1、第十四章第十四章 整式的乘法与整式的乘法与因式分解因式分解14.1 整式的乘法整式的乘法(14.1.114.1.3)同底数幂的乘法同底数幂的乘法法则叙述法则叙述字母表示字母表示同底数幂同底数幂的乘法的乘法同底数幂相乘，底数不变，同底数幂相乘，底数不变，指数相加指数相加aman=am+n(m,n都是都是正整数正整数)知识解读知识解读法则适用的前提法则适用的前提（1）底数相同；（）底数相同；（2）乘法运算）乘法运算法则运算的结果法则运算的结果（1）底数不变；（）底数不变；（2）指数相加）指数相加底数底数a的代表性的代表性可以是单项式或多项式可以是单项式或多项式巧记乐背巧记乐背幂的乘法有诀窍，法则运
2、用要记牢，幂的乘法有诀窍，法则运用要记牢，底数不变指数加，正、逆用法看需要底数不变指数加，正、逆用法看需要.法则的推广法则的推广:amanap=am+n+p(m，n，p都为正整数都为正整数)；法则的逆用法则的逆用:am+n=aman（m，n都为正整数）都为正整数）.例例1 计算：（计算：（1）xx5=_;（2）(-x)2(-x)5=_;（3）(a-2b)3(a-2b)2=_.解析解析：(1)原式原式=x1+5=x6；（2）原式）原式=(-x)2+5=(-x)7=-x7;（3）原式）原式=(a-2b)3+2=(a-2b)5.x6-x7(a-2b)5例例2 计算：（计算：（1）-a(-a)2=_;
3、（2）x(-x)5x2=_;（3）(a-b)3(b-a)2=_.解析解析:（1）原式）原式=（-a）(-a)2=(-a)3=-a3；（2）原式）原式=xx2(-x)5=x3(-x)5=-x3x5=-x8；（3）原式）原式=(a-b)3(a-b)2=(a-b)3+2=(a-b)5.-a3-x8(a-b)5（1）另一种方法为）另一种方法为-a(-a)2=-aa2=-a3;（2）通过乘法的交换律计算同底数幂的乘法）通过乘法的交换律计算同底数幂的乘法;（3）利用当）利用当n是偶数时，是偶数时，(-a)n=an，对原式进行变形，对原式进行变形，转化为同底数幂的乘法转化为同底数幂的乘法.例例3 已知已知3
4、m+2=11，求，求3m的值的值.解解：3m+2=11，3m32=11,3m=.119 幂的乘方幂的乘方法则叙述法则叙述字母表示字母表示幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘(am)n=amn(m,n都是正整数)知识解读法则运算的结果(1)底数不变；(2)指数相乘底数a的代表性可以是单项式或多项式法则的推广法则的推广:(am)np=amnp(m,n,p都为正整数都为正整数)；法则的逆用法则的逆用:amn=(am)n=(an)m(m,n都为正整数都为正整数).注意注意：运用（：运用（am）n=amn时，避免出现时，避免出现(am)n=am+n或或(am)n=aman的错误的错误.例例4 计算计算:
5、（1）=_;（2）(a2)m-1=_;（3）x2(-x3)2=_;（4）(-a2-m)32=_.解析解析：（：（1）原式）原式=；（2）原式）原式=（a2）m-1=a2m-2;（3）原式）原式=x2(x3)2=x2x32=x2+6=x8；（4）原式）原式=-a(2-m)32=a3(2-m)2=a6(2-m)=a12-6m.912a2m-2x8a12-6m33123 391122 例例5 已知已知x,y都为正整数，且都为正整数，且3x=a,9y=b,求求3x+2y的值的值.解解：9y=b,(32)y=b,即即32y=b.3x+2y=3x32y=ab.积的乘方积的乘方法则叙述法则叙述字母表示字母表
6、示积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘(ab)n=anbn(n为正整数)知识解读法则适用的前提积的乘方法则运算的结果底数中各个因式乘方的积底数ab的代表性可以是单项式或多项式注意注意：在运用积的乘方时，不要遗漏底数中的任何一个因：在运用积的乘方时，不要遗漏底数中的任何一个因式式.特别地，当底数中含有特别地，当底数中含有“-”，应将其视为，应将其视为“-1”,作为一作为一个因式，防止漏乘个因式，防止漏乘.法则的推广：法则的推广：(abc)n=anbncn（n为正整数）；为正整数）；法则的逆用：法则的逆用：anbn=(ab)n(n为正整数为正整数).例例6 计算：（计算
7、：（1）(-ab)3=_;（2）(2a105)2=_;（3）ab2(-a2b)3=_.解析解析：（：（1）原式）原式=（-a）3b3=-a3b3;（2）原式）原式=22a21052=4a21010;（3）原式）原式=ab2(-a2)3b3=ab2(-a6b3)=-a7b5.4a21010-a3b3-a7b5例例7 计算：计算：(1.5)2 016 .解解：原式：原式=.20172320162016201632232222332333 对幂的运算法则理解不够，出现幂指数的运算错误对幂的运算法则理解不够，出现幂指数的运算错误例例8 计算：（计算：（1）a3(-a)2；（2）(-a2)3；（3）(-
8、2xy2)3.解解：（：（1）a3(-a)2=a3a2=a5.(2)（-a2）3=-(a2)3=-a6.(3)（-2xy2）3=（-2）3x3(y2)3=-8x3y6.（1）“-1”参与的运算易出现错误，参与的运算易出现错误，如错解：如错解：(-a2)3=（a2）3=a6；（2）错误使用幂的运算法则，幂指数的运算出现错误，）错误使用幂的运算法则，幂指数的运算出现错误，如错解：如错解：a3(-a)2=a3a2=a6，(-a2)3=-(a2)3=-a5，(-2xy2)3=(-2)3x(y2)3=-8xy6等等.例例9 计算：计算：(a+2b)3(-a-2b)4(a+2b).解解：原式：原式=(a+
9、2b)3(a+2b)4(a+2b)=(a+2b)3+4+1=(a+2b)8.底数为相反数的幂相乘，变同底数时符号出现错误底数为相反数的幂相乘，变同底数时符号出现错误（1）忽视底数为相反数的幂可转化为同底数的幂运算；）忽视底数为相反数的幂可转化为同底数的幂运算；（2）题目中第三个因式）题目中第三个因式(a+2b)的幂指数为的幂指数为1，在计算时，在计算时，容易当作指数为容易当作指数为0，导致出现错误的结果；，导致出现错误的结果；（3）不能灵活运用偶数指数幂的运算规律）不能灵活运用偶数指数幂的运算规律.题型一题型一 利用幂的运算法则计算利用幂的运算法则计算例例10 计算下列各题：计算下列各题：(1
10、)(102)3(-103)4;(2)(m+n)23-(m+n)33.分析分析：运用幂的乘方运算法则计算即可：运用幂的乘方运算法则计算即可.解解：(1)原式原式=1061012=106+12=1018.(2)原式原式=(m+n)6-(m+n)9=-(m+n)15.方法点拨方法点拨：运用幂的乘方法则进行计算时，要注意符号的：运用幂的乘方法则进行计算时，要注意符号的处理，另外不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆处理，另外不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.题型二题型二 逆用积的乘方法则进行简便计算逆用积的乘方法则进行简便计算例例11 计算下列各题：计算下列各题：（1）0.1252 016(-8)2 0
11、16;（2）.解解：（：（1）原式）原式=0.125(-8)2 016=(-1)2 016=1.（2）原式）原式=.20172018230.5 32311 20172018113336-0.52-21-2311111111 方法点拨方法点拨：进行幂的乘法运算时，如果幂底数相乘积为：进行幂的乘法运算时，如果幂底数相乘积为1或或-1，先将原式转化为幂指数相同的幂的乘法，再逆用积的，先将原式转化为幂指数相同的幂的乘法，再逆用积的乘方法则进行运算乘方法则进行运算.题型三题型三 运用幂的运算法则求值运用幂的运算法则求值例例12（1）已知）已知a2m=5,求求 a6m-5的值；的值；解解：（：（1）a2m
12、=5，（a2m）3=125.a6m=125.a6m-5=125-5=20.151515（2）已知）已知an+1am+n=a6,且且m-2n=1，求，求mn的值的值.解解(2)an+1am+n=a6,n+1+m+n=6,即即m+2n=5.又又m-2n=1,m=3,n=1.mn=3.方法点拨方法点拨：第（：第（1）题可以运用幂的乘方法则，进行幂指数）题可以运用幂的乘方法则，进行幂指数的转化的转化,amn=（am）n=（an）m例如，本题中将例如，本题中将a2m通过幂的通过幂的乘方，得出乘方，得出a6m的值，再代入求值的值，再代入求值.题型四题型四 运用幂的乘方法则比较大小运用幂的乘方法则比较大小例
13、例13 已知已知a=833,b=1625,c=3219，则下列结论正确的是（，则下列结论正确的是（）A.abc B.cba C.cab D.acb比较大比较大小，得小，得出正确出正确结论结论逆用幂的乘方运逆用幂的乘方运算法则，把算法则，把a,b,c都转化为底数为都转化为底数为2的幂的幂 思路导图思路导图先将先将a,b,c都转化为都转化为同底数幂，再比较同底数幂，再比较三个数的大小则进三个数的大小则进行计算行计算C解析解析：a=833=(23)33=299,b=1625=(24)25=2100,c=3219=（25）19=295,而而2952992100,cab.故选故选C.方法点拨方法点拨：比
14、较幂的大小，要通过观察幂的特征，探求幂：比较幂的大小，要通过观察幂的特征，探求幂的转化方法，一是化为同底数的幂，比较幂指数的大小，的转化方法，一是化为同底数的幂，比较幂指数的大小，进而得出幂的大小；二是化为同指数的幂，比较底数的大进而得出幂的大小；二是化为同指数的幂，比较底数的大小，进而得出幂的大小小，进而得出幂的大小.解读中考解读中考：中考中要求会运用运算法则进行计算，多以选中考中要求会运用运算法则进行计算，多以选择题或填空题的形式出现择题或填空题的形式出现.题目通常比较简单，属于基础题目通常比较简单，属于基础题型题型.考点一考点一 同底数幂的乘法运算同底数幂的乘法运算例例14 (湖南常德中
15、考湖南常德中考)计算计算a2a3=_.解析解析：a2a3=a2+3=a5.a5考点二考点二 积的乘方运算积的乘方运算例例15 (四川成都中考四川成都中考)计算（计算（-x3y）2的结果是（的结果是（）A.-x5y B.x6y C.-x3y2 D.x6y2 解析解析：（：（-x3y）2=(x3y)2x6y2.故选故选D.D核心素养核心素养 运用类比思想寻找相似或相近概念之间的关系，合理运用类比思想寻找相似或相近概念之间的关系，合理地利用转化思想将知识联系在一起地利用转化思想将知识联系在一起.通过逆向思维，透彻地通过逆向思维，透彻地理解本节知识理解本节知识.例例16 一根绳子长为一根绳子长为410
16、2 cm，若把它分别围成一个正方，若把它分别围成一个正方形和一个圆，则哪个图形的面积更大一些？形和一个圆，则哪个图形的面积更大一些？解：当长为解：当长为4102 cm的绳子围成正方形时，面积为的绳子围成正方形时，面积为 =(102)2=104(cm2);当长为当长为4102 cm的绳子围成圆时，面积为的绳子围成圆时，面积为 (cm2).104,把长为把长为4102 cm的绳子围成圆时的面积更大一些的绳子围成圆时的面积更大一些.224 104 224424 1016 104 102444 10 方法点拨方法点拨：首先分别求出将长为：首先分别求出将长为4102 cm的绳子围成正方的绳子围成正方形时的边长和围成圆时的半径长，再比较两个图形面积的形时的边长和围成圆时的半径长，再比较两个图形面积的大小大小.
