参看PyulearAR模型谱估计的性质1、AR谱的平滑特性 由于AR模型是的多项式的有理分式，因而估计出的谱要比经典法的谱平滑。2、古典法需要的原始数据较长，否则估计误差就比较大。因为古典法是通过DFT得来，DFT是将数据看做周期重复的假设下得来的。AR谱则是对延迟p范围外的自相关做预测延伸取得的，因而
11、数据的有效范围宽得多。3、AR谱的分辨率 经典谱估计的分辨率由俩相邻谱线间的频率间隔决定：=2/N，反比于有效信号的长度，但现代谱估计的分辨率可以不受此限制。这是因为，对给定的N点有限长序列x(n)，虽然其估计出的自相关函数也是有限长的，但现代谱估计的一些方法隐含这数据和自相关函数的外推，使其可能的长度超过给定的长度，因而AR谱的分辨率较高，参数谱的频率分辨率决定于模型极点接近单位圆的程度，越接近，产生的谱峰越突出，因而分辨率越高。AR谱估计的异常现象及其补救措施 在实际工程应用中常会观察到AR谱估计的几种异常现象,例如虚假谱峰,谱线分裂,谱峰位置受相位影响,噪声使谱估计恶化,等等。人们相应地
12、提出了一些措施。虚假谱峰 如果自相关函数的取样值或反射系数值的估计没有误差,那么AR(p)模型参数的估计在理论上应该为 式中,api为AR(p)模型的精确参数值;等式左边为其估计值。但实际上自相关函数或反射系数的估计是有误差的,这就可能(一般来说是这样)使对于大于p的i值有估计值不等于0,相应地将产生n-p个额外的极点。若这些额外的极点出现在单位圆附近,会形成虚假的谱峰。为此,有人建议模型的阶不宜选得过高,最高不应超过N/2,这里N是数据记录长度,1,2,0,1,2,pipiaipaippn谱线分裂 如果要估计的随机过程是由一个正弦信号叠加噪声所构成的,那么在实验中会观察到:AR谱估计中谱峰出现的位置与正弦信号的初相位有很密切的关系。而对于某些算法,还会观察到AR谱估计中存在两个靠得很近的谱峰,似乎在随机过程中还存在另一个正弦信号。这一现象称为谱线分裂。谱峰位置对相位的依赖性随数据记录长度的增加而减小。对于不同的AR谱估计方法,这种相位依赖性的大小是不同的。例如,前向和后向预测误差方法对相位依赖性最小,而Burg算法得到的谱估计,其谱峰位置的移动有可能大到原位置的16%。
