1、【典型题】高中必修一数学上期末试题及答案一、选择题1设均为正数，且，则（ ）ABCD2设，则的大小关系是（ ）ABCD3已知，则的大小关系为 （ ）ABCD4已知，则x，y，z的大小关系是ABCD5定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（ ）ABCD6下列函数中，值域是的是（ ）ABCD7某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的.已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为（为常数，为原污染物总量）.若前个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤小时，则正整数的最小值为（ ）（
2、参考数据：取）ABCD8函数的图象大致是（ ）ABCD9已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD10若二次函数对任意的，且，都有，则实数的取值范围为（）ABCD11已知函数，则的图象大致为（ ）ABCD12函数f（x）是定义在R上的偶函数，在(，0上是减函数且f（2）=0，则使f（x）0的x的取值范围（ ）A（，2）B（2，+）C（，-2）（2，+）D（2，2）二、填空题13已知，则不等式的解集为_14已知关于的方程的解在区间内，则的取值范围是_.15若函数在时取得最小值，则实数的取值范围是_；16已知函数的值域为，则实数的取值范围是_.17对数式lg25lg22+2lg
3、62lg3_18已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为_19已知则为_20若函数有且只有一个零点，则实数_.三、解答题21已知二次函数满足:，的最小值为1，且在轴上的截距为4.(1)求此二次函数的解析式；(2)若存在区间，使得函数的定义域和值域都是区间，则称区间为函数的“不变区间”.试求函数的不变区间；(3)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围.22已知函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）用定义法证明函数在上是减函数；（3）若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.23已知（，且）.（1）当（其中，且t为常数）时，是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，
4、请说明理由；（2）当时，求满足不等式的实数x的取值范围.24“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数当不超过4（尾/立方米）时，的值为（千克/年）；当时，是的一次函数；当达到（尾/立方米）时，因缺氧等原因，的值为（千克/年）（1）当时，求函数的表达式；（2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大，并求出最大值25已知集合，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.26已知，.（1）判断函数的奇偶性；（2）求的值.【
5、参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1A解析：A【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出，的图象，与的交点的横坐标为，与的图象的交点的横坐标为，与的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解2A解析：A【解析】【分析】构造函数，利用单调性比较大小即可.【详解】构造函数，则在上是增函数，又，故.故选A【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.3B解析：B【解析】【分析】先
6、比较三个数与零的大小关系，确定三个数的正负，然后将它们与进行大小比较，得知，再利用换底公式得出、的大小，从而得出三个数的大小关系【详解】函数在上是增函数，则，函数在上是增函数，则，即，即，同理可得，由换底公式得，且，即，因此，故选A【点睛】本题考查比较数的大小，这三个数的结构不一致，这些数的大小比较一般是利用中间值法来比较，一般中间值是与，步骤如下：首先比较各数与零的大小，确定正负，其中正数比负数大；其次利用指数函数或对数函数的单调性，将各数与进行大小比较，或者找其他中间值来比较，从而最终确定三个数的大小关系4A解析：A【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接比较.【详解】解：，y，
7、z的大小关系为故选A【点睛】本题考查三个数的大小的比较，利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5A解析：A【解析】由对任意x1，x2 0，)(x1x2)，有 0，得f(x)在0，)上单独递减，所以，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行6D解析：D【解析】【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可【详解】对于A：的值域为；对于B：，的值域为；对于C：的值域为；对于D：，的值域为；故选：D【点睛】此题主要考查函数
8、值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题7C解析：C【解析】【分析】根据已知条件得出，可得出，然后解不等式，解出的取值范围，即可得出正整数的最小值.【详解】由题意，前个小时消除了的污染物，因为，所以，所以，即，所以，则由，得，所以，故正整数的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.8C解析：C【解析】分析：讨论函数性质，即可得到正确答案.详解：函数的定义域为 ， ，排除B，当时， 函数在上单调递增，在上单调递减，故排除A,D，故选C点睛：本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用9D解析：D【解析】试题分析：求函数
9、f（x）定义域，及f（x）便得到f（x）为奇函数，并能够通过求f（x）判断f（x）在R上单调递增，从而得到sinm1，也就是对任意的都有sinm1成立，根据0sin1，即可得出m的取值范围详解：f（x）的定义域为R，f（x）=f（x）；f（x）=ex+ex0；f（x）在R上单调递增；由f（sin）+f（1m）0得，f（sin）f（m1）；sinm1；即对任意都有m1sin成立；0sin1；m10；实数m的取值范围是（，1故选：D点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研
10、究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.10A解析：A【解析】【分析】由已知可知，在上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解【详解】二次函数对任意的，且，都有，在上单调递减，对称轴，解可得，故选A【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.11C解析：C【解析】【分析】【详解】因为函数，可得是偶函数，图象关于 轴对称，排除 ；又时，,所以,排除 ,故选C.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题
11、型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.12D解析：D【解析】【分析】根据偶函数的性质,求出函数在(，0上的解集,再根据对称性即可得出答案.【详解】由函数为偶函数,所以,又因为函数在(，0是减函数,所以函数在(，0上的解集为,由偶函数的性质图像关于轴对称,可得在(0,+ )上的解集为(0,2),综上可得,的解集为(-2,2).故选:D.【点睛】本题考查了偶函数的性质的应用,借助于偶函数的性质解不等式,属于基础题.二、填空题13【解析】
12、当时解得；当时恒成立解得：合并解集为故填：解析：【解析】当时，解得 ；当时，恒成立，解得：，合并解集为 ，故填：.14【解析】【分析】根据方程的解在区间内将问题转化为解在区间内即可求解【详解】由题：关于的方程的解在区间内所以可以转化为：所以故答案为：【点睛】此题考查根据方程的根的范围求参数的取值范围关键在于利用对数解析：【解析】【分析】根据方程的解在区间内，将问题转化为解在区间内，即可求解.【详解】由题：关于的方程的解在区间内，所以可以转化为：，所以故答案为：【点睛】此题考查根据方程的根的范围求参数的取值范围，关键在于利用对数运算法则等价转化求解值域.15【解析】【分析】根据条件可化为分段函数
13、根据函数的单调性和函数值即可得到解不等式组即可【详解】当时当时且当时且当时且若函数在时取得最小值根据一次函数的单调性和函数值可得解得故实数的取值范围为故答案为：解析：【解析】【分析】根据条件可化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到解不等式组即可.【详解】当时，当时，且，当时，且，当时，且，若函数在时取得最小值，根据一次函数的单调性和函数值可得，解得，故实数的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查了由分段函数的单调性和最值求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于中档题.16【解析】【分析】根据整个函数值域为R及分段函数右段的值域可判断出左段的函数为单调性递增且最大值大于等于1即可求得的
14、取值范围【详解】当时此时值域为若值域为则当时为单调递增函数且最大值需大于等于1即解得解析：【解析】【分析】根据整个函数值域为R及分段函数右段的值域,可判断出左段的函数为单调性递增,且最大值大于等于1,即可求得的取值范围.【详解】当时,此时值域为若值域为,则当时.为单调递增函数,且最大值需大于等于1即,解得故答案为:【点睛】本题考查了分段函数值域的关系及判断,指数函数的性质与一次函数性质的应用,属于中档题.171【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了对数式的计算意在考查学生的计算能力解析：1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案.【详解】故
15、答案为：【点睛】本题考查了对数式的计算，意在考查学生的计算能力.18【解析】若对任意的实数都有成立则函数在上为减函数函数故计算得出：点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段解析：【解析】若对任意的实数都有成立，则函数在上为减函数，函数，故，计算得出：点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注
16、意内外函数对应自变量取值范围.190【解析】【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可求解【详解】因为则所以【点睛】本题主要考查了分段函数求值属于中档题解析：0【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入求值即可求解.【详解】因为则,所以.【点睛】本题主要考查了分段函数求值，属于中档题.202【解析】【分析】利用复合函数单调性得的单调性得最小值由最小值为0可求出【详解】由题意是偶函数由勾形函数的性质知时单调递增时递减因为只有一个零点所以故答案为：2【点睛】本题考查函数的零点考查复合解析：2【解析】【分析】利用复合函数单调性得的单调性，得最小值，由最小值为0可求出【详解】由题意是偶函数，由勾形函数的
17、性质知时，单调递增，时，递减，因为只有一个零点，所以，故答案为：2.【点睛】本题考查函数的零点，考查复合函数的单调性与最值掌握复合函数单调性的性质是解题关键三、解答题21（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由，得对称轴是，结合最小值可用顶点法设出函数式，再由截距求出解析式；（2）根据二次函数的单调性确定函数的最大值和最小值，然后求解（3）求出在的最大值4，对函数换元，得，由用分离参数法转化【详解】（1），对称轴是，又函数最小值是1，可设（），（2）若，则，且，解得，不变区间是；若，则在上是减函数，或4，因为，所以舍去；若，则在上是增函数，是方程的两根，由得，不合题意综上；（3），时，设
18、，令，当时，由题意存在，使成立，即，时，的最小值是，所以【点睛】本题考查求二次函数解析式，考查二次函数的创新问题，考查不等式恒成立和能成立问题二次函数的解析式有三种形式：，解题时要根据具体的条件设相应的解析式二次函数的值域问题要讨论对称轴与区间的关系，以确定函数的单调性，得最值难点是不等式问题，对于任意的，说明不等式恒成立，而存在，说明不等式“能”成立一定要注意是转化为求函数的最大值还是最小值22(1) ;(2)证明见解析；(3) 【解析】【分析】（1）根据函数是奇函数，由，可得的值；（2）用定义法进行证明，可得函数在上是减函数；（3）根据函数的单调性与奇偶性的性质，将不等式进行化简求值，可得
19、k的范围.【详解】解：(1)由函数是奇函数，可得：，即：，；（2）由(1)得：，任取,且，则，即：，即在上是减函数；（3）是奇函数，不等式恒成立等价为恒成立，在上是减函数，,恒成立，设，可得当时，恒成立，可得，解得，故的取值范围为：.【点睛】本题主要考查函数单调性的判断与证明及函数恒成立问题，体现了等价转化的数学思想，属于中档题.23（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先判定函数的单调性，结合单调性来进行求解是否存在最小值；（2）先判断函数的奇偶性及单调性，结合奇偶性和单调性把进行转化求解.【详解】（1）由可得或，解得，即函数的定义域为，设，则，当时，则在上是减函数，又，时，有最小值，且最
20、小值为；当时，则在上是增函数，又，时，无最小值.（2）由于的定义域为，定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数.由（1）可知，当时，函数为减函数，由此，不等式等价于，即有，解得，所以x的取值范围是.【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，奇偶性和单调性常结合求解抽象不等式问题，注意不要忽视了函数定义域，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.24（1）=（2）当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为千克/立方米【解析】【分析】【详解】（1）由题意：当时，； 当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得 故函数=（2）依题意并由（1）可得 当时，为增函数，故； 当时，所以，当
21、时，的最大值为 当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为千克/立方米25（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题得解不等式即得解；（2）对集合A分两种情况讨论即得实数的取值范围.【详解】（1）若，则解得.故实数的取值范围是.（2）当时，有，解得，满足.当时，有，解得又，则有或，解得或，或.综上可知，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查根据集合的关系和运算求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.26（1）为奇函数；（2）20【解析】【分析】（1）先求得函数的定义域，然后由证得为奇函数.（2）根据为奇函数，求得，从而得到，由此求得所求表达式的值.【详解】（1），定义域为，当时，. 因为，所以为奇函数. （2）由（1）得，于是.所以【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用函数的奇偶性进行计算，属于基础题.
