1、5.2 中心极限定理中心极限定理一一、列维、列维-林德伯格林德伯格中心极限定理中心极限定理二、棣莫佛拉普拉斯中心极限定理二、棣莫佛拉普拉斯中心极限定理Ox-8-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8记151kkX)51 ,0 (N),(2nnN1,1,kX(1,2,15)k kk151,0 1522nn例1121012kEX 2221111122kEX221kkkDXXEXE例 一枚均匀的骰子连掷一枚均匀的骰子连掷 n 次次,点数之和为点数之和为,nYkX=第k 次出现的点数，k=1,2,n12nnXXYX11YX111234561 61 61 61 61 61
2、 6YXp01234567121X 服从离散型均匀分布。122YXX23456789101112P361362363364365636365364363362361122YXX2313XXYX12344XXYXX1niinnYX随着 的增加，的分布逐渐趋于正态分布。在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布从正态分布研究发现这些指标通常是由大量研究发现这些指标通常是由大量相互独立的相互独立的随机因素随机因素综合影响而成综合影响而成,即即 (,)YN12nnXXXYn 1niinXY111()()nniiiniiinEXXXZD(0,1)?N中心极
3、限定理研究：中心极限定理研究：实际背景实际背景标准化 概率论中概率论中,把在一定条件下把在一定条件下大量独立随机变量和大量独立随机变量和的分的分布以布以正态分布为极限正态分布为极限的这一类定理的这一类定理,称为称为中心极限定理中心极限定理。111nnkknkkkknEXXDXZ 221 lim lim2nnntnZzFzPzedtZ若nX中心极则称服从限定理。=一一 列维列维中心极限定理中心极限定理设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,Xn,独立独立同分布同分布，且，且(),kE X2()0(1,2,),kDkX111nnkknnkkkkEXXDXZlim()lim nnnnZFzPzZ有服
4、从中心极限定理。即标准化服从中心极限定理。即标准化nX2212tzedt z 即即“若随机变量序列若随机变量序列X1,X2,Xn,满足满足独立同分独立同分布布，且，且期望与方差存在期望与方差存在，则服从中心极限定理，则服从中心极限定理”。例例设有设有30个电子元件个电子元件,它们的寿命均服从参数为它们的寿命均服从参数为0.1的指数分布的指数分布(单位单位:小时小时),每个元件工作相互每个元件工作相互独立独立,求他们的寿命之和超过求他们的寿命之和超过350小时的概率小时的概率.解解为为寿寿命命之之和和个个元元件件的的寿寿命命为为第第设设TiiTi,30,2,1,30.,2,1),1.0(iETi
5、且且 301iiTTiET101 iDT10012 相相互互独独立立显显然然3021,TTTDTETT 由由列列维中心极限定理维中心极限定理100301030 T)1,0(N 350 TP 30003003503000300TP 30003003501)91.0(1 1814.08186.01 即他们的寿命之和超过即他们的寿命之和超过350小时的概率为小时的概率为0.1814标标准正准正态态分布表分布表他们的寿命之和超过他们的寿命之和超过350小时小时)1,0(100301030NT 300030035030003001TP 201kkVV2012/1005202012/100520201 V
6、VZkk例例2 一加法器同时收到一加法器同时收到20个噪声个噪声Vk(k=1,2,20),设它们是相互独立的随机变量，且都在区间设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0,10)上上服从均匀分布。记服从均匀分布。记 求求PV105的近似值的近似值解解E(Vk)=5,D(Vk)=100/12 (k=1,2,20).近似服从正态分布近似服从正态分布N(0,1),由由莱维中心极限定理莱维中心极限定理 39.020)1210(1001VP 39.020)1210(100VP 2012/1005201052012/100520VP 105 VP)39.0(1 3483.0105 VP所以所以3483.0
7、6517.01 )1,0(2012/100520NV 练习练习 C选择 AB、期望方差存在且解：不一定分相同，布相同；D 离散型分布期望方差不一定存在。121212,+,nnnnnXXXXXXXXXABCDSS设随机变量相互独立，则若近似服从正态分布，还需满足有相同的数学期望；有相同的方差；都服从参数为2的指数分布；都服从同一离散型1个分布。分布。D 不是同分布 1,nnnXBpEXp DpAXq满足莱维中，解：心极限定理 2222231313,nmnmnC PmEXmXmmmEX不不存在,满足莱维中心极发散限定理。2,1nnXnxXEXtBtxdF是柯西分不存在,布，不满足。A选择 1221
8、2122,=113=,xmmnnnnnndtA P Xmppm=B P XxtC PXmm=D XnXXXmXXX2在设随机变量序列相互独立，满足莱维中心极限定理。=,0,1；=；=1,2,；服从参数为，的下列指条件下，数分布。二、棣莫佛拉普拉斯中心极限定理二、棣莫佛拉普拉斯中心极限定理证明证明由于由于,1 nkknXX则则分布律为分布律为分布的随机变量分布的随机变量一一是相互独立的、服从同是相互独立的、服从同其中其中,)10(,21nXXX.1,0,)1(1 ippiXPiik),(pnBXn,)(pXEk),2,1()1()(nkppXDk xpnpnpXPnn)1(lim xpnpnpX
9、Pnkkn)1(lim1,1 nkknXX分布律为分布律为分布的随机变量分布的随机变量一一是相互独立的、服从同是相互独立的、服从同其中其中,)10(,21nXXX.1,0,)1(1 ippiXPiik根据莱维中心极限定理得根据莱维中心极限定理得dtexnnXPtxniin21221lim xtxt).(de2122 xtxt).(de2122 棣莫佛拉普拉斯中心极限定理棣莫佛拉普拉斯中心极限定理表明表明:当当n充分大时充分大时,)1,0()1(NpnpnpXn xpnpnpXPnn)1(lim)1(,(pnpnpNXn 即即),(pnBXn正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分
10、布,当当n充分充分大时大时,可以利用下面公式计算二项分布的概率可以利用下面公式计算二项分布的概率)(21mXmPn )1()1()1(21pnpnpmpnpnpXpnpnpmPn )1()1(2pnpnpmpnpnpm ),(pnBXn例例 某工厂有某工厂有200台同类型的机器台同类型的机器,每台机器工作时需每台机器工作时需要的电功率为要的电功率为Q千瓦千瓦,由于工艺等原因由于工艺等原因,每台机器的实每台机器的实际工作时间只占全部工作的际工作时间只占全部工作的75%,各台机器工作是相互各台机器工作是相互独立的独立的,求求:(1)(1)任一时刻有任一时刻有144至至160台机器正在工作的概率台机
11、器正在工作的概率.(2)(2)需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不少于的概率不少于0.99.解解 (1)设随机变量设随机变量X表示表示200台任一时刻正在工作的机台任一时刻正在工作的机器的台数，器的台数，则则 X B(200,0.75).由由棣莫佛拉普拉斯中心极限定理棣莫佛拉普拉斯中心极限定理,有有n=200,p=0.75,q=0.25,np=150,npq=37.5)5.37,150(NX 5.371501445.37150160160144 Xp(1.63)(0.98)(1.63)(0.98)10.948450.8365 10.784
12、9(1)(1)任一时刻有任一时刻有144至至160台机器正在工作的概率台机器正在工作的概率.)5.37,150(NX)(1)(),1,0(xxNX (2)设任一时刻正在工作的机器的台数不超过设任一时刻正在工作的机器的台数不超过m,则则 99.00 mXP99.05.3715005.37150 m 5.245.37150 99.05.37150 m 9901.0)33.2(33.25.37150 m3.164 m165 m)5.37,150(NX 由由3 原则知原则知，0)(3 aa 时时0 查标准正态函数分布表，得查标准正态函数分布表，得 33.25.37150 m思考题思考题 对于一个学生而
13、言，来参加家长会的家长人对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、名家长、2名家长来参加会议的概率分别为名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15.若若学校共有学校共有400名学生名学生,设各学生参加会议的家长数相互设各学生参加会议的家长数相互独立独立,且服从同一分布且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数求参加会议的家长数X超过超过450的概率的概率.(2)求有求有1名家长来参加会议的学生数不多于名家长来参加会议的学生数不多于340的概率的概率.解解(1)以以Xk(k=1,2,400)记第记第k个学生来
14、参加会议个学生来参加会议的家长数的家长数,其分布律为其分布律为pk0.050120.80.15Xk1.1)(kXE.400,.,2,119.0)(kXDk 4001kkXX令令Xk 相互独立地服从同一分布相互独立地服从同一分布19.04001.14004001 kkX近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布则随机变量则随机变量 450XP1257.0)147.1(1 19.04001.140045019.04001.14001XP 19.04001.140045019.04001.1400XP 147.119.04001.14001XP(2)以以Y表示有一名家长来参加会议的学生表示有一名家长来参加会议的学生数数,则则YB(400,0.8)5.22.08.04008.0400YP)5.2(9938.0 2.08.04008.04003402.08.04008.0400YP 340 YP由由棣莫佛拉普拉斯中心极限定理棣莫佛拉普拉斯中心极限定理,有有
