1、则则上上的的向向量量范范数数是是设设,|nnnaPAPx aaxaxAxA|max|)|max(1auAu .|相相容容的的矩矩阵阵范范数数是是与与向向量量范范数数ax 一、一、算子范数算子范数定理定理:的的算算子子范范数数为为从从属属于于向向量量范范数数1|x)|(max|11 niijjaA.被被称称为为极极大大列列和和范范数数证证1111111njjjnnijjijnnjjjax|Ax|a x|ax ninjjijxa11|njnijijxa11|njnijijxa11|)|(njjniijjxa11|)|max(11|xA ),(1)|(max|2111nniijjniisAnsaa
2、令令 njnijijjxa11|)|max(1|s 00100 s 取取个个第第 s1|sA 1|s 11|maxxAxx 1|A niijja1|max1|s 1|1 s 定理定理的的算算子子范范数数为为从从属属于于|x)|(max|1 njijiaA.被称为极大行和范数被称为极大行和范数证证|max|1 nkkikixaAx|max1 nkkikixa|max|max1 nkkiikixa|max|max1kknkikixa|xA)1(|AxAxnsaanjijinjsj 1)|(max|11 令令),2,1(|njeaajisjsj 记记),(21niiieeez 1|z|Az njis
3、jjea1|njsja1|)2(|AzAz|z)|(max|1 njijiaA定理定理的的算算子子，则则从从属属于于设设2|xPAnm 为为范范数数（又又称称为为谱谱范范数数）)(|2AArAH 证证定义定义的的特特征征值值，则则是是，设设ACAinn .的的谱谱半半径径称称为为 A|max)(iiAr 0)()()(AXAXXAAXXfHHH的的单单位位正正交交特特征征向向量量是是对对应应iinX ;021 1|2 uPun且且设设nnXaXaXau 22111|222212 nHaaauuunnnHXaXaXaAuA 222111AuAuAuAuAuHHH )(|22)|(|222211n
4、aaa 1 2222211|nnaaa 121|max2 Auu11221|AXAXAXHH 又又111XXH 1 )(|max|121|22AArAuAHu 定理定理 4，则则设设nnCA 2222|)1(AAAATH 2222|)2(AAAAAHH 都都有有及及阶阶酉酉矩矩阵阵对对任任何何VUn)3(2222|AUAVAVUA 证证xAxAH )1(0 若若非非满满秩秩AAH非非满满秩秩HAA的的特特征征值值也也是是HAA0 谱范数的性质谱范数的性质0 若若0 AxyyAAHAxAAH)(xA yAx 的的特特征征值值也也是是HAA:同同理理可可证证的的特特征征值值的的特特征征值值也也是是
5、AAAAHH)(|2AArAH)(HAAr 2|HA|)(|THTAAE|)(|THAAE|HAAE 2|A2|HA 2|TA 2|A2|HA 2|TA 2|A 22|)2(AAH)()(AAAArHHH)(2AArH 2)(AArH 2222|AAAAAHH 22|)3(UA)()(UAUArH UAUArHH)(AArH 22|A 定理定理 5，则则设设nnCA|max|)1(1|2AxyAHyx|)2(122AAA证证22|)1(AxyAxyH 222|xAy 2|A 21|maxAAxyHyx 21|2|max|AxAx 0|202 AxA2000|AxAxy|00AxyH|)(|02
6、00AxAxAxH 20|Ax 2|A 21|maxAAxyHyx )(|)2(22AArAH 1|AAH 11|AAH|1AA 四、四、广义算子范数广义算子范数定理定理 6则则都都是是向向量量范范数数设设,|,|nnbaPA baxbaxAxA|max|,)|max(1|auAub .上上的的广广义义算算子子范范数数叫叫做做nnP 定理定理 7都都是是向向量量范范数数，则则与与设设cba|,|cbbacaBAAB,|总结总结:111(1)mnmijij|A|a|21122211(2)()mnHmijij|A|a|tr A A (3)miji,j|A|a|max 11(4)nijji|A|m
7、ax(|a|)1(5)nijij|A|m ax(|a|)2(6)H|A|r(A A)应用应用1 矩阵逆的摄动矩阵逆的摄动(1)AAAAA 矩矩阵阵可可逆逆,与与其其摄摄动动矩矩阵阵满满足足什什么么条条件件时时,可可逆逆?11(2),()?AAAAA 当当可可 逆逆与与的的近近 似似 程程 度度 如如 何何 估估 计计1:,()|.pppAKAAAA 定定 义义设设是是 可可 逆逆 矩矩 阵阵 称称是是相相 对对 给给 定定 范范 数数 的的 条条 件件 数数11 1:,|,|1,|()|(1|).n naaaaaACAxAEAEAA 定定 理理设设是是 从从 属属 于于 向向 量量 范范 数数
8、的的 矩矩 阵阵 范范 数数 则则 当当时时可可 逆逆 且且11111-11111,|1,(1);|(2)()(),|;1|()|(3).|1|2|aaaaaaaaAAAAAAAAAAEF AFAAAAAAAAAA 可可逆逆为为摄摄动动矩矩阵阵则则 +可可逆逆+定定+理理1 例例2600,26.0000100.00002AA 11300000.5300000,100000100000299999.5300000(),100000100000AAA 计计算算可可得得122()|8.9443123.561105.K AAA Hilbert matrix例例 2 2 1,1n nijijHhRhij
9、 11121112311112(1)nnHnnnn 122()|4.7661e+005 (n=5)K AAA ,0(),|().|AxbAbA xxbbxbKAxb 应应 用用 2 2:线线 性性 方方 程程 组组 的的 摄摄 动动定定 理理 1 1 在在 方方 程程 组组中中固固 定定 且且 可可 逆逆 令令且且 有有 小小 的的 摄摄 动动,则则 解解 方方 程程 组组 得得1,0,|1,)(),|()|.|1()|AxbbbAAAAAAxxbAKAxAAxKAA 定定 理理 2 2 在在 方方 程程 组组中中固固 定定 且且可可 逆逆 矩矩 阵阵有有 小小 的的 摄摄 动动当当时时 (得得11,0,|1,)(),|()|().|()|()|,()1()0.|AxbbbAAAAAAxxbbxKAAbxr AAbAKAAAr AKAA 定定 理理 3 3 在在 方方 程程 组组中中有有 小小 的的 摄摄 动动可可 逆逆 矩矩 阵阵有有 小小 的的 摄摄 动动当当时时 (得得
