1、一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1某地是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好，,景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是于是，他们很快就算出了AB的长你也算算？（结果精确到参考数据：.）【答案】AB的长约为【解析】【分析】作于F，根据正弦的定义求出BF，利用余弦的定义求出CF，利用正切的
2、定义求出DE，结合图形计算即可【详解】解：作于F，在中，在E中，由勾股定理得，答：AB的长约为【点睛】考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键2如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53的方向上，位于哨所B南偏东37的方向上（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76的方向前去拦截求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截（结果保留根号）（参考数据：sin3
3、7cos53，cos37sin53去，tan372，tan76）【答案】（1）观察哨所与走私船所在的位置的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时海里的速度行驶时，恰好在处成功拦截.【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出ACB90，再解RtABC，利用正弦函数定义得出AC即可；（2）过点C作CMAB于点M，易知，D、C、M在一条直线上解RtAMC，求出CM、AM解RtAMD中，求出DM、AD，得出CD设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程，解方程即可【详解】（1）在中，.在中，所以（海里）.答：观察哨所与走私船所在的位置的距离为1
4、5海里.（2）过点作，垂足为，由题意易知，在一条直线上.在中，.在中，所以.所以.设缉私艇的速度为海里/小时，则有，解得.经检验，是原方程的解.答：当缉私艇以每小时海里的速度行驶时，恰好在处成功拦截.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想3（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）【答案】【解析】试题分析：作ADBC于D，于是有
5、ABD=45，得到AD=BD=，求出C=60，根据正切的定义求出CD的长，得到答案试题解析：作ADBC于D，EAB=30，AEBF，FBA=30，又FBC=75，ABD=45，又AB=60，AD=BD=，BAC=BAE+CAE=75，ABC=45，C=60，在RtACD中，C=60，AD=，则tanC=，CD=，BC=故该船与B港口之间的距离CB的长为海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题4如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG（1）连接GD，求证：ADGABE；（2）连接FC，观察并直接写出FCN的度数（不
6、要写出解答过程）（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB6，BC8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上判断当点E由B向C运动时，FCN的大小是否总保持不变，若FCN的大小不变，请求出tanFCN的值若FCN的大小发生改变，请举例说明【答案】（1）见解析；（2）FCN45，理由见解析；（3）当点E由B向C运动时，FCN的大小总保持不变，tanFCN理由见解析.【解析】【分析】（1）根据三角形判定方法进行证明即可（2）作FHMN于H先证ABEEHF，得到对应边相等，从而推出CHF是等腰直角三角形，FCH的
7、度数就可以求得了（3）解法同（2），结合（1）（2）得：EFHGAD，EFHABE，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论【详解】（1）证明：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，ABAD，AEAGEF，BADEAGADC90，BAE+EADDAG+EAD，ADG90ABE，BAEDAG，在ADG和ABE中，ADGABE（AAS）（2）解：FCN45，理由如下：作FHMN于H，如图1所示：则EHF90ABE，AEFABE90，BAE+AEB90，FEH+AEB90，FEHBAE，在EFH和ABE中，EFHABE（AAS），FHBE，EHABBC，CHBEFH，FHC90，FCN
8、45（3）当点E由B向C运动时，FCN的大小总保持不变，理由如下：作FHMN于H，如图2所示：由已知可得EAGBADAEF90，结合（1）（2）得：EFHGAD，EFHABE，EHADBC8，CHBE，；在RtFEH中，tanFCN，当点E由B向C运动时，FCN的大小总保持不变，tanFCN【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例53米/秒 =65.88千米/小时60千米/小时此车超过限制速度4分6如图，ABC中，ACBC10，cosC，点P是AC边上一动点（不与点A、C重合），以PA
9、长为半径的P与边AB的另一个交点为D，过点D作DECB于点E（1）当P与边BC相切时，求P的半径（2）连接BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围（3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的Q与P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.【答案】（1）;（2）;（3）.【解析】【分析】（1）设P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HPBC，cosC，则sinC，sinC，即可求解；（2）首先证明PDBE，则，即：，即可求解；（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AGEPBD，即：ABDB+ADAG+AD4，即可求解【详解
10、】（1）设P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HPBC，cosC，则sinC，sinC，解得：R；（2）在ABC中，ACBC10，cosC，设APPDx，AABC，过点B作BHAC，则BHACsinC8，同理可得：CH6，HA4，AB4，则：tanCAB2，BP，DAx，则BD4x，如下图所示，PAPD，PADCABCBA，tan2，则cos，sin，EBBDcos（4x）4x，PDBE，即：，整理得：y；（3）以EP为直径作圆Q如下图所示，两个圆交于点G，则PGPQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，点Q是弧GD的中点，DGEP，AG是圆P的
11、直径，GDA90，EPBD，由（2）知，PDBC，四边形PDBE为平行四边形，AGEPBD，ABDB+ADAG+AD4，设圆的半径为r，在ADG中，AD2rcos，DG，AG2r，+2r4，解得：2r，则：DG5010，相交所得的公共弦的长为5010【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大7已知AB是O的直径，弦CDAB于H，过CD延长线上一点E作O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K（1）如图1，求证：KEGE；（2）如图2，连接CABG，若FGBACH，求证
12、：CAFE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sinE，AK，求CN的长【答案】（1）证明见解析；（2）EAD是等腰三角形证明见解析；（3）. 【解析】试题分析：（1）连接OG，则由已知易得OGE=AHK=90，由OG=OA可得AGO=OAG，从而可得KGE=AKH=EKG，这样即可得到KE=GE；（2）设FGB=，由AB是直径可得AGB=90，从而可得KGE=90-，结合GE=KE可得EKG=90-，这样在GKE中可得E=2，由FGB=ACH可得ACH=2，这样可得E=ACH，由此即可得到CAEF；（3）如下图2，作NPAC于P，由（2）可知ACH=E，由此可得sinE
13、=sinACH=，设AH=3a，可得AC=5a，CH=4a，则tanCAH=，由（2）中结论易得CAK=EGK=EKG=AKC，从而可得CK=AC=5a，由此可得HK=a，tanAKH=，AK=a，结合AK=可得a=1，则AC=5；在四边形BGKH中，由BHK=BKG=90，可得ABG+HKG=180，结合AKH+GKG=180，ACG=ABG可得ACG=AKH，在RtAPN中，由tanCAH=，可设PN=12b，AP=9b，由tanACG=tanAKH=3可得CP=4b，由此可得AC=AP+CP=5，则可得b=，由此即可在RtCPN中由勾股定理解出CN的长.试题解析：（1）如图1，连接OGE
14、F切O于G，OGEF，AGO+AGE=90，CDAB于H，AHD=90，OAG=AKH=90，OA=OG，AGO=OAG，AGE=AKH，EKG=AKH，EKG=AGE，KE=GE（2）设FGB=，AB是直径，AGB=90，AGE=EKG=90，E=180AGEEKG=2，FGB=ACH，ACH=2，ACH=E，CAFE（3）作NPAC于PACH=E，sinE=sinACH=，设AH=3a，AC=5a，则CH=，tanCAH=，CAFE，CAK=AGE，AGE=AKH，CAK=AKH，AC=CK=5a，HK=CKCH=4a，tanAKH=3，AK=，AK=，a=1AC=5，BHD=AGB=90
15、，BHD+AGB=180，在四边形BGKH中，BHD+HKG+AGB+ABG=360，ABG+HKG=180，AKH+HKG=180，AKH=ABG，ACN=ABG，AKH=ACN，tanAKH=tanACN=3，NPAC于P，APN=CPN=90，在RtAPN中，tanCAH=，设PN=12b，则AP=9b，在RtCPN中，tanACN=3，CP=4b，AC=AP+CP=13b，AC=5，13b=5，b=，CN=8如图所示，一堤坝的坡角，坡面长度米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到 米)(参考数据：，)【答
16、案】6.58米【解析】试题分析：过A点作AECD于E在RtABE中，根据三角函数可得AE，BE，在RtADE中，根据三角函数可得DE，再根据DB=DEBE即可求解试题解析：过A点作AECD于E 在RtABE中，ABE=62 AE=ABsin62=250.88=22米，BE=ABcos62=250.47=11.75米， 在RtADE中，ADB=50， DE=18米，DB=DEBE6.58米 故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题9如图，湿地景区岸边有三个观景台、.已知米，米，点位于点的南偏西方向，点位于点的南偏东方向.(1)求的面积；(2)景区规划在线段的中点
17、处修建一个湖心亭，并修建观景栈道.试求、间的距离.(结果精确到米)(参考数据：，)【答案】（1）560000（2）565.6【解析】试题分析：（1）过点作交的延长线于点，然后根据直角三角形的内角和求出CAE，再根据正弦的性质求出CE的长，从而得到ABC的面积；（2）连接，过点作，垂足为点，则.然后根据中点的性质和余弦值求出BE、AE的长，再根据勾股定理求解即可.试题解析：(1)过点作交的延长线于点，在中，所以米.所以(平方米).(2)连接，过点作，垂足为点，则.因为是中点，所以米，且为中点，米，所以米.所以米，由勾股定理得，米.答：、间的距离为米.考点：解直角三角形10已知：如图，在RtABO
18、中，B=90，OAB=30，OA=3以点O为原点，斜边OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，以点P（4，0）为圆心，PA长为半径画圆，P与x轴的另一交点为N，点M在P上，且满足MPN=60P以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动时间为ts，解答下列问题：（发现）（1）的长度为多少；（2）当t=2s时，求扇形MPN（阴影部分）与RtABO重叠部分的面积（探究）当P和ABO的边所在的直线相切时，求点P的坐标（拓展）当与RtABO的边有两个交点时，请你直接写出t的取值范围【答案】【发现】（1）的长度为；（2）重叠部分的面积为；【探究】：点P的坐标为；或或；【拓展】t的取值范围是或，理由见解
19、析【解析】【分析】发现：（1）先确定出扇形半径，进而用弧长公式即可得出结论；（2）先求出PA=1，进而求出PQ，即可用面积公式得出结论；探究：分圆和直线AB和直线OB相切，利用三角函数即可得出结论；拓展：先找出和直角三角形的两边有两个交点时的分界点，即可得出结论【详解】发现（1）P（4，0），OP=4OA=3，AP=1，的长度为故答案为；（2）设P半径为r，则有r=43=1，当t=2时，如图1，点N与点A重合，PA=r=1，设MP与AB相交于点Q在RtABO中，OAB=30，MPN=60PQA=90，PQPA，AQ=APcos30，S重叠部分=SAPQPQAQ即重叠部分的面积为探究如图2，当P
20、与直线AB相切于点C时，连接PC，则有PCAB，PC=r=1OAB=30，AP=2，OP=OAAP=32=1；点P的坐标为（1，0）； 如图3，当P与直线OB相切于点D时，连接PD，则有PDOB，PD=r=1，PDAB，OPD=OAB=30，cosOPD，OP，点P的坐标为（，0）；如图4，当P与直线OB相切于点E时，连接PE，则有PEOB，同可得：OP；点P的坐标为（，0）； 拓展t的取值范围是2t3，4t5，理由：如图5，当点N运动到与点A重合时，与RtABO的边有一个公共点，此时t=2；当t2，直到P运动到与AB相切时，由探究得：OP=1，t3，与RtABO的边有两个公共点，2t3如图6，当P运动到PM与OB重合时，与RtABO的边有两个公共点，此时t=4；直到P运动到点N与点O重合时，与RtABO的边有一个公共点，此时t=5；4t5，即：t的取值范围是2t3，4t5【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，切线的性质，锐角三角函数，三角形面积公式，作出图形是解答本题的关键
