1、Thermal Analysis of Finite Element Method 有限元热分析有限元热分析(一一)第一部分第一部分:热分析的基本概念热分析的基本概念 The First Part:The Basic Concept of Thermal Analysis符号符号*timetemperaturedensity specific heat film coefficient emissivity Stefan-Boltzmann constant thermal conductivity heat flow(rate)heat flux internal heat generati
2、on/volume tTchKQqqEenergy EnthalpyH ANSYS中标准单位中标准单位(英制英制)n温度n热流量n热传导率n密度n比热n对流换热系数n热流n温度梯度n内部热生成nDegrees FnBTU/hrnBTU/(hr-inch-degree F)nlbm/(inch3)nBTU/(lbm-degree F)nBTU/(hr-inch2-degree F)nBTU/(hr-inch2)ndegree F/inchnBTU/(hr-inch3)ANSYS中标准单位中标准单位(SI)n温度n热流量n热传导率n密度n比热n对流换热系数n热流n温度梯度n内部热生成nDegree
3、s C(or K)nWattsnWatts/(meter-degree C)nkilogram/(meter3)n(Watt-sec)/(kilogram-degree C)nWatt/(meter2-degree C)nWatt/(meter2)ndegree C/meternWatt/(meter3)热传递的类型热传递的类型热传递有三种基本类型:n传导:两个良好接触的物体之间的能量交换或一个物体内由于温度梯度引起的内部能量交换。n对流:在物体和周围介质之间发生的热交换。n辐射:一个物体或两个物体之间通过电磁波进行的能量交换。在绝大多数情况下，我们分析的热传导问题都带有对流和/或辐射边界条件
4、。传导传导传导的热流由传导的傅立叶定律决定：负号表示热沿梯度的反向流动(i.e.,热从热的部分流向冷的)。*heat flow rate per unit area in direction nWhere,=thermal conductivity in direction n =temperature thermal gradient in direction nnnnnTqKnKTTn 对流对流对流的热流由冷却的牛顿准则得出:对流一般作为面边界条件施加*()heat flow rate per unit area between surface and fluidWhere,=convec
5、tive film coefficient =surface temperature =bulk fluidfSBfSBqhTThTT temperatureTBTs辐射辐射从平面 i 到平面 j 的辐射热流由施蒂芬-玻斯曼定律得出:在ANSYS中将辐射按平面现象处理(i.e.,体都假设为不透明的)。44()heat flow rate from surface i to surface jWhere,=Stefan-Boltzmann Constant =emissivity =area of surface i iijijiQAF TTA =form factor from surface
6、 i to surface j =absolute temperature of surface i =absolute temperature of surface jijijFTTij有限元方法有限元方法将区域分解或划分为简单的形状:2-D模型中的四边形和/或三角形，3-D模型中的四面体，金字塔形或六面体。1 有限元方法有限元方法(续续)假设单元内温度变化可以用多项式表示。一般情况下，根据单元类型的不同，应当包含不同的一次项,平方和混合的立方项。多项式假设保证了温度在单元内部和单元边界上都是连续的。写出以单元节点温度为未知数的多项式:where row vector of element
7、shapeor interpolation functions and is a vectorof element nodal temperatures.The shapefunctions are functions of x,y and z.TeTeTNTNT有限元方法有限元方法(续续)由单元节点温度得出每个单元的温度梯度和热流。=thermal gradient vectorwhere The matrix is calculated by differentiatingthe shape functions:=LThe flux vector,is given bywhere is t
8、he matrix of eTTeL TBTaLxyzBBNqqDL TDBTDaDthermal conductivity properties有限元方法有限元方法(续续)将假设的温度变化代入积分方程，注意到每项都乘上了实际的温度数值，将两边约去得到:233*233()()()()()()()TTeevolvolTeBfvolSSTfeSvolc NN d volTc NvB d volTBDB d volTN q d ST hN d ShNNTd Sq N d vol有限元方法有限元方法(续续)将方程可以重新写为简化形式:,where the subscript e has been dr
9、opped and it is understoodthat these matrices apply at the element level.specific heat matrix(energy storage)=contributmdcfcgm d cCTKKKTQQQCKf,c,gions to thermal conductivity due to mass transport of heat,diffusion,and convection,respectivelyQcontributions to the nodal heat flows from flux,convectio
10、n and internal heat generation,respectively有限元方法有限元方法(续续)其中:3233*23()()()()(),(),()Note,is not symmetric.If mass transport of heat efTvolTmvolTdvolTcfeSfcgBfSSvolmCc NN d volKc NvB d volKBDB d volKhNNTd SQN q d SQT hN d SQq N d volK fects areincluded a more,computer-intensive,unsymmetric equationsol
11、ver must be employed(i.e.,Frontal,JCG,or ICCG solvers).有限元方法有限元方法(续续)系统方程是将单元的贡献组装而成:nn,i=1i=1n,applied nodal heat flowsi=1 where,nnumber of elementsm d ciif c giCTKTQCCKKQQQ例子例子:3节点三角形单元节点三角形单元热传递的有限元方法可以用简单的3节点三角形实体单元来说明。使用4节点实体单元更好一些，但在本题中，使用形函数更加简单的线性三角形单元。物理系统物理系统:1”x 1”isotropicplanar solid对流边
12、界条件;hf,TB均匀温度边界,Ts=0对称对称例子例子:3节点三角形单元节点三角形单元(续续)有限元单元模型:2 三角形单元4 节点推导单元 1 矩阵:1243xy121231 112323123(1)TeTTNTNNNTTTyTxy TxT单元形函数单元形函数例子例子:3节点三角形单元节点三角形单元(续续)推出梯度推出梯度-温度矩阵温度矩阵定义各向同性材料定义各向同性材料 特性矩阵特性矩阵单元传导矩阵单元传导矩阵1011 11000110 ()1212011TTdTvolNxBNyKDKKKBD B d vol例子例子:3节点三角形单元节点三角形单元(续续)对流对传导矩阵的贡献对流对传导矩
13、阵的贡献对流节点热流向量对流节点热流向量110110()110021012060001()11200TcffsssfBfcBfBfssyKhNNd ShyyydyhyT hQT hNd ST hy dy 例子例子:3节点三角形单元节点三角形单元(续续)同样得到单元同样得到单元 2的矩阵的矩阵并组合成为总体矩阵并组合成为总体矩阵矩阵可以分块如图，因矩阵可以分块如图，因为为T3=T4=0同时求解得到未知的温同时求解得到未知的温度度求解单元求解单元1节点节点3的响的响应热流应热流12334412021012100101210120010121000002621012000002121121226fB
14、ffBfThT hTKTQTQhT hTKT 1231112 2BffT hTTKhKQT 例子例子:3节点三角形单元节点三角形单元(续续)计算单元计算单元1的温的温度梯度向量度梯度向量*计算单元计算单元1的热的热流向量流向量*112212333123131011 2110 substitute ,TTaBTTTTTTTTTaTTqDaK TT注意在单元内部梯注意在单元内部梯度和热流是均匀的度和热流是均匀的有限元热分析中的基本特性有限元热分析中的基本特性求解连续性n温度在一个单元中和单元内部边界上是连续的温度在一个单元中和单元内部边界上是连续的(i.e.,单单值的值的)n温度梯度和热流在一个单
15、元中是连续的，在单元内部温度梯度和热流在一个单元中是连续的，在单元内部边界上是不连续的边界上是不连续的能量平衡在每个节点上都能够满足，因为基本方程表示了节点能量平衡。热传导的傅立叶定律满足，因为它用于推导基本方程并用于从单元温度梯度中求解单元热流。有限元热分析中的基本特性有限元热分析中的基本特性(续续)一般来说，稳态分析中网格上节点温度比实际温度要低。也就是说，如果加密网格，温度将增加，但加密到一定程度，结果将不显著增加(i.e.,结果收敛)。T网格密度网格密度引起奇异性的原因引起奇异性的原因整体求解的奇异性n在稳态分析中当有热量输入(e.g.,施加节点热流，热流，内部热源)而无热流流出(指定
16、的节点温度，对流载荷等)，稳态的温度将是无限大的。n等同于结构分析中的刚体位移。温度梯度/热流奇异性n如果对点热源处的网格细分下去的话，梯度/热流将无限增加。n凹角和网格中的“裂缝”。n形状不好的单元。网格划分误差网格划分误差实际上任何产生不连续热流区域的有限元模型都是有误差的。在单元内部边界上热流不连续的大小将作为ANSYS进行误差估计的基础。网格划分误差估计一般用于实体和壳单元，而且单元所在区域的单元类型是均一的(e.g.,具有共同的特性)，热流在该区域中也就是连续的。误差计算的细节在ANSYS 理论手册ANSYS 误差度量误差度量(续续)ANSYS 计算了几个数值，可以用来评估网格划分误
17、差。误差计算可以用于线性和非线性的稳态分析，在通用后处理器-POST1中进行。ANSYS中的网格划分误差度量功能:nTERR-估计选定单元中的热耗散能。在POST1中可以使用ETABLE命令存储，排序和列表。TERR的云图可以使用Contour Plot Element Solution来完成。nTDSG-单元中最大的热流偏差。计算单元中每个节点在各方向上平均热流和非平均热流之间最大差值。存储，排序，列表和绘图方法与TERR类似。ANSYS 误差度量误差度量误差限SMNB和SMXB:当用云图绘制不连续数值(温度梯度和热流)时(误差估计功能处于打开状态)，SMNB和SMXB将出现在图例区域，表示
18、出该数值不连续的范围。ANSYS 误差度量误差度量(续续)例:假如云图显示的是X方向的平均节点热流(PLNS,TF,X)，SMNB和SMXB将显示在图例中，其计算方法如下:maxmaxmaxmax()for all selected nodesmin()for all selected nodeswhere average nodal flux in the x-direction at node iand maximum TDSG of any selected element thixixixSMXBqTDSGSMNBqTDSGqTDSGatconnects to node i.与结构分析的比较与结构分析的比较 MUCUKUF CTKTQ结构结构n位移n力n均布载荷n应变n应力n温度分布n内部载荷n塑性基础n无n接触热热n温度n热流率n热流密度(施加的)n温度梯度n热流密度(计算的)n无n内部热生成(heat/volume)n对流n辐射n恒温器谢谢谢谢!
