1、在生物医学的随机信号的分析与处理中，必然涉及随机信号作用于各类系统情况下系统输出与输入之间的关系问题，最简单的例子：将随机信号通过放大、平方检波、包络检波、滤波等等。众所周知，确定性信号通过线性系统时，基本关系是：时域上的卷积关系：频域上的乘积关系：dhtxdthxty)()()()()()()()(XHY3.3 3.3 随机信号通过线性时不变系统随机信号通过线性时不变系统 如果x(t)是随机信号，就不可能对时域卷积做傅氏变换，因为随机信号不存在傅氏变换。虽然直接分析输出信号的概率密度函数是最基本的办法，但除高斯型信号外，一般的来说，输出信号的概率密度函数比较难求（高斯型信号通过线性系统后仍是
2、高斯型的）。因此，研究随机信号通过线性系统的任务主要是研究输入与输出间相关函数和谱密度函数间的内在联系。所以，本节讨论的主要内容如下：1)1)输入、输出间自相关函数和功率谱的关系以及两者间的互相关函输入、输出间自相关函数和功率谱的关系以及两者间的互相关函数和互谱，把它们和系统的冲激响应和频率特性联系起来，这些是数和互谱，把它们和系统的冲激响应和频率特性联系起来，这些是用于随机问题的基本关系。用于随机问题的基本关系。2)2)初步介绍一些线性系统在处理随机信号时的应用。初步介绍一些线性系统在处理随机信号时的应用。应当指出：本本节介绍的分析方法只适用于输出能保证平稳的情况下节介绍的分析方法只适用于输
3、出能保证平稳的情况下。怎样才能保证输出是平稳的呢？条件是：1、输入是平稳的；2、系统是平稳时不变的。这是由于（和确定性情况一样）输出应包含两个分量-由输入引起的强制分量和由系统特性及初始状态决定的自由分量。只有满足上述两条件时，自由分量才会逐渐消失，强制分量才是平稳的。本节介绍的分析方法正是对平稳的强制分量而言。均值均值 的均值 按定义为这里 是确定的系统特性。又因 是平稳随机过程。有所以有即当 是与时间无关的常数时，也是与时间无关的常数。ymymkkyknxkhEknxkhEnyEm)()()()()()(hxmknxEnxE)()()()(0jxxkyeHmmkhmxmym)(ny)(nx
4、)(mRyy()jyyGe)(ny自相关函数自相关函数 及功率谱及功率谱 我们暂时假设输出 是非平稳的，则其自相关函数为因为 是平稳的，所以所以 由于求和结果与n无关，从而，输出自相关序列也只与时间差m有关。因此可以得出结论：对于一个线性非时变系统，如果用一个平稳随机信号激励，则输出信号也将是一个平稳随机信号。rkrkyyrmnxknxErhkhrmnxrhknxkhEmnynyEmnnR)()()()()()()()()()(),()(nx)()()(rkmRrmnxknxExx)()()()(),(mRrkmRrhkhmnnRyyrxxkyy 令l=r-k，上式可表示为 这里 可称之为 的
5、自相关序列，它是一个时间卷积的结果。是一个确定的（而不是随机的）序列，它并无统计平均的含义可言。它是 与 的卷积，具有相关函数的形式，说明着系统特性 的前后波及性。变换得)()()()()()(lvlmRklhkhlmRmRlxxklxxyy)()()()()(lhlhklhkhlvk)(lv)(h)(nh)(nh)(nh)()()()()(mvmRlvlmRmRxxlxxyy)(h（1）(,)()()()()yyxxyykrRn nmh kh r RmkrRm 将式(1)进行z变换有：将 代入，并用功率谱密度表示，上式为 上式称为维纳-辛钦定理。它表明：一个随机信号通过系统 ，从频域看其输出
6、功率谱密度等于输入功率谱密度与 的模平方的乘积。这里 是的非负、实、偶函数。1()()()()()()yyxxxxGzGz V zGz H z H zjez 2()()()jjjyyxxGeH eGe)(zH)(jeH2)(jeH设 （自相关函数的z变换存在）0 xm互相关函数和互功率谱密度互相关函数和互功率谱密度 线性非时变系统的输入和输出之间的互相关函数。按定义上式又称为输入-输出互相关定理。将其代入式(1)得)()()()()()()()()()(mhmRkmRkhkmnxkhnxEmnynxEmRkxxxxkxy)()()(*)()()(mhmRmhmhmRmRxyxxyy 设 （自相
7、关函数的z变换存在），变换到z域有：用功率谱表示有0 xm()()()xyxxGzH z Gz1()()()yyxyGzH zGz()()()jjjxyxxGeH eGe()()()jjjyyxyGeH eGe2(0)()()()()()()()()()()()()()yxyyxxyyxxxyxxxyxxmm HRRhhGGHRRhGGH例1 用白噪声激励一线性系统，系统的冲激响应为h(t)，频率特性为H(W)。设白噪声的功率谱为N/2。求输入、输出间的互相关函数和互谱。()2xNG()()2xNR()()()()2xyxNGGHH()()2xyNRh解：而则()xyR()xyG可见，直接反映
8、系统的冲响应，直接反映系统的频率特性。可以直接用下图所示的办法来测定系统的冲激响应和频率特性：应用白噪声激励来测定生理系统的特性是近年来开展的研究课题。测试时激励源可以采用统计特性接近于白噪的伪随机信号。这类方法既可以用于线性系统，也可以用于非线性系统。()yR m()jyG e例2 将随机信号x(n)加到一个递归滤波器上，如下图所示，设输入是零均值、方差为x2的白噪声。求 1y nay nx n解：依图有先求 ：()yR m 222222(0)1121(0)(0)yyxRE ynEay nx na E ynE xnaE y nx na RR222(0)(0)11xxyRRaa (1)11(0
9、)yyRE y n y nE y nay n x naR 2(2)212(1)(0)yyyRE y n y nE y nay nx naRa R则有22()(0)1mmxyyR ma Raa可见距离越远的采样值，相关性越小。再求()jyG e对递归方程做Z变换得：1()()()Y zaz Y zX z122()1()()11()11()12 cosjjjY zH zX zazH eaeH eaa222()()()12 cosjjjyxxG eG eH eaa()jyG e()yR ma值大，则 下降快，下降慢。例3 设有图所示RC电路，假定输入为零均值的平稳随机过程,且相关函数为求输出Y(t)的自相关函数。eRX)(解RC电路的冲激响应为 RC/111()11j CHj RCjRj C )()(tUetht冲激响应为222()XG eRX)(2222222)()()(HGGXY2222222222222222()YG 22()()YRee
