1、 第 1 页 共 5 页 太原市 2020 年高三年级模拟试题（三） 数学数学试题试题（理）（理）参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、选择题（每一、选择题（每小小题题 5 5 分分，共，共 6060 分分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C A B D D A C C B C 二二、填空、填空题题（每（每小小题题 5 分，共分，共 2020 分）分） 13. 8 14 2 3 15 3 16 三三、解答、解答题题（共（共 7070 分）分） 17 （本小题满分 12 分） 解（1）由已知得， 1 221 abbb，所以 1 1a 1分 又因为
2、n a是公差为1的等差数列，所以nan 3 分 所以 1 (1) nn nbnb ，所以数列 n nb是常数数列， 所以 1 1 n nbb，所以 1 n b n 6 分 （2）由已知得, 2 n n n c ， 7 分 所以 23 123 2222 n n n S , 2341 11231 222222 n nn nn S , 得 2341 111111 2222222 n nn n S = 11 (1) 22 1 1 2 n 1 2n n 1 2 1 2n n , .11 分 2 2 2 n n n S . 12 分 18.（本小题满分 12 分） 解：（1）2 2 列联表： 4 分 年龄
3、低于 65 岁的人数 年龄不低于 65 岁的人数 合计 了解 a=29 c=3 32 不了解 b=11 d=7 18 合计 40 10 50 第 2 页 共 5 页 2 2 50 (29711 3) 6.2726.635 40 10 32 18 K . 5 分 所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类 的有关知识有差异. 6 分 （2）X 的所有可能取值为 0，1，2，3， 则 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 10 分 所以X的数学期望是 12分 19.（本小题满分 12 分） 证明（1）如图，过点D作/ /DEAC交 1 AA于E，连接,CE
4、 BE， 设ADCEO，连接BO， 1 ACAA， DEAE， 又AD为 1 A AC的角平分线， 四边形AEDC为正方形，CEAD，2 分 又ACAE，BACBAE，BABA， BACBAE，BCBE， 又O为CE的中点，CEBO. 4 分 又,AD BO平面BAD，ADBOO，CE平面BAD，.5 分 又CE 平面 11 AACC，平面 BAD平面 11 AACC，.6 分 （2）在ABC中，4ABAC，60BAC，4BC， 在Rt BOC中， 1 2 2 2 COCE， 2 2BO ， 又4AB ， 1 2 2 2 AOAD， 222 BOAOAB ，BOAD， 又BOCE，ADCEO，
5、,AD CE 平面 11 AACC，BO平面 11 AACC，7 分 建立如图空间直角坐标系Oxyz，则(2, 2,0)A， 1(2,4,0) A， 1( 2,4,0) C ， 1(0,6,2 2) B， 11 (2,2,2 2)C B， 1 ( 4,6,0)AC ， 11 (4,0,0)C A ， 设平面 11 ABC的一个法向量为 111 ( ,)mx y z，则 11 1 mC B mAC ， 11 111 460 222 20 xy xyz ， 第 3 页 共 5 页 令 1=6 x，得 (6,4, 5 2)m , .9 分 设平面 111 ABC的一个法向量为 222 (,)nxy
6、z，则 11 11 nC B nC A ， 2 222 40 222 20 x xyz ，令 2= 2 y，得(0, 21)n ,，.11 分 9 23 17 cos, 171023 m n m n mn ， 由可知二面角 111 ABCA是锐角，故二面角 111 ABCA的余弦值为 3 17 17 . .12 分 20(本小题满分 12 分) 解（1）因为椭圆 C 的焦距为 2，所以 22 1ab， 1 分 因为椭圆 C 过点 (1， 3 2 )，所以 22 19 1 4ab 2 分 解得 2 4a ， 2 3b ， .4 分 故椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 31 5 分 （2）设 B
7、(m，n)，记线段 MN 中点为 D 因为 O 为BMN 的重心，所以BO2OD，则点 D 的坐标为(m 2， n 2) 6 分 若 n0，则|m|2，此时直线 MN 与 x 轴垂直， 故原点 O 到直线 MN 的距离为|m 2|，即为 1 若 n0，此时直线 MN 的斜率存在 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x2m，y1y2n 又x1 2 4 y1 2 3 1，x2 2 4 y2 2 3 1，两式相减得(x1x2)(x1x2) 4 (y1y2)(y1y2) 3 0， 可得 kMNy1y2 x1x2 3m 4n 8 分 故直线 MN 的方程为 y3m 4n(x m 2) n 2
8、，即 6mx8ny3m 24n20， 则点 O 到直线 MN 的距离为 d |3m24n2| 36m264n2 将m 2 4 n 2 3 1，代入得 d 3 n29 10 分 因为 0n23，所以 dmin 3 2 又 3 2 1，故原点 O 到直线 MN 距离的最小值为 3 2 12 分 第 4 页 共 5 页 21.（本小题满分 12 分） 解：（1）)0( 12ln2 1 ln)( xaxxax x xxxf ， 1 分 令, 0)xf（得 1ln 2 x a x ，记 1ln ( ), x Q x x 则 2 ln )( x x xQ ， 令0)( xQ，得10 x；令0)( xQ，得
9、1x， )(xQ在) 1 , 0(上是增函数，在), 1 ( 上是减函数，且( )= (1)1Q xQ 最大 ， 当, 12 a即 2 1 a时，0)( xf无解，)(xf无极值点， 当, 12 a即 2 1 a时， ( )0fx 恒成立，)(xf无极值点， 当120 a，即 2 1 0 a时，0)( xf有两解，)(xf有 2 个极值点 当02 a即0a时，0)( xf有一解，)(xf有一个极值点. 综上所述：当 1 2 a ,( )f x无极值点； 2 1 0 a时，( )f x有 2 个极值点； 当0a ，( )f x有 1 个极值点. 6 分 （2）xaxxxxg 2 ln)(，)0(
10、2ln)( xaxxxg， 令0)( xg，则02ln axx， x x a ln 2 ， 记 x x xh ln )(，则 2 ln1 )( x x xh ， 由, 0)( xh得ex 0，由0)( xh，得ex ， )(xh在), 0(e上是增函数，在),( e上是减函数， , 1 )()( max e ehxh当ex 时，0)(xf， 当 e a 1 20即 e a 2 1 0时，)(xg有 2 个极值点 21,x x. 7 分 由 22 11 2ln 2ln axx axx ， 得 121212 ln()lnln2 ()x xxxa xx ， 12 12 ln() 2 x x a xx
11、 ， 8 分 不妨设, 21 xx 则 21 1xex，exxx 221 ， 9 分 又)(xh在),( e上是减函数， 12212 12212 ln()lnln() 2 xxxx x a xxxxx ， 11 分 1212 ln()ln()xxx x ， 2121 xxxx . 12 分 第 5 页 共 5 页 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 解（1）因为6cos，所以 2 6 cos， 所以 22 6xyx，即曲线C的直角坐标方程为 22 (3)9xy， 2 分 直线l的参数方程 3 cos, 4 3 2sin 4 xt yt (t为参数)，即 2 , 2 2
12、 2 2 xt yt (t为参数)， 5 分 （2）设点A，B对应的参数分别为 1 t， 2 t， 将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得 22 22 329 22 tt ， 整理，得 2 405 2tt ，所以 12 12 5 2 4 tt t t ， 7 分 121212 0,0,0,0tttttt， 所以 12 MAMBtt 12 ()tt =5 2 , MA MB| 21t t =4, 所以 11 MAMB = M M M AMB AB 5 2 4 . 10 分 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 解：（1）当1a时，4|2| 1|4)(xxxf ， 化为 32 1 x x 或 43 21x 或 412 2 x x , 3 分 解得 1 2 3 x 或 21x 或 2 5 2 x ， 2 5 2 3 x .即不等式 ( )4f x 的解集为) 2 5 , 2 3 ( . 5 分 （2）根据题意，得 2 24mm的取值范围是( )f x值域的子集. 33) 1(42 22 mmm ， 又由于| 12|2| 1|)(aaxxxf，)(xf的值域为)|,12|a， 8 分 故3| 12|a，12a.即实数a的取值范围为 1 , 2. 10 分 注：以上各题其他正确解法相应得分注：以上各题其他正确解法相应得分
