1、北京市怀柔区2021届高三下学期适应性练习数学试题一选择题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知集合,则图中阴影部分的集合为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由维恩图可知,阴影部分为集合.故选:B.2. 在复平面内,复数对应的点的关于实轴对称,若,则( )A. B. 5C. D. 3【答案】B【解析】因为复数对应的点的关于实轴对称,所以互为共轭复数,所以,故选:B.3. 在的展开式中,的系数为( )A. 20B. C. D. 40【答案】C【解析】由题得的展开式的通项为令5-r=2,则r=3,所以的系数为故答案为:C.4.
2、曲线与曲线的( )A. 焦距相等B. 实半轴长相等C. 虚半轴长相等D. 离心率相等【答案】A【解析】由双曲线可知,由双曲线可知,所以焦距相等,实半轴长不相等,虚半轴长不相等,离心率不相等.故选:A.5. 要得到函数的图象,只需将函数的图象( )A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位【答案】D【解析】函数,要得到函数的图象,只需将函数的图象向左平移个单位故选:D6. 某四棱柱三视图如图所示,该几何体的体积为( )A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】由三视图还原原几何体如图所示:该几何体为直四棱柱,底面为直角梯形,则其体积为故选:C7. “
3、”是直线与圆相交的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时,直线为,过圆心,故直线与圆相交,当直线与圆相交时,圆心到直线的距离,化简得,显然恒成立,不能推出,所以“”是直线与圆相交的充分不必要条件,故选:A.8. 设等比数列的前n项和为,若,则下列式子中的数值不能确定的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因,所以,所以,所以,所以故选:D.9. 已知函数,且关于x的方程恰有两个互异的实数解,则实数a的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】方程恰有两个互异的实数解,转化为与的图象有2个不
4、同的交点,作函数与的图象如下,由图可知,当时,方程恰有两个互异的实数解.故选:B.10. 形状节奏声音或轨迹,这些现象都可以分解成自复制的结构.即相同的形式会按比例逐渐缩小,并无限重复下去,也就是说,在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式,依此类推,如图所示,将图1的正三角形的各边都三等分,以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形,去掉中间一段得到图2,称为“一次分形”;用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作,得到图3,称为“二次分形”;依次进行“n次分形”,得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图,则n最小值是( )(取)A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】C【解析】
5、设正三角形的一条边长为a,“一次分形”后变为长为的折线,“二次分形”后折线长度为,“n次分形”后折线长度为,所以得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图,只需满足,两边同时取常用对数得:,即得:,解得,故至少需要17次分形,故选:C.二填空题5小题,每小题5分,共25分.11. 函数的定义域为_.【答案】【解析】因为函数,所以解得,所以函数定义域为,故答案为:.12. 若抛物线C顶点在原点,焦点在y轴上,且过点,则C的标准方程是_.【答案】【解析】因为抛物线C顶点在原点,焦点在y轴上,故设抛物线方程为,又抛物线过点,所以,即,所以抛物线方程为故答案为:.13. 在中,则_.【答案】2【
6、解析】因为,所以解得或(舍去)故答案为:2.14. 若函数的一个零点为,则常数的一个取值为_.【答案】【解析】因为函数的一个零点为,所以,即,所以时,满足条件,是常数的一个取值.故答案为:.15. 如图,在直角梯形中,P为线段上一个动点,设,对于函数给出下列四个结论:当时,函数的值域为;,都有成立;,函数的最大值都等于4;,函数的最小值为负数.其中所有正确结论的序号是_.【答案】【解析】建立如图坐标系,根据题意,故,故,则,则,当时,故当时,最小值为,当时,最大值为,即值域为,错误;时,正确;,对称轴为,当时,即,函数在上递减,故当时,取得最大值,当时,取得最小值;当时,根据抛物线对称性可知,
7、当时,函数取得最大值,当时,取得最小值.综上可知,函数的最大值都等于4,故正确;取时,取得最小值,故正确.故答案为:.三解答题共6小题,共85分,解答应写出文宇说明,演算步骤或证明过程.16. 如图,在四棱柱中,平面,底面是边长为1的正方形,侧棱.(1)求证:平面;(2)求证:;(3)求二面角的余弦值.(1)证明:四棱柱中,平面,平面,由正方形可知,,且平面,平面,平面,平面,平面平面,平面,平面 (2)证明:以A为原点,AD为x轴,AB为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,, 即.(3)解:设平面的法向量,, 即,令,则,设平面的法向量, ,即 ,令,则,即二面角的余弦值为.17. 已知函数,
8、再从条件条件条件这三个条件中选择一个作为已知,求:(1)的单调递增区间;(2)在区间的取值范围.条件:;条件:;条件:.注:如果选择不同条件分别解答,按第一个解答计分.解:选:,(1)由知,单调递增区间(2)当时,所以.选:,(1)令, 解得,所以的单调递增区间为(2)当时,所以,所以.选:,(1)令,解得,所以单调递增区间为,(2)当时,所以,所以18. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,对该流水线上的产品进行简单随机抽样,获得数据如下表:分组区间(单位:克)产品件数34751包装质量在克的产品为一等品,其余为二等品(1)估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率;(2)从上述抽取
9、的样本产品中任取2件,设X为一等品的产品数量,求X的分布列;(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为一等品的产品数量,求Y的分布列;试比较期望与则望的大小.(结论不要求证明)解:(1)样本中一共有件产品,包装质量在克的产品有件,故从该流水线任取一件产品为一等品的概率(2)依题意的可能取值为、;,故的分布列为:(3)由(2)可得依题意,则的可能取值为,故的分布列为:所以所以19. 已知函数,其中.(1)若曲线在处的切线与直线平行,求a的值;(2)若函数在定义域内单调递减,求a的取值范围.解:(1)由题可知,则,解得(2)在上是减函数,对恒成立,所以,令,则由得,当时,当时,所以在上单调递减,在上单
10、调递增,所以,故只需故的取值范围是20. 已知椭圆过点,且,若直线与椭圆C交于M,N两点,过点M作x轴的垂线分别与直线交于点A,B,其中O为原点.(1)求椭圆C的方程;(2)若,求k的值.解:(1)椭圆过点,且,椭圆C的方程为(2)如图,设, ,由得 ,为的中点,即,解得.21. 定义满足以下两个性质的有穷数列为阶“期待数列”:;.(1)若等比数列为4阶“期待数列”,求的公比;(2)若等差数列是阶“期待数列”(.k是正整数,求的通项公式;(3)记阶“期待数列”的前n项和为(.k是不小于2的整数),求证:.解:(1)依题意,等比数列为4阶“期待数列”,故数列满足,.易见,若公比q为1,则式即,不符合题意,故,故式即,即,故,所以的公比为-1;(2)依题意,等差数列是阶“期待数列”,设等差数列公差为d,则数列满足;.故式即,即,即.若时,有,则式即,故,即,得,所以;若时,有,则式即,故,即,得,所以.综上,时,;时,;(3)设阶“期待数列”的所有非负项之和为A,所有负数项之和为B,依题意数列满足;.即,则解得,当所有非负数项一起构成时,最大为,即;当所有负数项一起构成时,最小为,即.故,所以.