1、第二章第二章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何2.4 用向量讨论垂直与平行用向量讨论垂直与平行一、复习1 1、用空间向量解决立体几何问题的、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为（化为向量问题）向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向
2、量运算）（进行向量运算）（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（回到图形（回到图形问题）问题）2、平行与垂直关系的向量表示、平行与垂直关系的向量表示设直线设直线l，m的方向向量分别为的方向向量分别为 ，平面平面 ，的法向量分别为的法向量分别为 ，abuv（1）平行关系）平行关系线线平行线线平行ml/baba /线面平行线面平行/l0 uaua面面平行面面平行 /vuvu /设直线设直线l，m的方向向量分别为的方向向量分别为 ，平面平面 ，的法向量分别为的法向量分别为 ，abuv （2）垂直关系）垂直关系线线垂直线线垂直 ml0 baba线面垂直
3、线面垂直 luaua /面面垂直面面垂直 0 vuvu二、新课二、新课（一）（一）用向量处理平行问题用向量处理平行问题（二）（二）用向量处理垂直问题用向量处理垂直问题（一）用向量处理平行问题（一）用向量处理平行问题1:,./ABCDABEFMNBFFMANMNEBC例如图已知四边形、为两个正方形分别在其对角线上且求证：平面:,BEAB FMAN FBAC证明 在正方形ABCD与ABEF中,.FB ANAC 存在实数使FM()()()(1).MNMFFAANBFEBACBEBAABADEBBEADEBBEBCBEBEBC ADCBEFNM1:,./ABCDABEFMNBFFMANMNEBC例如图
4、已知四边形、为两个正方形分别在其对角线上且求证：平面.,/MN BE BCMEBCMNEBC 、共面平面平面评注：评注：向量向量p p与两个不共线的向量与两个不共线的向量a a、b b共面的充要条件是共面的充要条件是存在实数对存在实数对x,yx,y使使p=xa+yb.p=xa+yb.利用共面向量定理可以证明线面平行问题。利用共面向量定理可以证明线面平行问题。本题用的就是向量法。本题用的就是向量法。ADCBEFNM11111112.-,:/A B C DA B C DA B DC B D例在 正 方 形中求 证平 面平 面11111:,D ADCD Dx y z证明 如图分别以、三边所在的直线为
5、轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,111(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,0,1)(1,0,1),(1,0,1)ABCDDB C 1则则A1111111111111/./././.A DB CA DB CA DCB DA BCB DA BDCB D 即 直 线，则平 面同 理 右 证：平 面平 面平 面1CA1AB1BCD1DXZY11111112.-,:/ABC DA B C DA BDC B D例在 正 方 形中求 证平 面平 面评注：评注：由于三种平行关系可以相互转化，由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明。所以本题可用逻辑推理来证明。用向量
6、法将逻辑论证转化为问题的算法化，用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，方能减少运算量。本题选用了坐标法。方能减少运算量。本题选用了坐标法。XYZA1ABCD1B1C1D（二）用向量处理垂直问题（二）用向量处理垂直问题:,.ABCDA B C DCC BDA FBDE例3在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面,DA DC DDxyzA 证明:如图取分别为 轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2.A(2,0,0),B(2,2,0),(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0)YXZFE:,.AB
7、CDA B C DCC BDA FBDE例3在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面(1,1,2),(2,2,0),(0,2,1)(1,1,2)(2,2,0)0,(1,1,2)(0,2,1)0,.A FDBDEA F DBA F DEA FDB A FDEDBDEDA FBDE 又平面XYZEF:,.ABCDA B C DCC BDA FBDE例3在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面评注：评注：本题若用一般法证明，本题若用一般法证明，容易证容易证AF垂直于垂直于BD，而证而证AF垂直于垂直于DE，或证或证AF垂直于垂直于EF则较难，则较难，用建立空间坐标系的方法用建立空间坐标系的方法能
8、使问题化难为易。能使问题化难为易。EFXYZ,ABCA B CAAABCA CABBCAB练习：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：.2/1,0,0,1cbcabaACcABbAAa设证明：设底面边长为bacCCACBABCabBBABABacACAACAABCBCA向量法向量法,ABCA B CAAABCA CABBCAB练习：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：220()()12A CABcabac bc aa baac b 2222(2)()(2)()221 10caabbaabbaaa bbab )()(abbacABBCABCBCA,ABCA B CAAABCA CABBCA
9、B练习：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：).,1,0(),1,0(),0,3().0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(.,2hChBhACBAh系如图建立空间直角坐标高为设底面边长为222031,2.020.ABA ChhABBChBCAB (3,1,),(3,1,),(0,2,)ABhA Ch BCh ABCBCA坐标法坐标法三、小结三、小结利用向量解决平行与垂直问题利用向量解决平行与垂直问题v向量法：利用向量的概念技巧运算解决问向量法：利用向量的概念技巧运算解决问 题。题。v坐标法：利用数及其运算解决问题。坐标法：利用数及其运算解决问题。两种方法经常结合起来使用。两种方法经
10、常结合起来使用。四、作业四、作业 011111111,90,1,2,1,.ABCA B CACBACCBAAAA B BD B CMCDBDM作业：如图 直三棱柱中侧棱侧面的两条对角线交点为的中点为求证平面:,C解如图以 为原点建立空间直角坐标系.111,0,0),(2,1,0),(0,1,1),2 1 12(,),(,1,0),22 222 1 111(,),(2,1,1)(0,),22 222BBADMCDABDM (2，ABCDM1A1B1C011111111,90,1,2,1,.ABCA B CACBACCBAAAA B BD B CMCDBDM作业：如图 直三棱柱中侧棱侧面的两条对角线交点为的中点为求证平面1110,0.,.,.CDABCD DMCDAB CDDMAB DMBDMCDBDM 则为平面内的两条相交直线平面ABCDM1A1CB1
