1、小学数学教材知识拓展上海市静安区教育学院有关专家对小学数学教师学科专业知识缺失现象做过问卷调查，他们选取上海市两个区40周岁以下约200位具有大专以上学历的小学数学教师作为调研样本，调研内容主要为教师能否应用数学知识为小学生释疑解惑、比较深入地把握小学数学的教学内容。调查结果显示受测教师的平均答对率只有38.8%。这不禁引起了我们对小学数学教师学科专业知识缺失现象的关注与思考。小学数学知识通常被定性为基础性知识，一方面它为学生的进一步学习和深造奠基，另一方面它是现代生活必须拥有的一种工具。教师需要具有较深厚的数学专业功底，否则就会出现种种负面影响。我们经常遇到这样的现象：学生主动发问，教师无法
2、解答，就说“这个问题我们到课外去找找答案。”我们可以把这样的教学行为称为教学机智，但如果长此以往，恐怕就显得教师太没专业底气了，学生也会因为教师一次又一次的“不知道”而不愿向教师提问。教师的专业学识受到质疑，专业角色受到挑战。给大家介绍一位教师教学二年级数学上册的“小统计”。课前教师组织学生进行夹弹子比赛，比赛结束后教师抛出问题：“同学们，刚才的夹弹子比赛究竟哪一组赢了，你们想知道吗？”学生大声回答：“想！”教师接着问：“是呀！老师也很想知道，那你们说怎样才能知道哪个小组得了冠军？”有的学生说：“我们可以数一数。”有的说：“把每个组7个人夹的弹子数合起来，再比一比。”还有的说：“可以算一算每个
3、组的总数，再比一比哪个组最多。”教师采纳了学生的建议，接着说：“好，算一算你们的总数，请组长上来记一记。”各组开始收集数据，组长汇报的结果分别为：7颗、11颗、8颗、10颗。教师说：“如果给各组再添上4颗，现在是几颗？”本节课是在学生已经学会了“以一当一”的条形统计图的基础上，引导学生学习用“以一当二”的条形统计图来表示数据的结果。此教学环节设计的目的是使学生产生认知的冲突，即教师提供的方格纸上的格子数不够“以一当一”，从而引起学生强烈的解决问题的需要，激发学生主动地发现“一个格子还可以表示二”，而学生具体的活动结果却没有产生这种冲突，因为有些组所夹弹子的个数可以用“以一当一”完成统计，教师解
4、决问题的办法是给各组再添上4颗弹子。出现问题的原因，首先教师在选择材料上存在问题，因为夹弹子这种活动对于二年级学生本身就有难度。其次是在时间分配上有问题，教师没有给学生充分的活动时间。第三是教师备课时没有充分地估计学生在课上具体活动时会出现什么样的情况，也就是没有对学生夹弹子的结果能不能与方格纸上格子的个数产生矛盾做好充分的心理准备。课上虽然教师通过给各组加上4颗弹子，解了燃眉之急，但却违背了描述统计的本身含义。再比如，在小学概率知识的教学中，根据小学生的认知水平，应避免学习过多或过深的术语，否则就会出笑话。有的教师让学生在课上做10次抛掷硬币的试验，就希望学生能够得到出现正面或反面的可能性都
5、是二分之一的结论。因为抛掷的次数少，所以要得出5次正面、5次反面的结果，是很难做到的。概率是理论上的精确值，但是随机事件在具体一次试验中发生与否是随机的，只有通过大量的试验才会体现出规律性。上述问题，在新教材新增内容的教学中，显得尤为突出。出现这种现象的原因是教师对这些新增内容的有些知识本身就了解不够。教材中有些内容不但对于学生来说是新知识点，其实对于教师来说也很陌生。比如“中位数”、“众数”、“概率”、“抽屉原理”等知识，教师对它们的掌握往往只是浅层次的，甚至有的知识教师从未接触过。这就对教师确定教学目标、挖掘教材、引领学生拓展学习形成了一定的障碍。难怪一些数学大师、特级教师们在课后点评时这
6、样评价：省数学教研员斯苗儿老师说：一些课上得不好的原因不在于方法和技巧，而是教师本身的数学功底。 因为无论是职前和职后都很少关注数学教师学科素养的提高。朱乐平老师说：现在许多老师的课，从知识的角度总可以找出知识性错误。下面我就从数与运算、空间与图形、统计与概率这三个领域中选择了十个典型的问题，与大家一起来解读。希望对我们以后的教学会有所启示，当然，最重要的是能在28日的考试中有所帮助。一、 数与运算领域中的知识拓展。1、0为什么是自然数？在上世纪90年代以前，自然数是不包括0的。但是1993之后，就包括0在内，这当然是一个规定所产生的。在1993年颁布的中华人民共和国国家标准中规定：自然数包含
7、0。从此之后，0就属于自然数的范围了。从近年来编写的新课标小学数学教材中，我们可以发现教材也都根据上述国家标准进行了修改。具体的表述是：用0表示“一个物体也没有”所对应的计数。0 是自然数有许多理由。首先，人的经验是“从无到有”。 比如魔术师在变魔术的时候，先交代两手空空， 再变出一只兔子，然后两只兔子。再比如：铅笔盒中本来是空的，然后装进一支铅笔、两只等等。第二，更重要的是书写的需要。十的位置记数写法是10。没有0，就写不出10，20，30， 100等数字。 所以0，1，29， 共十个数字是最基本的。第三， 0的出现可以保证自然数集有单位元。在自然数中550，如果0不是自然数，那么55岂不是
8、不能减了。第四，大数学家冯诺依曼用集合论的语言写自然数，第一个是“空集”， 用0 表示， 然后把以空集为元素的集合叫做1，依次类推。所以，从文化的角度看来“有”也是从没有开始的。所以说，0 是自然数的说法，既有生活经验， 又符合数学规则， 还有文化背景和科学依据，是合乎情理的。2、运算中有乘法和加、减法，为什么要先算乘除法或许老师们会说，这就是一种规定，纯粹的人为规定，无需证明。是的，把运算顺序看成数学上的一种“规定”，这是不争的事实，是一种共识。无论从以前的教材里，还是从现在教师（包括课程专家）的认识中，都可以充分印证。然而，现在的问题是：为什么要这样规定？“乘法是第二级运算，按规定计算时要
9、先算第二级运算。”或许在高年级的时候，我们也会这样去告知学生，利用一个新的规定（先算第二级运算）来解读原来的规定（先算乘除法），其实已经走入“循环规定”的误区。因为如若对新的规定作进一步追问为什么要先算第二级运算，则很显然又回到“为什么先算乘除”（它们实质上是同一个问题）。凭借生活中的实际问题能够达到体会“先算乘法”合理性的目的，但是似乎还不足以回答“为什么，”。知其然，还要知其所以然。作为教师，应该而且必须弄清“先算乘法”的真正道理，因为这“道理”将直接左右教学设计的走向，特别是教学的深度和效度。下面我们不妨来假设一个数学情境来感悟其中的道理。李老师去超市买学习用品，买钢笔花了20元，又买了
10、3本笔记本，每本5元，李老师一共用去多少钱？很显然，列出综合算式是20+35，应该先算35，理由是要求“一共用去多少钱”，必须先算出“3本笔记本多少钱”。这时我们已经体验到“先算乘法”的合理性了，如果是课堂教学，也往往随之结束了。但是，如果我们“钻一钻牛角尖”，将思维再向前推进一步，或许就有新的发现。这个问题我们是不是也能这样来解决：20+5+5+5，用钢笔的钱先加一本笔记本的钱，再加第二个笔记本的钱，最后加第三本笔记本的钱，不是也可以吗？可是为什么我们不选择它，而都选择20+35？因为这样比较简便。是啊，先算乘法再算加法，比起连加要简便，特别是当相同加数更多的时候，先算乘法就越显得简便了。事
11、实上，我们还可以从数学发展的角度去考察“为什么先算乘法”。我们知道，加法是数量变化的低级形式，是四则运算中最基本的算法，减法是加法的逆运算。后来人们在实践中摸索到更为高级的运算乘法，用乘法计算相同加数的和可以大大提高计算效率，使计算简便。因此，遇到型如“+a+a+a（b个a ）”的计算问题，自然就想到先用乘法算b个a的和（ba），然后再加。由此可见，人们之所以规定“先算乘法”，归根结底是缘于计算的简便。综上所述，混合运算的运算顺序是一种人为的规定，但是这种规定并非依据某个生活情境或同类实际问题数量的多少，更不是数学家们的主观意向，而是根据数学运算本身的特点而确定的，它产生于人们解决问题时的一种
12、“求简”本能，是人们追求简便、快捷的本能在计算活动中的具体反映。也就是说，基于计算的简便，人们才规定“算式中有乘法和加、减法时，应该先算乘法”。3、关于0为什么不能做除数 在数学教学中我们都知道有这么一个规定：0不能做除数。可是0为什么不能做除数呢？先从除法的定义来分析。小学数学中定义除法是乘法的逆运算，就是已知积与一个因数，求另一个因数的运算。即如果bq=a，那么ab=q ，但除数b不能是零，这是因为如果b0，那么（1）当a0时，由于任何数乘0都不可能等于整数a，所以a0的商就是不存在的。（2）当a0时，因为任何数和0相乘都得0，所以a0的商是不确定的。我们知道，在加法、减法与乘法中，和、差
13、（如果存在）与积都是唯一的，在除法中也要排除商（如果存在）不是唯一的情况，因此规定在除法中，除数不能是0。理论上也许比较费解。我们知道除法有两种含义，一个是“平均分”，一个是“每几个一份”。例如有6个苹果，平均分给三个小朋友，每个小朋友分得几个？就是把6平均分成三份求每份是几，所以632（个）。同样有6个苹果，要想每个小朋友分到2个，可以分给几个小朋友？就是求6里面有几个2？算式623（个）。上述情况要是除数为0的话就出现了下面的情况：（1）把6个苹果平均分成0份，每份是几个？这是没有答案的，6个苹果不能分成0份，这是不可能的。（2）有6个苹果，每个小朋友分0个，能分给几个小朋友？这也很可笑了
14、，每个小朋友分0个，那么不管有多少个小朋友都可以了，反正小朋友手里没有苹果。这里的答案是不确定的，所以0不能做除数了。这样我们就明确了0为什么不能作为除数了。 但是这里值得一提的是我们在教学分数的时候会有一节课专门研究分数与除法的关系，从而想到分数的分母也不能是0，那是不是因为除数不能为0，所以分母也不能是0呢？答案是否定的。分母不能是0，不是由除数不能是0所决定的，而是由分数的定义决定的。小学数学中提到把单位“1” 平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。在理论上分数的定义是：形如m/n(m和n都是正整数，且n1，m0)的叫做分数。同时，从分数m/n也应该包括整数来考虑，m也可以是0
15、，n也可以是1，因此有了下面的补充定义：当n1时，m/nm/1m；当m0时，m/n0/n0。而根据上述的定义和补充定义，分数的分母n不可能是0，一旦是0就不符合分数的定义了。另外，在分数的产生过程中，从度量方面看当用一个长度B作为标准（度量单位）去度量另一个长度A时，如果不能恰好量尽，为了仍用B来表示度量结果，就需要把B分成n等份后再去度量A。如果恰有m次量尽，就可以用把B分成n等份后的m等份来度量A的结果，即m/n，由此可以看出n不能是0且是一个大于1的正整数。因此，由分数的定义和分数产生的过程可知，分数的分母是不能为0的。正像上面所描述的，在数学中，规定0不能作除数是为了保证除法结果的唯一
16、性。从中可以看出，数学中有些规定是人们对这门学科有了一定的认识后为了达到统一要求而做的规定。就像规定1不是质数，是为了保证整数分解质因数的形式是唯一的；规定数轴的正方向为右，规定直角坐标系的x轴的正方向向右，y轴的正方向向上也是为了统一，保持数学的结果是唯一而做的要求。4、有余数除法的理解小学数学教师2010年第3期发表了池佳等老师撰写的文章1/7=1/8？（以下简称“池文”），该文出示了这样一段推理过程：“因为1/7=17=01，1/8=18=01，又因为0=0，1=1，所以 1/7=1/8。”显然，我们每个人都知道1/71/8，因此“池文”中提出了问题：“近乎完美的证明却得到了诸如1/21
17、/31/7=1/8这一系列荒谬的结论。问题的症结究竟在哪里？“池文”在寻找导致1/71/8的原因时指出：“在1/71701中，第一个等号连接的两端1/7与17是值是相等的，而第二个等号左边的值是1/7，等号的右边01，这是一个确切的值吗？不,它不是一个确切的值，其代表的是所有“商0余1”的一类数，如1/6，1/10等。所以，将一个数与一类数用等号连接起来自然就会出现前面的荒谬推理。”显然，这种说法是不妥当的。导致1/7=1/8的原因不是表达式“17=01”有错，而是在于连等式“1/71701”有错。这了提示这个表达式中存在的问题，我们必须深刻理解“有余数除法”的定义。定义：已知两个数a、b（b
18、是非零自然数），要求两个整数q、r，使q、r满足以下条件：abq+r，并且rb，这样的运算叫做有余数除法。记作abq（余r），或abqr。读作“a除以b等于q余r”，a还是叫做被除数，b还叫除数，q叫做不完全商（有时为了简便也简称商），r叫做余数。（由于给出此定义时，小学数学教材中尚无负数出现，故对余数的限制条件只写rb，而现在此限制条件已改为0rb）由“有余数除法”的定义可知，已知两个数a、b（b0），去求两个数q、r，如果满足条件abq+r（0rb），那么就可记作abqr，因此“abqr”是一个统一的整体。虽然中间有等号，但我们不能把它看成一般的等式，等号两边不能分开，它表示的是a、b、
19、q、r四个数之间有abq+r这一关系，单独写成“qr”是没有意义的。 因为“abqr”是一个整体，所以它不具有一般等式的反身性和传递性。也就是说，我们不能把abqr写成qr ab；也不能abqr和cbqr得到abcb。例如，从17=01和18=01就不能得到1718，从73=21和94=21也不能得到7394。同理，我们不能从nanbab（n是不为0和1的整数）和abqr得到nanbqr。例如702072，7231，但我们不能由此得到702031。不少人找不到70207231的错误究竟在何处，原因就是没有透彻理解“有余数除法”的定义。5、为什么要引进负数？自然数与分数的产生，可以说都是很自然的
20、事情。但是数的概念接下来的这一次扩展，就不再是自然的了。因为这需要人们突破0的障碍，认识到存在“比没有还要少”的数。这就需要引进一种比0还要小的负数，所以，引进负数的原因之一是人们在生产生活中经常会遇到各种相反意义的量，原因之二是使减法运算永远可以实施。在小学数学中，负数没有参与运算。据史料记载，早在两千多年前,我国就有了正负数的概念，掌握了正负数的运算法则。三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献。刘徽首先给出了正负数的定义，他说：“今两算得失相反，要令正负以名之。”意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们。刘徽第一次给出了区分正负数的方法。他说：“正算赤，
21、负算黑；否则以邪正为异”意思是说，用红色的小棍摆出的数表示正数，用黑色的小棍摆出的数表示负数；也可以用斜摆的小棍表示负数，用正摆的小棍表示正数。我国古代著名的数学专著九章算术（成书于公元一世纪）中，最早提出了正负数加减法的法则： “正负数曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”这里的“名”就是“号”，“除”就是 “减”，“相益”、“相除”就是两数的绝对值“相加”、“相减”，“无”就是“零”。 用现在的话说就是：“正负数的加减法则是：同符号两数相减，等于其绝对值相减，异号两数相减，等于其绝对值相加。零减正数得负数，零减负数得正数。异号两数相
22、加，等于其绝对值相减，同号两数相加，等于其绝对值相加。零加正数等于正数，零加负数等于负数。” 这段关于正负数的运算法则的叙述是完全正确的，与现在的法则完全一致！负数的引入是我国数学家杰出的贡献之一。 用不同颜色的数表示正负数的习惯，一直保留到现在。现在一般用红色表示负数，报纸上登载某国经济上出现赤字，表明支出大于收入，财政上亏了钱。 负数是正数的相反数。在实际生活中，我们经常用正数和负数来表示意义相反的两个量。夏天武汉气温高达42C，你会想到武汉的确象火炉，冬天哈尔滨气温-32C一个负号让你感到北方冬天的寒冷；珠穆朗玛峰的高度是海拔8844米; 吐鲁番盆地的高度是海拔-155米。在国外，负数出
23、现得很晚，直至公元1150年（比九章算术成书晚l千多年），印度人巴土卡洛首先提到了负数，而且在公元17世纪以前，许多数学家一直采取不承认的态度。如法国大数学家韦达，尽管在代数方面作出了巨大贡献，但他在解方程时却极力回避负数，并把负根统统舍去。有许多数学家由于把零看作“没有”，他们不能理解比“没有”还要“少”的现象，因而认为负数是“荒谬的”。直到17世纪，笛卡儿创立了坐标系，负数获得了几何解释和实际意义，才逐渐得到了公认。从上面可以看出，负数的引进，是我国古代数学家贡献给世界数学的一份宝贵财富。6、数的整除特征比较常见的整除性判断方法主要有两类,一类是看末位或末几位数字；另一类是先计算数字和或者
24、乘以适当系数的数字和,再作判断。（1）能被2或5整除的数的特征是：这个数的末一位数能被2或5整除。（2）能被4或25整除的数的特征是：这个数的末两位数能被4或25整除。（3）能被8或125整除的数的特征是：这个数的末三位数能被8或125整除。判断能否被以上这类数整除的方法就是用到第一种方法，看末位或末几位数字。现在以“能被4或25整除的数的特征”为例证明：为什么只要看这个数的末两位数能被4或25整除就可以了。证明 :设整数N从个位起各位上的数字为a0，a1，an，那么N=an10n+a2102+a110+a0N= （ an10n-2+a2 ）102+（a110+a0）其中（ an10n-2+a
25、2 ）102能被4或25整除，那么如果（a110+a0），也就是N的末两位数能被4或25整除，N就能被4或25整除。例：判断53728能不能被4整除解：28能被4整除，53728能被4整除（4）一个自然数被3整除判别准则是它的各位上的数字和能被3整除；一个自然数被9整除的判别准则是它的各位上的数字和能被9整除。 为什么会有这么简单的准则呢？我们如何证明各位数字和能被3除尽，这个数就能被3除尽。(这一题也是2011年教师考调试题中的一道证明题）；证明 :设整数N从个位起各位上的数字为a0，a1，an，那么N=an10n+a2102+a110+a0=（10n-1）an+（100-1）a2+（10-
26、1）a1+（an+a1+a0）因为（10-1），（100-1），（ 10n-1）都能被3或9整除，所以（10n-1）an+（100-1）a2+（10-1）a1 也能被3或9整除。那么，如果（an+a1+a0），也就是N的各数位上的数字之和能被3或9整除，N就能被3或9整除。（5）能被7、11或13整除的数的特征是：这个数的末三位数与末三位以前的数字之差（或反过来）能被7、11或13的整除。证明 :设整数N从个位起各位上的数字为a0，a1，an，那么 N=an10n+an-110n-1+ a3103+a2102+a110+a0=（an10n-3+an-110n-4+ a3）1000+a2102+
27、a110+a0设 U=an10n-3+an-110n-4+ a3V=a2102+a110+a0那么N=U1000+V=U（1000+1）+VU当UV时，A=1001U +（VU），当UV时，A=1001U （UV）。因为1001能被7、11、或13整除，所以1001U也能被7、11、或13整除。因此，N能被7、11、或13整除的特征， 就是VU或U V能被7、11、13整除。例：判断1005928能不能被7、11、13整除解： 1005928 的末三位数V928，末三位数以前的数字所组成的数U1005，UV100592877。另外，判断一个数能不能被11整除，还可以用，就是说，一个数能被11整
28、除的充要条件是：它的奇位上的数字和与偶位上的数字和之差（或反过来）能被11整除。我们知道，11，99，1001，9999，都是11的倍数，也就是(10+1)，(1001)，(1000+1) ， (100001)，下面以一个四位数N为例，说明一下“奇偶位差法”。因为 N=a3103+a2102+a110+a0=a3(1001-1)+a2 (99+1)+a1 (11-1)+ a0=a31001+a2 99+a1 11+ a0 -a3+a2-a1+a0=(a391+a2 9+a1) 11+(a2+a0 ) (a3+a1)N能被11整除的充要条件是：(a2+a0 ) (a3+a1)能被11整除在整除性
29、判断时，还有一个非常有用的原则：如果一个自然数A可以同时被自然数d和b整除，并且d和b互质，那么，A能被db整除。例如，5125764同时被7和4整除，所以它能被47=28整除；个位数字为0的数能被10整除，因为它同时能被2和5整除。这里两个除数互质的条件是非常重要的，千万不能忽略。二、 空间与图形领域中的知识拓展。1、大于180度小于360度的是什么角？如教学角的认识时，当明确锐角、直角、钝角概念以后，突然有学生提问“；大于180，小于360的角是什么角？”教师先是一愣，然后说“：这个我也不知道，书上也没说，大家知道吗？”结果没有人知道，大于180小于360的角在这节课就成了没有揭开的谜。事
30、实上，以90为分界点，180以内的角可以分为锐角、直角和钝角；如以180为分界点的话，那么360以内的角可分为劣角和优角。2、如何确定“左、右”？【案例】老师在学生初步感知左右以及左右的相对性后，进行了以下环节的教学。师：机灵狗有个问题要考考我们呢。图中上去的小朋友和下来的小朋友，他们都是靠右走的吗？生1：上去的小朋友是靠右边走的，下来的小朋友也是靠右边走的。生2：我有不同的意见，我觉得下来的小朋友是靠左走的。师：说说你的想法。生2：上去的小朋友是靠我的右手走的，而不来的小朋友是靠我的左边手走的，所以我觉得下来的小朋友是靠左走的。师：到底哪个答案是正确的呢？下面我们先来做个小游戏，然后同桌之间
31、讨论讨论。教师挑选了5名学生在教室里模仿图上的情境走了一遭。学生讨论后汇报，一致同意下来的小朋友也是靠右走的观点中。师生共同小结：要判断图中的小朋友靠哪边走，就不能以我们的左右来判断，而是要以图中小朋友的左右来判断。在评课交流时，有老师提出：生2认为图中下来的小朋友靠左走也是可以的，因为他是站在自己的角度，以观察者的左右为标准来确定左右位置的，这是左右相对性的体现。他建议上课教师在预设时应出示两个问题：1、图中的小朋友是靠我们的哪边走的？2、如果你是图中的小朋友，你认为自己是靠哪边走的？该教师的观点和建议得到了绝大多数教师的赞同。上课教师一看这阵势，也不敢坚持自己的意见了。那么，我们是不是真的
32、可以像上面教师所建议的那样，要从不同的观察角度来进行“左右”的教学呢？实际上，对于左右我们是有约定俗成的规定的：1、判断某人的左右，通常是以此人的左右为标准来确定的。2、讲图片、照片、黑板等的左右，是以观察者的左右来确定的3、讲图片、照片中的人、动物、植物等的左右，应该分两种情况来考虑：如果观察者面对的是人或动物之外的其他物体，一般以观察者的左右为标准来确定的，如果观察者面对的是人或动物，一般以图片中的人或动物的左右为标准来确定。3、关于平移、旋转和轴对称变换通俗地讲，所谓平移，就是将一个图形按一定的方向移动一定的距离；所谓旋转，就是将一个图形绕一个顶点转动一定的角度。这样描述，比较适合中小学
33、生的认知水平，但对教师来说，绝对是不够的。请看一个案例。在一堂教学平移与旋转的公开课中，老师创设了一个玩游乐场的情境。当讨论到摩天轮的运动时，起初同学们都认为是旋转。不料一位同学执着地要求发言，他说：老师，我坐过摩天轮，我坐在上面，始终是头朝上、脚朝下，所以我认为我坐在上面是平移，不是旋转。大家一时都愣住了，教师的应变对策是让学生小组讨论。这下热闹了，有的同意，认为人的方向没变；有的反对，理由是人在转圈。直到下课，都没有搞清楚是平移，是旋转，还是两者都不是。课后，前来观摩的教师也都议论纷纷，多数认为坐在摩天轮上的人与座仓的运动不是平移，也有少数认为是平移的。那么是否旋转呢？同样有两种意见，莫衷
34、一是。由此可见教师自身搞清楚概念是十分必要的。什么是变换？变换是近代数学中的重要基本概念之一。一般地说，所谓变换是指某个集合中符合一定要求的一种对应规律。就图形的变换来讲，因为几何图形都是点的集合，所以图形变换可以通过点的变换来实现。如果一个平面图形的每一个点，都对应于该平面内某个新图形的一个点，并且新图形中的每一个点只对应于原图形中的一个点，这样的对应就叫做变换。几何变换中最重要的是全等变换与相似变换。能够保持图形的形状和大小不变的变换就是全等变换。在全等变换中，原图形任何两点之间的距离，都等于新图形中两对应点之间的距离，所以又称为保距变换。能够保持图形的形状不变，而只改变图形大小的变换就是
35、相似变换。在相似变换中，原图形中所有角的大小都保持不变，所以又称为保角变换。在小学数学中主要引进了平移变换、旋转变换和轴对称变换，这三种变换都是全等变换。相似变换只是在第二学段中有所渗透，如学习比例尺时两个图形按比例放大或缩小，实际上就是一种相似变换。什么是平移变换、旋转变换和轴对称变换？先说平移与旋转。如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线，方向相同，长度相等，这样的全等变换称为平移变换，简称平移。也就是说，平移的基本特征是，图形移动前后“每一点与它对应点之间的连线互相平行（或者重合），并且相等”。显然，确定平移变换需要两个要素：一是方向，二是距离。如果新图形中的每个点都是由原图形中
36、的一个点绕着一个固定点（叫做旋转中心）转动相等角度得到的，这样的全等变换称为旋转变换，简称旋转。也就是说，旋转的基本特征是，图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”。显然，确定旋转变换需要三个要素：旋转中心、旋转方向与旋转角度。现在我们可以回答摩天轮座仓里的人是否在平移或旋转的问题了。摩天轮在旋转，但上面的座仓及里面的人始终头朝上，脚朝下，是不是在平移呢？我们可以依据平移的基本特征，画出运动过程中任意两个位置上座仓上下部中点的连线（如图1），它们平行并且相等，所以是平移。那么座仓及里面的人是否在旋转呢？依据旋转的基本特征，画出座仓下部中点与
37、摩天轮旋转中心的连线（如图2），它们的长明显不相等。明明摩天轮在旋转，而座仓与里面的人却不是在旋转，是在平移，这是怎么回事呢？原来，摩天轮在带动座仓顺时针旋转的同时，地球的引力使得挂在吊钩上的座仓也在逆时针细微地转动，从而使座仓与里面的人始终保持向上的方向，并且座仓与人上的每个点都移动相同的距离。其实，数学中所说的旋转、平移，主要考察运动开始、终止状态下两个静止图形对应点之间的关系，它与物理学中研究物体“转动”、“平动”的侧重点有所不同。再说对称。对称是一个许多学科都在使用的名词，在数学中它占有相当重要的地位。与对称有关的概念如对称多项式、对称空间、对称原理等等，都是数学中比较重要的概念。小学
38、数学所讨论的，仅限于图形的对称，而且仅指平面图形关于一条直线的对称。至于图形的其他形形色色的对称，如旋转对称及其特例中心对称等等，都不在我们讨论的范围之内。但是当学生提到这类现象时，如平行四边形（中心对称）、电扇叶片（旋转对称）等，教师不应断然否定它们的对称性，只要指出它们不是轴对称图形就行了。如果连接新图形与原图形中每一组对应点的线段都和同一条直线垂直且被该直线平分，这样的全等变换称为轴对称变换，每组对应点互为对称点，垂直平分对称点所连线段的直线叫做对称轴。也就是说，轴对称的基本特征是，“连接任意一组对应点的线段都被对称轴垂直平分”。显然，确定轴对称变换的关键在于找到对称轴。构成轴对称的图形
39、可以是一个，通常就叫做轴对称图形（如图3）；也可以是两个，通常叫做这两个图形关于某条直线对称（如图4）。成轴对称的两个图形，任何一个都可以看作是由另一个图形经过轴对称变换后得到的。一个轴对称图形，也可以看作以它的一半为基础，经过轴对称变换而成的。我们也可以用更通俗的语言，对轴对称图形做出直观的描述：将一个图形对折，如果折痕两边的图形完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，折痕（所在直线）叫做对称轴。当然这种描述偏重于图形性质的刻画，运动变换观点的渗透就不那么突出了。在数学中，为了刻画平移的方向与距离，通常采用有向线段或向量，并放在特定的坐标系内讨论。为了刻画旋转的要素，最简捷的方式就是采用极坐标。
40、因为图形的变换作为点与点之间的一种对应，要精确刻画它是离不开坐标系的。就是把图形的变换看作一种运动，同样需要参照系。事实上，过去一直把平移与旋转放在解析几何里讨论，主要就是这个原因。在小学数学中，讨论平移和旋转时经常利用方格纸，也是这个道理。平移变换、旋转变换与轴对称变换有什么联系？前面，我们在描述三种全等变换时，特别强调它们各自的基本特征，以便于正确识别和区分。那么，这三种全等变换又有什么联系呢？首先这三种变换都能保持图形的形状、大小不发生变化，这是它们最主要的共同点。其次，如果连续进行两次轴对称变换，在一般情况下：（1）当两条对称轴平行时，那么这两次轴对称变换的最后结果相当于一次平移变换，
41、平移的方向与对称轴垂直，平移的距离为两条对称轴之间距离的2倍。简略地说，两次翻折（对称轴互相平行）相当于一次平移。（2）当两条对称轴相交时，那么这两次轴对称变换的最后结果相当于一次旋转变换，旋转中心为对称轴交点，旋转角度为两条对称轴夹角的2倍。简略地说，两次翻折（对称轴相交）相当于一次旋转。上面两条结论是针对图形的一般情况来说的。有些特殊的图形，也可能只经过一次轴对称变换，就能达到平移或旋转的效果。例如图5中“带烟囱的房子” 经过两次轴对称变换（对称轴平行，且相距4格），相当于一次向右平移8格。图6中“没有烟囱的房子”只要经过一次轴对称变换就相当于平移了。此外，上面两条结论反过来同样成立。即一
42、次平移变换可以由两次轴对称变换（对称轴互相平行）代替；一次旋转变换，也可以由两次轴对称变换（对称轴相交）替换。它们的运动方式不同，但效果相同。在小学数学教材中，有些图案可以用不同的变换来生成。例如图7的四叶图案，其中的每一片叶，既可以由相邻的那片叶经过轴对称变换得到，也可以由相邻的叶片旋转90得到，或者由同一直线上的那片叶经过平移得到。认识三种全等变换之间的联系，也有助于我们理解在数学中，研究图形变换的关注点，主要在于变换前后图形的相对位置关系及其对应点的关系。三、 统计与概率领域中的知识拓展。1、平均数、众数、中位数的联系区别。都是来描述数据集中趋势的统计量；都可用来反映数据的一般水平；都可用来作为一组数据的代表。定义不同、求法不同、个数不同；呈现不同：平均数是虚拟数、中位数不完全虚拟的数、众数的原数据；代表不同：分别表示平均水平、中等水平、多数水平；特点不同：平均数与每一个数据都有关，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动并受极端数影响较大；中位数与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响，不受极端数影响；众数与数据出现的次数有关，着眼于对各数据出现的频率的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，不受极端值的影响,但具有不惟一性。
