1、第19讲 数论综合知识点精讲一、 特殊数的整除特征1. 尾数判断法1) 能被2整除的数的特征：2) 能被5整除的数的特征：3) 能被4（或25）整除的数的特征：4) 能被8（或125）整除的数的特征：2. 数字求和法：3. 99的整除特性：4. 奇偶位求差法：5. 三位截断法：特别地：71113=1001，abcabc=abc1001二、 多位数整除问题技巧：1目的是使多位数“变短”，途径是结合数的整除特征和整除性质2对于没有整除特性的数，利用竖式解决。三、 质数合数1. 基本定义【质数】【合数】注：自然数包括0、1、质数、合数.【质因数】【分解质因数】用短除法和分拆相乘法分解质因数。任何一个
2、合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N=a1a2a3an，其中a1、a2、a3an都是合数N的质因数，且a1a2a3an。【互质数】【偶数】【奇数】2. 质数重要性质1) 100以内有25个质数：2) 除了2和5，其余的质数个位数字只能是：3) 1既不是质数,也不是合数4) 在质数中只有2是偶数,其他质数都是奇数5) 最小的质数是2.最小的奇质数是36) 有无限多个3. 质数的判断：1) 定义法：判断整除性2) 熟记100以内的质数3) 平方判断法：例如：对2011，首先4422011452，然后用1至44中的全部质数去除2011，即可叛断出2011为质数.4. 合数1)
3、无限多个2) 最小的合数是43) 每个合数至少有三个约数5. 互质数1) 什么样的两个数一定是互质数？注意：分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式.因此,要分解的合数应写在等号左边,如：21=37,不能写成：37=21.6. 偶数和奇数1) 0属于偶数2) 十进制中，个位数字是0,2,4,6,8的数是偶数；个位数字是1,3,5,7,9的数是奇数3) 除2外所有的正偶数均为合数4) 相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍数是他们乘积的一半5) 奇奇=偶 偶偶=偶 偶奇=奇 奇奇=奇 偶奇=偶 偶偶=偶四、 约数与倍数1. 约数与倍数概念：2. 一个数约数的个数：3. 平方数与约数个数的关系：4.
4、 最大公约数与最小公倍数求法：分解质因数：辗转相除法：5. 两数的最大公约数乘以最小公倍数等于这两个数的乘积。6. 分解质因数的作用。整除问题例题1 求无重复数字，能被75整除的五位数例题2 将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数，试问这个数能否被3整除？例题3 一个五位数 同时是11与25的倍数，求这个五位数例题4 （1）一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？（2）一个多位数，它的各位数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？例题5 在所有各位数字互不相同的五位
5、数中，能被45整除的数最小是多少？例题6 有5个连续质数的乘积是一个形如“”的六位数，如果其中的“”和“”各代表一个数字，那么这个六位数是 例题7 如果六位数既是13的倍数，又是125的倍数，那么这个六位数可能是多少？例题8 一个三位数的各个数字互不相同，且能被11整除，去掉末位数字后所得的两位数能被9整除这样的三位数中最大的是多少？最小的是多少？例题9 将自然数1，2，3，依次写下去形成一个多位数“12345678910111213”当写到某个数N时，所形成的多位数恰好第一次被90整除请问：N是多少？质数与合数例题10 请把下面的数分解质因数：（1）2635 （2）22425 例题11 算式
6、的计算结果的末位有多少个连续的0？例题12 100！末尾有多少个连续的0？例题13 甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪三人各自中靶的环数之积都是60，且环数是不超过10的自然数把三个人按个人总环数由高到低排列，依次是甲、乙、丙请问：靶子上4环的那一枪是谁打的？例题14 （1）60乘以一个三位数后，正好得到一个平方数这个三位数至少是多少？（2）72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数这样的三位数一共有多少个？例题15 把从1开始的若干个连续的自然数1，2，3，乘到一起已知这个乘积的末尾13位恰好都是0请问：（1）最后出现的自然数最小应该是多少？（2） 若称除以12为一次操作，设（1）中出现的最小自然
7、数为n，对n！至少进行几次操作，最后的结果才会出现余数？例题16 把39、45、49、56、60、70、78、84、91这9个数分成3组，使每组中3个数的乘积都相等？例题17 从1！，2！，3！，100！这100个数中去掉一个数，使得剩下的各数乘积是一个完全平方数请问：去掉的那个数是什么？约数与倍数例题18 480有多少个约数？ 1440的所有约数的和是多少？例题19 求一组分数、 的最大公约数例题20 已知两个自然数的差为4，它们的最小公倍数与最大公约数的积为252，求这两个自然数例题21 两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，那么这两个数的差有几种可能？例题22 已知a有6个约数
8、，b有10个约数，且a、b的最大公约数是12，求a与b例题23 甲数有15个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数的最小公倍数是720，求甲、乙两数各是多少？例题24 两个自然数的差是5，它们的最小公倍数与最大公约数的差是203，则这两个数的和是多少？例题25 老师在黑板上写下三个数：108,396，A，让同学们求它们的最小公倍数小马虎误将108当做180进行计算，结果竟然与正确答案一致A最小等于几？例题26 大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发，沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长，亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地里只留下60个脚印问这个花圃的周长是多少？
9、余数计算、物不知数与同余例题27 有5000多根牙签，按以下6种规格分成小包：如果10根一包，最后还剩9根；如果9根一包，最后还剩8根；如果依次以8，7，6，5根为一包，最后分别剩7，6，5，4根原来一共有牙签多少根？例题28 一个三位数除以21余17，除以20也余17这个数最小是多少？例题29 有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1请问：这个数除以12余数是几？例题30 100多名小朋友站成一列从第一人开始依次按1，2，3，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按1，2，3，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11请问：一共有多少名小朋友？例题31 的个位数字是_例题32 除以4、5、9所得的余数分别是_、_、_例题33 一个自然数除以2的商是一个自然数的平方，而除以3的商是一个自然数的立方，符合条件的最小的自然数是 综合练习题例题34 求满足下面条件的整数a、b：1） 2）例题35 一个能被99整除，各位数字互不相同的最小六位数是多少？例题36 用1,2,3,4,5,6,7七个数字组成三个两位数和一个一位数,并且使这四个数之和等于100,要求最大的两位数尽可能大,那么,最大的两位数是_.
