1、【压轴题】高中必修二数学下期中试题(及答案)一、选择题1设圆C：，直线l：，点，若存在点，使得（O为坐标原点），则的取值范围是( )ABCD2已知平面平面，直线，直线，点,点，记点A、B之间的距离为,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则A BC D3如图，已知正方体中，异面直线与所成的角的大小是ABCD4已知三棱锥的每个顶点都在球O的表面上，是边长为的等边三角形，平面，且与平面所成的角为，则球O的表面积为（ ）ABCD5已知圆M：与直线l：，则圆心M到直线l的最大距离为（ ）A5B6CD6用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A直角三角形B等边三角形C正方形D正六边形7从点向圆
2、引切线，则切线长的最小值( )AB5CD8设直线是空间中两条不同的直线，平面是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则9，为两个不同的平面，为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）若，则； 若，则；若，则 若，则.ABCD10若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为A12B1C1D211如图，在正方体中，分别是，的中点，则下列说法错误的是( )A与垂直B与垂直C与平行D与平行12已知平面且，是平面内一点，是异于且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）.A若且，则B若且，则C若且，则D若且，则二、填空题13经过两条直线和的交点，并且平行于直
3、线的直线方程是_.14在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，以为直径的圆与直线交于另一点若，则点的横坐标为_15已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面ABC，则该球的体积为_.16如图，在正方体中，分别为棱的中点，有以下四个结论：直线与是相交直线；直线与是平行直线；直线与是异面直线；直线与是异面直线其中正确的结论的序号为_17如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1中点，连接A1B，D1M，则异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为_18过正方体的顶点作直线，使与棱、所成的角都相等，这样的直线可以作_条.19将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则
4、与点重合的点是_.20在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，1）的距离之和最小的点的坐标是 三、解答题21如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，BABD，AD2，PAPD，E，F分别是棱AD，PC的中点（1）证明：EF平面PAB；（2）若二面角PADB为60证明：平面PBC平面ABCD；求直线EF与平面PBC所成角的正弦值22如图，在棱长均为4的三棱柱中，分别是和的中点.（1）求证：平面（2）若平面平面，求三棱锥的体积.23如图，在中，斜边，可以通过以直线为轴旋转得到，且平面平面动点在斜边上（1）求证：平面平面；（2）当为的中点时，求异面直线与所
5、成角的正切值24如图，在直三棱柱中，分别为AC，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.25如图，在三棱柱中，底面，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求直线和平面所成角的大小.26如图，将棱长为2的正方体沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体（）求该四面体的体积；（）求该四面体外接球的表面积【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1B解析：B【解析】【分析】圆外有一点，圆上有一动点，在与圆相切时取得最大值如果变长，那么可以获得的最大值将变小因为，为定值，即半径，变大，则变小，由于，所以也随之变小可以得知，当，且与圆相切时，而当时，在圆上任意移动，恒成立因此，的取值范围就是
6、，即满足，就能保证一定存在点，使得，否则，这样的点是不存在的【详解】由分析可得：又因为在直线上，所以要使得圆C上存在点Q，使得，则故解得，即的取值范围是，故选：B【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出，从而得到不等式求出参数的取值范围2D解析：D【解析】【分析】根据平面与平面平行的判断性质,判断c最小,再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a最大.【详解】由于平面平面,直线m和n又分别是两平面的直线,则c即是平面之间的最短距离.而由于两直线不一定在同一平面内,则b一定大于或等于c,判断a和b时,因为B是上n任意一点,则a大于或等于b.故选D.【点睛】本题主要考查面面平行的性质以及空
7、间距离的性质，考查了空间想象能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.3C解析：C【解析】【分析】在正方体中，利用线面垂直的判定定理，证得平面，由此能求出结果【详解】如图所示，在正方体中，连结，则，由线面垂直的判定定理得平面，所以,所以异面直线与所成的角的大小是故选C【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题4C解析：C【解析】【分析】根据线面夹角得到，计算的外接圆半径为，解得答案.【详解】平面，则与平面所成的角为，
8、故.的外接圆半径为，设球O的半径为，则，解得，故球O的表面积为.故选：.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5A解析：A【解析】【分析】计算圆心为，过定点，最大距离为，得到答案.【详解】圆M：，即，圆心为，过定点，故圆心M到直线l的最大距离为.故选：.【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点是解题的关键.6A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A正三角形C正方形：D正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A用一个平面去截正方体，则截面的情况为：截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角
9、形、直角三角形；截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；截面为五边形时，不可能是正五边形；截面为六边形时，可以是正六边形故可选A7A解析：A【解析】【分析】设切线长为,则再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解.【详解】设切线长为,则, .故选:A.【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8D解析：D【解析】【分析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 若，则与平行或异面或相交，所以该选项不正确；B. 若，则或，所以该选项不正确；C. 若，则或，所
10、以该选项不正确；D. 若，则，所以该选项正确.故选：D【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9B解析：B【解析】【分析】在中，由面面平行的性质定理得m；在中，m与n平行或异面；在中，m与相交、平行或m；在中，由n，m，得mn，由n，得m【详解】由，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，知：在中，若，m，则由面面平行的性质定理得m，故正确；在中，若m，n，则m与n平行或异面，故错误；在中，若，n，mn，则m与相交、平行或m，故错误；在中，若n，m，则mn，由n，得m，故正确故选：B【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位
11、置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题10C解析：C【解析】【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案【详解】设圆锥底面半径为r，则高h2r，其母线长lrS侧rlr2，S底r故选C【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题11D解析：D【解析】【分析】先利用三角形中位线定理证明，再利用线面垂直的判定定理定义证明与垂直，由异面直线所成的角的定义证明与垂直，即可得出结论.【详解】如图：连接，在三角形中，故C正确平面，与垂直，故A正确；，与垂直，B正确；，与不可能平行，D错误故选：D【点睛】本题主要考查了正方
12、体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键.12D解析：D【解析】【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可.【详解】选项A：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A正确；选项B：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B正确；选项C：且得且，故C正确；选项D：且不一定得到，所以可以异面，不一定得到.故选：D.【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.二、填空题13【解析】【分析】先求出两相交直线的交点设出平行于直线的直线方程根据交点在直线上
13、求出直线方程【详解】联立直线的方程得到两直线的交点坐标平行于直线的直线方程设为则所以直线的方程为：故答案为：【点睛】本题解析：【解析】【分析】先求出两相交直线的交点，设出平行于直线的直线方程，根据交点在直线上，求出直线方程.【详解】联立直线的方程，得到两直线的交点坐标，平行于直线的直线方程设为，则所以直线的方程为：故答案为：【点睛】本题考查了直线的交点，以及与已知直线平行的直线方程，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.143【解析】分析：先根据条件确定圆方程再利用方程组解出交点坐标最后根据平面向量的数量积求结果详解：设则由圆心为中点得易得与联立解得点的横坐标所以所以由得或因为所以
14、点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范解析：3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.15【解析】【分析】取正的外心为过作平面的垂线在上取点使得即得是三棱锥外接球球心求出球半径可得体积【详解】如图是外心延长线与交于点是中点过作平面取平面ABC到的距离相等是三棱锥外接球球
15、心所以故答解析：【解析】【分析】取正的外心为，过作平面的垂线，在上取点，使得，即得是三棱锥外接球球心，求出球半径可得体积【详解】如图，是外心，延长线与交于点，是中点，过作平面，取，平面ABC，到的距离相等，是三棱锥外接球球心，所以故答案为：【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是作出外接球球心三棱锥外接球球心在过各面中点且与面垂直的直线上16【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以是错误的；是正确的是正确的故填考点：空间中直解析：【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面，所以直线与是异面直线
16、，所以错误的；同理，直线与也是异面直线，直线与是异面直线，直线与是异面直线，所以是错误的；是正确的,是正确的，故填考点：空间中直线与直线的位置关系的判定17【解析】【分析】连接取的中点连接可知且是以为腰的等腰三角形然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案【详解】如下图所示：连接取的中点连接在正方体中则四边形为平行四边形所以则异面直线和所成的角为或其解析：.【解析】【分析】连接、，取的中点，连接，可知，且是以为腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案【详解】如下图所示：连接、，取的中点，连接，在正方体中，则四边形为平行四边形，所以，则异面直线和所成的角为或其补角，易知，由
17、勾股定理可得，为的中点，则，在中，因此，异面直线和所成角的余弦值为，故答案为【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求解，遵循“一作、二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题18【解析】【分析】将小正方体扩展成4个小正方体根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数【详解】解：设ABCDA1B1C1D1边长为1第一条：AC1是满足条件的直线；第二条：延长C1D1到C1且D1解析：【解析】【分析】将小正方体扩展成4个小正方体，根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数【详解】解：设ABCDA1B1C1D
18、1边长为1第一条：AC1是满足条件的直线；第二条：延长C1D1到C1且D1C21，AC2是满足条件的直线；第三条：延长C1B1到C3且B1C31，AC3是满足条件的直线；第四条：延长C1A1到C4且C4A1，AC4是满足条件的直线故答案为4【点睛】本题考查满足条件的直线条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查分类与整合思想，是基础题19【解析】【分析】先求得点的垂直平分线的方程然后根据点关于直线对称点的求法求得的对称点由此得出结论【详解】已知点点可得中点则线段AB的垂直平分线为：化为设点关于直线的对称点为则解得与点重合的点是故解析：【解析】【分析】先
19、求得点的垂直平分线的方程，然后根据点关于直线对称点的求法，求得的对称点，由此得出结论.【详解】已知点，点，可得中点.则.线段AB的垂直平分线为：，化为.设点关于直线的对称点为，则，解得.与点重合的点是.故答案为：.【点睛】本小题主要考查线段垂直平分线方程的求法，考查点关于直线对称点的坐标的求法，属于中档题.20（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD中任取一点P在APC中有APPCAC在BPD中有PBPDBD解析：（2，4）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小
20、值可证明如下：假设在四边形ABCD中任取一点P，在APC中，有APPCAC，在BPD中，有PBPDBD，而如果P在线段AC上，那么APPCAC；同理，如果P在线段BD上，那么BPPDBD.如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P就只能是AC与BD的交点易求得P(2,4)三、解答题21（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】试题分析：（1）要证明平面，可以先证明平面，利用线面平行的判定定理，即可证明平面；（2）要证明平面平面，可用面面垂直的判定定理，即只需证明平面即可；由平面，所以为直线与平面所成的角，由及已知，得为直角，即可计算的长度，在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值试题解析：
21、（1）证明：如图，取PB中点M，连接MF，AM因为F为PC中点，故MFBC且MFBC由已知有BCAD，BCAD又由于E为AD中点，因而MFAE且MFAE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EFAM又AM平面PAB，而EF平面PAB，所以EF平面PAB（2）证明：如图，连接PE，BE因为PAPD，BABD，而E为AD中点，故PEAD，BEAD，所以PEB为二面角PADB的平面角在PAD中，由PAPD，AD2，可解得PE2在ABD中，由BABD，AD2，可解得BE1在PEB中，PE2，BE1，PEB60，由余弦定理，可解得PB，从而PBE90，即BEPB又BCAD，BEAD，从而BEBC，因此BE
22、平面PBC又BE平面ABCD，所以平面PBC平面ABCD连接BF由知，BE平面PBC，所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角由PB及已知，得ABP为直角而MBPB，可得AM，故EF又BE1，故在RtEBF中，sinEFB所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为考点：直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质；直线与平面所成角的求解【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成角的求解，熟练掌握线面位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平面所成的角是解答的关键，本题的第二问的解答中，根据平面，可以确定为直线与平面所成
23、的角，可放置在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值22（1）证明见解析（2）8【解析】试题分析：（1）欲证A1D1平面AB1D，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1D1与平面AB1D内一直线平行，连接DD1，根据中位线定理可知B1D1BD，且B1D1=BD，则四边形B1BDD1为平行四边形，同理可证四边形AA1D1D为平行四边形，则A1D1AD又A1D1平面AB1D，AD平面AB1D，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的性质定理可知AD平面B1C1CB，即AD是三棱锥AB1BC的高，求出三棱锥AB1BC的体积，从而求出三棱锥B1ABC的体积试题解析：（1）证明：如图，连结.在三棱柱中，
24、因为分别是与的中点，所以，且. 所以四边形为平行四边形，所以，且.又所以，所以四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，故平面.（2）解：（方法1)在中，因为，为的中点，所以.因为平面平面，交线为，平面,所以平面，即是三棱锥的高.在中，由，得.在中，所以的面积.所以三棱锥的体积，即三棱锥的体积.(方法 2)在 中，因为，所以为正三角形，因此.因为平面平面，交线为，平面，所以平面，即是三棱锥的高.在中，由，得的面积.在中，因为，所以.所以三棱锥的体积.点睛：本题主要考查了线面平行的判定，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了推理论证的能力、计算能力，转化与划归的思想，属于中档题23（1）证明见解析；（
25、2）.【解析】【分析】（1）平面平面，可证平面，即可证明结论；（2）取中点，连，则，（或补角）为异面直线与所成的角，解，即可求出结论.【详解】（1）平面平面，平面平面，平面平面，平面平面平面；（2）取中点，连，为的中点，（或补角）为异面直线与所成的角，平面，平面，平面，在中，斜边，所以异面直线与所成角的正切值为. 【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面垂直，注意空间垂直间的相互转化，求异面直线所成的角，要掌握空间角的解题步骤，“做”“证”“算”缺一不可，考查直观想象能力，属于中档题.24（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取的中点，连接，通过中位线定理求证四边形是平行四边
26、形，进而求证；（2）连接，设法证明，进而证明平面，求得.【详解】解：（1）如图，取的中点，连接，分别是的中点，且，在直三棱柱中， 是的中点，且，四边形是平行四边形，而平面，平面，平面.（2）如图，连接，由是直三棱柱，可知，平面，又侧面为正方形，平面，又平面，【点睛】本题考查线面平行，线线垂直的证明，属于中档题.25（1）证明见解析.（2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定和性质可证得平面，由三角形中位线的性质可证得结论；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）连接，平面，平面，又，平面，平面，平面，由题意知侧面为正方形，又平面，平面.分别为中点
27、，平面.（2）以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：平面，为平面的法向量，设，则，设直线和平面所成角为，则，又，即直线和平面所成角为.【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解直线与平面所成角的问题；涉及到线面垂直的判定与性质定理的应用，属于常考题型.26（）【解析】【分析】（）利用正方体体积减去截去部分的体积即可求解（）利用正四面体与正方体的外接球一致求解【详解】()三棱锥的体积，切去部分的体积为正方体的体积为四面体的体积()正方体的棱长为2， 正方体的体对角线长为，该四面体外接球即为正方体的外接球，而正方体的外接球直径为其体对角线外接球直径，半径，外接球表面积为【点睛】本题考查组合体体积，外接球问题，是基础题
