1、 3.算算 子子 范范 数数定义定义 1 1 是是上上的的向向量量范范数数，是是设设mnaP|上上的的矩矩阵阵范范数数，且且nnP amaxAAx|.|相相容容的的矩矩阵阵范范数数为为与与向向量量范范数数则则称称am 例例 1 1.|1相相容容的的矩矩阵阵范范数数是是与与向向量量范范数数，则，则设设nnnPAPx ,njniijmaA11|1证证 ninkkikxaAx111|ninkkikxa11|111|nnnikkikkax nkkninkikxa111|)|(1|1xAm 例例 2 2.相相容容的的矩矩阵阵范范数数2|,2xAPAPxmnnn是与是与，则，则设设 证证 22|Ax ni
2、niniixaxaxa122211|)|()|(11122 ninjnjjijxa ninjnjjijxa11122|)|(222|2xAm 证证定理定理 1则则上上的的向向量量范范数数是是设设,|nnnaPAPx 0aaxa|Ax|A|max|x|1aa|u|(max|Au|).|相相容容的的矩矩阵阵范范数数是是与与向向量量范范数数ax0aaxa|Ax|A|max|x|aaaxAxA|aaaAxxA|0)1 A00 xPn中中存存在在00 Ax0|,0|00 aaxAx0|00 aaaxAxA02aaxa|Ax|)|A|max|x|0axa|Ax|max|x|0axa|Ax|max|x|aA
3、|aBA|)3 0axa|(AB)x|max|x|0aaxa|Ax|Bx|max|x|00aaxxaa|Ax|Bx|maxmax|x|x|aaBA|推论推论 1,|nnnaPBAPx 、上上的的向向量量范范数数是是设设容容的的的的算算子子范范数数，则则它它是是相相是是从从属属于于aaxA|矩矩阵阵范范数数，即即aaaBAAB|证证0aaxa|ABx|AB|max|x|0aaxa|A|Bx|max|x|0aaxa|Bx|A|max|x|aaBA|算子范数的特性：算子范数的特性：相相容容的的矩矩阵阵范范数数中中它它是是所所有有与与向向量量范范数数ax|)1.最最小小的的证证naaPxxAAx|0n
4、aa|Ax|A|xP|x|0aaxa|Ax|A|max|A|x|它它的的两两种种表表达达形形式式)20aaxa|Ax|A|max|x|1aa|u|(max|Au|)3).阵数论它是自相容矩范(推1)定理定理 2存存在在向向量量是是相相容容的的矩矩阵阵范范数数，则则设设m|，使使范范数数|x|xAAxm 证证nnmHPxPaxax ,|向向量量范范数数定定义义 a)1nHPxxa ,nmHPxxax 0|mHxax|)2 mHxa|x mHayxyx|)(|)3 mHHyaxa|mHmHyaxa|yx mHAxaAx|)4 mHmxaA|xAm 例例 3),(),0,0,1(21nxxxxa 取
5、取则则 000000|212nmHxxxxax2/112)|(niix2|x 定理定理 3是是一一相相容容的的矩矩如如果果RCnnm :|miA|，有有阵阵范范数数，则则对对任任一一nnCA .的的特特征征值值是是其其中中，Ai 证证xAxi|xxii|xA|xAm miA|二、算子范数二、算子范数 的计算的计算:例例 4的的算算子子范范数数为为从从属属于于向向量量范范数数1|x)|(max|11 niijjaA.被被称称为为极极大大列列和和范范数数证证 ninjjijxaAx111|ninjjijxa11|njnijijxa11|njnijijxa11|)|(njjniijjxa11|)|m
6、ax(njnijijjxa11|)|max(max|)11naxijji11|max|1nAxaijjxi1101|maxmax|1xnAxAaijjxi1|s 00100 s 取取个个第第 s1|sA 1|s 111011sxs|A|Ax|Amax|x|1max|nijjia1|s 1|1 s),(1)|(max|2111nniijjniisAnsaa 令令例例 5的的算算子子范范数数为为从从属属于于|x)|(max|1 njijiaA.被称为极大行和范数被称为极大行和范数证证|max|1 nkkikixaAx|max1 nkkikixa1max|max|nikkikkax|max|max1
7、kknkikixa 1max|nikikax1|max|(1)|nikikAxaxnsaanjijinjsj 1)|(max|11 令令),2,1(|njeaajisjsj 记记01|maxmax|nikxikAxAax),(21niiieeez 1|z|Az njisjjea1|njsja1|1|max(|)(2)|nijijAzaz|z)|(max|1 njijiaA01|maxmax(|)|nijxijAxAzAaxz例例 6的的算算子子，则则从从属属于于设设2|xPAnm 为为范范数数（又又称称为为谱谱范范数数）)(|2AArAH 证证定义定义 2的的特特征征值值，则则是是，设设ACA
8、inn .的的谱谱半半径径称称为为 A|max)(iiAr 0)()()(AXAXXAAXXfHHH的的单单位位正正交交特特征征向向量量是是对对应应iinX ;021 1|2 uPun且且设设nnXaXaXau 22112222212|1Hnuu uaaannnHXaXaXaAuA 222111AuAuAuAuAuHHH )(|22222112()naaa1 2221122nnaaa121|max2 Auu11221|AXAXAXHH 又又111XXH 1 )(|max|121|22AArAuAHu 三、三、谱范数的性质谱范数的性质定理定理 4，则则设设nnCA 2222|)1(AAAATH
9、2222|)2(AAAAAHH 都都有有及及阶阶酉酉矩矩阵阵对对任任何何VUn)3(2222|AUAVAVUA 证证xAxAH )1(0 若若非非满满秩秩AAH非非满满秩秩HAA的的特特征征值值也也是是HAA0 0 若若0 AxyyAAHAxAAH)(xA yAx 的的特特征征值值也也是是HAA:同同理理可可证证的的特特征征值值的的特特征征值值也也是是AAAAHH)(|2AArAH)(HAAr 2|HA|)(|THTAAE|)(|THAAE|HAAE 2|A2|HA 2|TA 2|A2|HA 2|TA 2|A 22|)2(AAH)()(AAAArHHH)(2AArH 2)(AArH 2222|
10、AAAAAHH 22|)3(UA)()(UAUArH UAUArHH)(AArH 22|A 定理定理 5，则则设设nnCA 2221H|x|y|A|max|yAx|)2(122AAA证证22|)1(AxyAxyH 222|xAy 2|A 21|maxAAxyHyx 2221|x|A|max|Ax|0|202 AxA2000|AxAxy|00AxyH|)(|0200AxAxAxH 20|Ax 2|A 21|maxAAxyHyx )(|)2(22AArAH 1|AAH 11|AAH|1AA 四、四、广义算子范数广义算子范数定理定理 6则则都都是是向向量量范范数数设设,|,|nnbaPA 0aa,b
11、xb|Ax|A|max|x|)|max(1|auAub .上上的的广广义义算算子子范范数数叫叫做做nnP 定理定理 7都都是是向向量量范范数数，则则与与设设cba|,|cbbacaBAAB,|总结总结:111(1)mnmijij|A|a|21122211(2)()mnHmijij|A|a|tr A A (3)miji,j|A|a|max 11(4)nijji|A|m ax(|a|)1(5)nijij|A|m ax(|a|)2(6)H|A|r(A A)应用应用1 矩阵逆的摄动矩阵逆的摄动(1)AAAAA 矩矩阵阵可可逆逆,与与其其摄摄动动矩矩阵阵满满足足什什么么条条件件时时,可可逆逆?11(2)
12、,()?AAAAA 当当可可 逆逆与与的的近近 似似 程程 度度 如如 何何 估估 计计1:,()|.pppAKAAAA 定定 义义设设是是 可可 逆逆 矩矩 阵阵 称称是是相相 对对 给给 定定 范范 数数 的的 条条 件件 数数n naaaaaACAxAEAEAA 11 1:,|,|1,|()|(1|).定定 理理是是 从从 属属 于于 向向 量量 范范 数数的的 矩矩 阵阵 范范 数数 如如 果果则则可可 逆逆 且且11111-11111,|1,(1);|(2)()(),|;1|()|(3).|1|2|aaaaaaaaAAAAAAAAAAEF AFAAAAAAAAAA 可可逆逆为为摄摄动
13、动矩矩阵阵则则 +可可逆逆+定定+理理1 例例2600,26.0000100.00002AA 11300000.5300000,100000100000299999.5300000(),100000100000AAA 计计算算可可得得122()|8.9443123.561105.K AAA Hilbert matrix例例 2 2 1,1n nijijHhRhij 11121112311112(1)nnHnnnn 122()|4.7661e+005 (n=5)K AAA AxbAbbA xxbbAxbxxxxbKAxxb 000000,0(),()|()|=().|应应 用用 2 2:线线 性
14、性 方方 程程 组组 的的 摄摄 动动定定 理理 1 1 在在 方方 程程 组组中中固固 定定 且且 可可 逆逆 令令且且 有有 小小 的的 摄摄 动动,则则 解解 方方 程程 组组 得得AxbbbAAAAAAxxbAxbAKAxxxxAAxxKAA 1000000,0,|1,)(),()|()|()|=.|1()|定定 理理 2 2 在在 方方 程程 组组中中固固 定定 且且可可 逆逆 矩矩 阵阵有有 小小 的的 摄摄 动动且且 (得得AxbbbAAAAAAxxbbAxbxxxxKAAbxxr AAbAKAAAr AKAA 10000001,0,|1,)(),()|()|()|=().|()
15、|()|,()1()0.|定定 理理 3 3 在在 方方 程程 组组中中有有 小小 的的 摄摄 动动可可 逆逆 矩矩 阵阵有有 小小 的的 摄摄 动动且且 (得得AxbAbAAbb ,268,26.000018.00001:268,25.999998.00002例例:方方 程程 组组摄摄 动动 矩矩 阵阵 和和 向向 量量 为为Axbx 01:1方方 程程 组组的的 准准 确确 解解 为为AA xbbx 10)():2 方方 程程 组组(的的 解解 为为方方 程程 组组 的的 预预 处处 理理xAxbx 551211010112例例:方方 程程 组组A 515110110111kA 5255(110)()10101预预 处处 理理 512:111012211xBxxkB ()4
