1、一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，四边形ABCD中，ADBC，A=90，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF（1）求证：四边形BCFD是菱形；（2）若AD=1，BC=2，求BF的长【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】（1）AFBC，DCB=CDF，FBC=BFD，点E为CD的中点，DE=EC，在BCE与FDE中，BCEFDE，DF=BC，又DFBC，四边形BCDF为平行四边形，BD=BC，四边形BCFD是菱形；（2）四边形BCFD是菱形，BD=DF=BC=2，在RtBAD中，AB=，AF=AD+DF=1+2=3，在RtBAF中，BF=2
2、2已知RtABD中，边AB=OB=1，ABO=90问题探究：（1）以AB为边，在RtABO的右边作正方形ABC，如图（1），则点O与点D的距离为 （2）以AB为边，在RtABO的右边作等边三角形ABC，如图（2），求点O与点C的距离问题解决：（3）若线段DE=1，线段DE的两个端点D，E分别在射线OA、OB上滑动，以DE为边向外作等边三角形DEF，如图（3），则点O与点F的距离有没有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，说明理由【答案】(1)、；(2)、；(3)、.【解析】【分析】试题分析：(1)、如图1中，连接OD，在RtODC中，根据OD=计算即可(2)、如图2中，作CEOB于E，CFAB
3、于F，连接OC在RtOCE中，根据OC=计算即可(3)、如图3中，当OFDE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM分别求出MH、OM、FH即可解决问题【详解】试题解析：(1)、如图1中，连接OD，四边形ABCD是正方形， AB=BC=CD=AD=1，C=90 在RtODC中，C=90，OC=2，CD=1，OD=(2)、如图2中，作CEOB于E，CFAB于F，连接OCFBE=E=CFB=90， 四边形BECF是矩形， BF=CF=，CF=BE=，在RtOCE中，OC=(3)、如图3中，当OFDE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM
4、=DM，连接DMFD=FE=DE=1，OFDE， DH=HE，OD=OE，DOH=DOE=22.5， OM=DM，MOD=MDO=22.5， DMH=MDH=45， DH=HM=， DM=OM=，FH=， OF=OM+MH+FH=OF的最大值为考点：四边形综合题3图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点（1）在图1中画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且MON=90；（2）在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD，使正方形ABCD面积等于（1）中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等
5、的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余（画出一种即可）【答案】（1）作图参见解析；（2）作图参见解析.【解析】试题分析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N，连接MN即可；（2）根据勾股定理画出图形即可试题解析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N，连接MN，如图1所示；（2）等腰直角三角形MON面积是5，因此正方形面积是20，如图2所示；于是根据勾股定理画出图3：考点：1.作图应用与设计作图；2.勾股定理.4正方形ABCD，点E在边BC上，点F在对角线AC上，连AE(1)如图1，连EF，若EFAC，4AF3AC，AB4，求AEF的周长；(2)如
6、图2，若AFAB，过点F作FGAC交CD于G，点H在线段FG上(不与端点重合)，连AH若EAH45，求证：ECHG+FC【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由正方形性质得出ABBCCDAD4，BD90，ACBACDBACACD45，得出ACAB4，求出AF3，CFACAF，求出CEF是等腰直角三角形，得出EFCF，CECF2，在RtAEF中，由勾股定理求出AE，即可得出AEF的周长；（2）延长GF交BC于M，连接AG，则CGM和CFG是等腰直角三角形，得出CMCG，CGCF，证出BMDG，证明RtAFGRtADG得出FGDG，BMFG，再证明ABEAFH，得出BEFH，即可得
7、出结论【详解】（1）四边形ABCD是正方形，ABBCCDAD4，BD90，ACBACDBACACD45，ACAB4，4AF3AC12，AF3，CFACAF，EFAC，CEF是等腰直角三角形，EFCF，CECF2，在RtAEF中，由勾股定理得：AE，AEF的周长AE+EF+AF；（2）证明：延长GF交BC于M，连接AG，如图2所示：则CGM和CFG是等腰直角三角形，CMCG，CGCF，BMDG，AFAB，AFAD，在RtAFG和RtADG中，RtAFGRtADG（HL），FGDG，BMFG，BACEAH45，BAEFAH，FGAC，AFH90，在ABE和AFH中，ABEAFH（ASA），BEFH
8、，BMBE+EM，FGFH+HG，EMHG，ECEM+CM，CMCGCF，ECHG+FC【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键5现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB4cm，BC6cm，点E是BC的中点将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B，过E作EF垂直BC，交BC于F（1）求AE、EF的位置关系；（2）求线段BC的长，并求BEC的面积【答案】（1）见解析；（2）SBEC【解析】【分析】（1）由折线法及点E是BC的中点，可证得BEC是等腰三角形，再
9、有条件证明AEF=90即可得到AEEF；（2）连接BB，通过折叠，可知EBB=EBB，由E是BC的中点，可得EB=EC，ECB=EBC，从而可证BBC为直角三角形，在RtAOB和RtBOE中，可将OB，BB的长求出，在RtBBC中，根据勾股定理可将BC的值求出.【详解】（1）由折线法及点E是BC的中点，EBEBEC，AEBAEB，BEC是等腰三角形，又EFBCEF为BEC的角平分线，即BEFFEC，AEF180（AEB+CEF）90，即AEF90，即AEEF；（2）连接BB交AE于点O，由折线法及点E是BC的中点，EBEBEC，EBBEBB，ECBEBC；又BBC三内角之和为180，BBC90
10、；点B是点B关于直线AE的对称点，AE垂直平分BB；在RtAOB和RtBOE中，BO2AB2AO2BE2（AEAO）2将AB4cm，BE3cm，AE5cm，AO cm，BOcm，BB2BOcm，在RtBBC中，BCcm，由题意可知四边形OEFB是矩形，EFOB，SBEC【点睛】考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理勾股定理的和矩形的性质综合运用关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化6ABC为等边三角形，(1)求证：四边形是菱形(2)若是的角平分线，连接，找出图中所有的等腰三角形【答案】(1)证明见解析；(2)图中等腰三角形有A
11、BC，BDC，ABD，ADF，ADC，ADE【解析】【分析】（1）先求证BDAF，证明四边形ABDF是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）先利用BD平分ABC，得到BD垂直平分线段AC，进而证明DAC是等腰三角形，根据BDAC,AFAC，找到角度之间的关系,证明DAE是等腰三角形，进而得到BCBDBAAFDF，即可解题,见详解.【详解】(1)如图1中，BCDBDC，BCBD，ABC是等边三角形，ABBC，ABAF，BDAF，BDCAEC，BDAF，四边形ABDF是平行四边形，ABAF，四边形ABDF是菱形(2)解：如图2中，BABC，BD平分ABC，BD垂直平分线
12、段AC，DADC，DAC是等腰三角形，AFBD，BDACAFAC，EAC90，DACDCA，DAC+DAE90，DCA+AEC90，DAEDEA，DADE，DAE是等腰三角形，BCBDBAAFDF，BCD，ABD，ADF都是等腰三角形，综上所述，图中等腰三角形有ABC，BDC，ABD，ADF，ADC，ADE【点睛】本题考查菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，属于中考常考题型，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键7在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0）、点C（0，6），若正方形OABC绕点O顺时针旋转，得正方形OABC，记旋转角为：（1）如图，当45时，求BC与AB的交点
13、D的坐标；（2）如图，当60时，求点B的坐标；（3）若P为线段BC的中点，求AP长的取值范围（直接写出结果即可）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）当45时，延长OA经过点B，在RtBAD中，OBC45，AB，可求得BD的长，进而求得CD的长，即可得出点D的坐标；（2）过点C作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B作MN的垂线，垂足为N，证明OMCCNB，可得CNOM，BNCM3，即可得出点B的坐标；（3）连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，因为P为线段BC的中点，所以PKOC3，即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP长的取值范围【详解】解：（1）A（6，0
14、）、C（0，6），O（0，0），四边形OABC是边长为6的正方形，当45时，如图，延长OA经过点B，OB6，OAOA6，OBC45，AB，BD（），CD6（）=，BC与AB的交点D的坐标为（，6）；（2）如图，过点C作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B作MN的垂线，垂足为N，OCB90，OCM90BCNCBN，OCBC，OMCCNB90，OMCCNB（AAS），当60时，AOC90，OC6，COM30，CNOM，BNCM3，点B的坐标为；（3）如图，连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，P为线段BC的中点，PKOC3，P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，AK3，AP最大值为，AP的最小值
15、为，AP长的取值范围为.【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P的轨迹8倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”的问题习题 如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由解答：正方形ABCD中，AB=AD，BAD=ADC=B=90，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADE，点F、D、E在一条直线上EAF=90-45=45=EAF，又AE=AE，AF=AFAEFAE
16、F（SAS）EF=EF=DE+DF=BE+DF类比猜想：（1）请同学们研究：如图（2），在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当BAD=120，EAF=60时，还有EF=BE+DF吗？请说明理由（2）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，B+D=180，EAF=BAD时，EF=BE+DF吗？请说明理由【答案】证明见解析【解析】试题分析：（1）把ABE绕点A逆时针旋转120至ADE，如图（2），连结EF，根据菱形和旋转的性质得到AE=AE，EAF=EAF，利用“SAS”证明AEFAEF，得到EF=EF；由于ADE+ADC=120，则点F、D、E不共线，所以DE+D
17、FEF，即由BE+DFEF；（2）把ABE绕点A逆时针旋转BAD的度数至ADE，如图（3），根据旋转的性质得到AE=AE，EAF=EAF，然后利用“SAS”证明AEFAEF，得到EF=EF，由于ADE+ADC=180，知F、D、E共线，因此有EF=DE+DF=BE+DF；根据前面的条件和结论可归纳出结论试题解析：（1）当BAD=120，EAF=60时，EF=BE+DF不成立，EFBE+DF理由如下：在菱形ABCD中，BAD=120，EAF=60，AB=AD，1+2=60，B=ADC=60，把ABE绕点A逆时针旋转120至ADE，如图（2），连结EF，EAE=120，1=3，AE=AE，DE=B
18、E，ADE=B=60，2+3=60，EAF=EAF，在AEF和AEF中，AEFAEF（SAS），EF=EF，ADE+ADC=120，即点F、D、E不共线，DE+DFEFBE+DFEF；（2）当AB=AD，B+D=180，EAF=BAD时，EF=BE+DF成立理由如下：如图（3），AB=AD，把ABE绕点A逆时针旋转BAD的度数至ADE，如图（3），EAE=BAD，1=3，AE=AE，DE=BE，ADE=B，B+D=180，ADE+D=180，点F、D、E共线，EAF=BAD，1+2=BAD，2+3=BAD，EAF=EAF，在AEF和AEF中，AEFAEF（SAS），EF=EF，EF=DE+DF
19、=BE+DF；归纳：在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，B+D=180，EAF=BAD时，EF=BE+DF考点：四边形综合题9已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N（1）求证：ABMCDN；（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形 AMCN是菱形，证明你的结论【答案】（1）证明见解析；（2）当ABAF时，四边形AMCN是菱形证明见解析；【解析】试题分析：（1）由已知条件可得四边形AMCN是平行四边形，从而可得AM=CN，再由AB=CD，B=D=90，利用HL即可证明；（2）若四边形AMCN为菱形，则有A
20、M=AN，从已知可得BAM=FAN，又B=F=90，所以有ABMAFN，从而得AB=AF，因此当ABAF时，四边形AMCN是菱形试题解析：（1）四边形ABCD是矩形，BD90，ABCD，ADBC四边形AECF是矩形，AECF四边形AMCN是平行四边形AMCN在RtABM和RtCDN中，ABCD，AMCN，RtABMRtCDN（2）当ABAF时，四边形AMCN是菱形四边形ABCD、AECF是矩形，BBADEAFF90BADNAMEAFNAM，即BAMFAN又ABAF，ABMAFNAMAN由（1）知四边形AMCN是平行四边形，平行四边形AMCN是菱形考点：1矩形的性质；2三角形全等的判定与性质；3
21、菱形的判定10如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度（090），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG（1）求证：AOGADG；（2）求PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当1=2时，求直线PE的解析式；（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析（2）PAG =45，PG=OG+BP理由见解析（3）y=x3（4）、【解析】试题分析：(1
22、)由AO=AD，AG=AG，根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，判断出AOGADG即可(2)首先根据三角形全等的判定方法，判断出ADPABP，再结合AOGADG，可得DAP=BAP，1=DAG；然后根据1+DAG+DAP+BAP=90，求出PAG的度数；最后判断出线段OG、PG、BP之间的数量关系即可(3)首先根据AOGADG，判断出AGO=AGD；然后根据1+AGO=90，2+PGC=90，判断出当1=2时，AGO=AGD=PGC，而AGO+AGD+PGC=180，求出1=2=30；最后确定出P、G两点坐标，即可判断出直线PE的解析式(4)根据题意，分两种情况：当点M在x轴的负
23、半轴上时；当点M在EP的延长线上时；根据以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形，求出M点坐标是多少即可试题解析：(1)在RtAOG和RtADG中，（HL） AOGADG(2)在RtADP和RtABP中，ADPABP， 则DAP=BAP；AOGADG， 1=DAG； 又1+DAG+DAP+BAP=90，2DAG+2DAP=90， DAG+DAP=45， PAG=DAG+DAP， PAG=45； AOGADG， DG=OG， ADPABP， DP=BP， PG=DG+DP=OG+BP(3)解：AOGADG， AGO=AGD， 又1+AGO=90，2+PGC=90，1=2，AGO=PGC， 又AGO
24、=AGD， AGO=AGD=PGC，又AGO+AGD+PGC=180， AGO=AGD=PGC=1803=60，1=2=9060=30； 在RtAOG中， AO=3， OG=AOtan30=3=，G点坐标为（，0），CG=3， 在RtPCG中，PC=3（1），P点坐标为：（3，33 ）， 设直线PE的解析式为：y=kx+b， 则，解得：， 直线PE的解析式为y=x3(4)如图1，当点M在x轴的负半轴上时， AG=MG，点A坐标为（0，3），点M坐标为（0，3）如图2，当点M在EP的延长线上时， 由（3），可得AGO=PGC=60，EP与AB的交点M，满足AG=MG， A点的横坐标是0，G点横坐标为，M的横坐标是2，纵坐标是3， 点M坐标为（2，3）综上，可得 点M坐标为（0，3）或（2，3）考点：几何变换综合题
