1、 有两批灯泡，它们的寿命分别为（小时）：有两批灯泡，它们的寿命分别为（小时）：3000、3998、3002、3997、3003 和和 5000、4998、5002、4997、5003请问哪批灯泡的质量好？请问哪批灯泡的质量好？有两批灯泡，它们的寿命分别为（小时）：有两批灯泡，它们的寿命分别为（小时）：5000、4998、5002、4997、5003 和和 5000、4000、6000、3000、7000请问哪批灯泡的质量好？请问哪批灯泡的质量好？平均寿命平均寿命灯泡实际寿命与相对于平均寿命的偏差灯泡实际寿命与相对于平均寿命的偏差.第第4章章 随机变量的随机变量的数字特征数字特征4.1 4.1
2、数学期望数学期望4.3 4.3 协方差与相关系数协方差与相关系数4.2 4.2 方差方差4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望二、二、连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望四、数学期望的性质四、数学期望的性质 引例引例 某企业对自动流水线加工的产品实行质量某企业对自动流水线加工的产品实行质量监测，每天抽检一次，每次抽取监测，每天抽检一次，每次抽取5件，检验产品是件，检验产品是否合格，在抽检的否合格，在抽检的30天记录中，无次品的有天记录中，无次品的有18天，天，一件次品的
3、有一件次品的有9天，两件次品的有天，两件次品的有3天，求日平均次天，求日平均次品数品数次品数次品数 0 1 2 3 4 5 总计总计天数天数频频率率fi 18 9 3 0 0 0 N=30 18/30 9/30 3/30 0 0 0 1日平均次品数日平均次品数300504033291180 x3005300430033032309130180 5.0 次品数次品数 0 1 2 3 4 5 总计总计天数天数频频率率fi 18 9 3 0 0 0 N=30 18/30 9/30 3/30 0 0 0 1 50iiifxx可能出现的次品数与其可能出现的次品数与其相对应频率乘积的和相对应频率乘积的和
4、50iiifx 日平均次品数日平均次品数频率随机波动频率随机波动随机波动随机波动 50iiifx n 50iiipx随机波动随机波动 稳定值稳定值 “日平均次品数日平均次品数”的稳定值的稳定值?“日平均次品数日平均次品数”等于等于次品数的可能值与其概率之积的和次品数的可能值与其概率之积的和由概率的统计定义知：由概率的统计定义知：当试验次数很大时当试验次数很大时,频频率会稳定于概率率会稳定于概率Pi定义定义.)().(,.,2,1,kkkkkkkkkkkpxXEXEXpxpxkpxXPX即即记为记为的数学期望的数学期望为随机变量为随机变量则称级数则称级数绝对收敛绝对收敛若级数若级数的分布律为的分
5、布律为设离散型随机变量设离散型随机变量一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 数学期望的本质数学期望的本质 加权平均加权平均,它是一个数它是一个数,不再是随机变量。不再是随机变量。例例 如何确定投资决策方向如何确定投资决策方向?某人有某人有10万元现金，想投资于某万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为项目，预估成功的机会为 30%，可得，可得利润利润8万元万元，失败的机会为失败的机会为70%，将，将损失损失 2 万元若存入银行，同期间的万元若存入银行，同期间的利率为利率为5%，问是否作此项投资，问是否作此项投资?解解设设 X 为投资利润，则为投资利润，则),(17.023
6、.08)(万元万元 XE存入银行的利息存入银行的利息:),(5.0510万元万元%故应选择投资故应选择投资.Xp82 3.07.0分布分布期望期望概率分布概率分布参数为参数为p 的的 0-1分布分布(1)(0)1P XpP Xp pB(n,p)()(1)0,1,2,kkn knP XkC ppknnpP()()!0,1,2,keP Xkkk 计计算算过过程程见课见课本本几个重要的离散型分布的数学期望几个重要的离散型分布的数学期望G（p）PX=k=pqk-1,k=1,2,几个重要的离散型分布的数学期望几个重要的离散型分布的数学期望1.)(),(XEXpnBX的的数数学学期期望望求求设设的的概概率
7、率函函数数为为XnkqpCpnkbpknkknk2,1,0,),;(nkknkkkkppxXE00)(knknkknqpkC 0knknkqpkknnnk 1!)1()1(!)1()1(kknnnCkn knknkknqpkC 1knknkqpkknnn 1)!1()1()1(knknkqpkknnnkXE 1!)1()1()(ininiqpiinnnp )1(10!)()1(1 ki令令1110!)()1(ininiqpiinnn!)()1(!)11()1(!)1()1(1kknnkknnCkknnnCknkn inC1 ininiinqpCnp )1(1011)(nqpnpnp inini
8、innyxCyx 0)(2.).(),(,PoissonXEPXX求求即即分分布布的的服服从从参参数数为为设设 的的概概率率函函数数为为X,2,1,0,!kekpkk kkpk 0 ekkekkkkkk!10 ekkk!0 因为因为所以所以 EXPoisson分布的参数就是它的数学期望分布的参数就是它的数学期望 1)!1(kkek 0011!)!1(1iiiikkeieiekki 令令 01!kkek 二、二、连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望定义的引出定义的引出 设设X 是连续型随机变量是连续型随机变量,其密度为其密度为 f(x),在数轴上任取在数轴上任取很密的分点很密的分点
9、x1 x2 x3,则则X落在小区间落在小区间 xk,xk+xk)内的概率是内的概率是kxkkxx f(x)xkkxxf)(kkkxxxdxxf)(kkxxf)(因此因此 X 取值取值 xk、概率为概率为 的的离散离散型型随机变量随机变量,kkxxf)(x1 x2 xk X pkf(x1)x1 f(x2)x2 f(xk)xk dxxfxx)(lim0X的数学期望的数学期望是是kkkkxxfx)(这启发我们引出如下连续型随机变量的数这启发我们引出如下连续型随机变量的数学期望定义：学期望定义：.d)()(.)(,d)(,d)(),(xxfxXEXEXxxfxxxfxxfX即即记为记为的数学期望的数学
10、期望变量变量的值为随机的值为随机则称积分则称积分绝对收敛绝对收敛若积分若积分的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量解解 xxfxXEd)()(xxxde5150 ).(5 分钟分钟 因此因此,顾客平均等待顾客平均等待5分钟就可得到服务分钟就可得到服务.练习练习 顾客平均等待多长时间顾客平均等待多长时间?设顾客在某银行的窗口等待服务的时间设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计以分计)服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间试求顾客等待服务的平均时间?.0,0,0,e51)(5xxxfx分布分布期望期望概率密度概率密度区间区间(a,b)
11、上的上的均匀分布均匀分布1,()0,axbf xba其它2abE(),0,()0,xexf x其它1N(,2)22()21()2xf xe几个重要的连续型分布的数学期望几个重要的连续型分布的数学期望例例 11230Xxfx：解其它U-1,2X,EY求：Xfx dxyEYx 001010y xxxx 01Xfx dx 01Xfx dx01311dx20113dx13100010XYXXy按分 段几个重要的连续型分布的数学期望几个重要的连续型分布的数学期望1.).(,XEbaX上上的的均均匀匀分分布布，求求服服从从区区间间设设其其密密度度函函数数为为,baUX badxabxdxxxf)(因为因为
12、baxab212 2)(baXE 所以所以均匀分布的期均匀分布的期望为区间中点望为区间中点 其其它它01)(bxaabxf2ba ).(,XEX求求的的指指数数分分布布服服从从参参数数为为设设 dxxxf)(其其密密度度函函数数为为),(EX 000)(xxexfx dxexx 0 0 xdex|00 dxeexxx 0|)1(00 xe 因为因为 1 1)(XE所以所以2.3.).(,2XEX求求的的正正态态分分布布和和服服从从参参数数为为设设 其其密密度度函函数数为为),(2 NX222)(21)(xexf dxxxf)(dxexx 222)(21 因为因为所以所以 xy令令dyeyy 2
13、221)(yxdyeyy 2221 dyey 2221 0 )(XE望为参数正态分布随机变量的期1)(0其其中中求求的的密密度度函函数数为为设设).(),(XExfX)1(1)(2xxf dxxxf)(因为因为 dxxx)1(2 02)1(dxxx 02)1(dxxx 02)1(dxxx 而而 02|)1ln(21x 发发散散不不存存在在)(XE所以所以Cauchy分布的数学期望不存在分布的数学期望不存在Cauchy分布分布注意：不是所有的随机变量都有数学期望注意：不是所有的随机变量都有数学期望。例例 设设某一机器加工某种产品的次品率为某一机器加工某种产品的次品率为0.1,检验员每天检验员每天
14、检验检验4次次,每次随机地抽取每次随机地抽取5件产品检验件产品检验,如果发现多于一如果发现多于一件次品件次品,就要调整机器就要调整机器,求一天中调整机器的平均次数求一天中调整机器的平均次数.解解:件件产产品品中中的的次次品品数数为为每每次次取取出出的的设设5X)1.0,5(,BX则则某次检验需要调整机器的概率为某次检验需要调整机器的概率为1 XP11 XP101 XPXP411550059.01.09.01.01 CC082.0 整整的的次次数数为为每每一一天天中中机机器器需需要要调调设设Y)082.0,4(,BY则则一天中调整机器的平均次数一天中调整机器的平均次数的的数数学学期期望望为为就就
15、是是Y328.0082.04)(npYEnkqpCkXPPNBXknkkn,2,1,0,),(是否可以不先求是否可以不先求g(X)的分布而只根据的分布而只根据X 的分布求的分布求得得E g(X)呢？呢？设已知随机变量设已知随机变量X 的分布的分布 一种方法是一种方法是:g(X)也是随机变量也是随机变量,它的分布可以由它的分布可以由已知的已知的X 的分布求出来的分布求出来.一旦知道了一旦知道了g(X)的分布的分布,就就可以按照期望定义把可以按照期望定义把 Eg(X)计算出来计算出来.下面的定理指出答案是肯定的下面的定理指出答案是肯定的.如何计算如何计算X 的某个函数的某个函数 g(X)的期望的期
16、望？三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望 定理定理 设设X是一个随机变量是一个随机变量,Y=g(X)（g为连续函数）为连续函数）kkkpxgXgEYE.)()()(.)()()()(dxxfxgXgEYE kkkkkpxgkxXPpX则则绝绝对对收收敛敛若若且且分分布布律律为为为为离离散散型型,)(,.2,1,)1(则则有有绝绝对对收收敛敛若若为为连连续续型型且且概概率率密密度度为为,)()(),()2(dxxfxgxfXXP3201 81).12(),(2 XEXE求求解解:根据定理根据定理例例6 设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为4183418314138324
17、1081)1()(22222 XE474113283122411028111212 ）（）（XE kkkpxgXgEYE.)()()(例例 设随机变量设随机变量XU0,求求(sin)EX解解 由题意得由题意得 210,()0XxXfx其它()sinEX(sin)Xfxxxd01sin xdx0n1si x dx 连续型连续型离散型离散型XdxxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()()(推广推广 连续型连续型离散型离散型),(,),(),(),(,),()(YXdydxyxfyxgYXpyxgZEij ijij设随机变量设随机变量Z 是随机变量是随机变量X,Y 的连续函数的连续函数=
18、g(X,Y)，则，则联合分布律联合分布律 联合密度函数联合密度函数例例 设(X,Y)的的联合分布律联合分布律为XY1231010.20.10.10.100.100.30.1 33111ijijjiXxpYyE110.2 01.11 120.1 02.11 03.11 0.2 2312312ijiijXxEp2.10 22.10 12.20 12.20 12.30 34.8230.12.10 120.20.1 0.11边缘分布22,.,XYZXY设随机变量和相互独立 且都服从例10：标准正态分布 求的数学期望解解(0,1),(0,1),XNNXYXYY相互和和的联合独立密度函数为：22 22 1
19、e21e()2,xXyYxfy22 ()21e,2yx22()XEZEY1d d.2x y c,ossinxyrr令得020d12dEZr r 2 220ed22rrr22 2002deerrrr22023年5月15日22时42分3022 2exy22xy2 2err212rdrdr 例：设随机向量(X,Y)的联合密度函数为：3231 ,12(,)0 XYyx xxx yfx y其它，x=11yxyx(,)XYEdydxYyfx y 解：1dx()1EXY1EYEXY求数学期望和。1xxdy3321xy(1,)XYdydxfxyx y 35341.设设 C 是常数是常数,则有则有.CEC 2.
20、设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则有则有).()(XCECXE 四、数学期望的性质4.设设 X,Y 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量,则有则有).()()(YEXEXYE 3.设设 X,Y 是两个随机变量是两个随机变量,则有则有).()()(YEXEYXE ()CE CC1.设 是常数，则有证明证明：)1=(P XCX CX设只取一个值，且111=iiiEEpCXxCC()XCE CXCEX2.设 是一个随机变量，是常数，则有下面定理仅对连续型随机变量给予证明()CXE证明：()XdxfxCx()XdxfxCxC XE四、数学期望的性质(,()(,),)XYX
21、Yfx yXYx f yX YEdxyyxd：设随机变量的联合概率密度为，则证明()()XYdxxdyfx fyy()()XYdxxyfxfdyyEEXY,X YEXYEXEY设是随机相互独立的4变量，则有.XY与 独立,()X YE XYEXEY设是两个随机变量，则有3.(,)()(,(,()XYXYX YE XYxyfx yfdxdyx y 设 二维随机变量的联合概率，则证密度为明：(,)(,)XYXYdxdydxdfx yfx yyxy EEXY,X Y不要求相互独立 注：注：性质性质4 4的逆命题不成立，即如果随机变量的逆命题不成立，即如果随机变量 X、Y 的的数学期望都存在，则由数学
22、期望都存在，则由 EXY=EX EY，不能推出不能推出随机随机变量变量 X、Y 相互独立。相互独立。EXY=0=EX EY 所以，随机变量所以，随机变量X与与Y 不相互独立不相互独立。例例 设随机变量（设随机变量（X，Y）的联合分布律为的联合分布律为则则 EXY=1(1)0.1+1 1 0.1EX=1 0.4=0.4，EY=(1)0.4+1 0.4=0但但 P(X=0,Y=0)=0=P(X=0)P(Y=0)0.6 0.2=0例例 求二项分布求二项分布 XB(n,p)的数学期望的数学期望则则 X=X1+X2+Xn=np若设若设 ,0,1不发生不发生次试验次试验如第如第发生发生次试验次试验如第如第
23、AiAiXii=1,2，n因为因为 PXi=1=p,PXi=0=1-pniiXE1)(所以所以 E(X)=解解 由于由于X表示表示n重伯努利试验中某事件重伯努利试验中某事件“发生发生”次数次数.E(Xi)=)1(01pp =pi=1,2，n.),()(,.10,20旅客是否下车相互独立旅客是否下车相互独立并设各并设各下车是等可能的下车是等可能的设每位旅客在各个车站设每位旅客在各个车站求求表示停车的次数表示停车的次数以以客下车就不停车客下车就不停车如到达一个车站没有旅如到达一个车站没有旅个车站可以下车个车站可以下车客有客有旅旅位旅客自机场开出位旅客自机场开出一机场班车载有一机场班车载有XEX解解
24、,iX引入随机变量引入随机变量.10,2,1,1,0 iiiXi站有人下车站有人下车在第在第站没有人下车站没有人下车在第在第.1021XXXX 则则例例,109020 iXP则有则有,1091120 iXP.10,2,1 i.,2,1,1091)(20 iXEi由此由此)()(1021XXXEXE 得得)()()(1021XEXEXE 20109110).(784.8次次 例例 将4个不同色的球随机放入4个盒子中,每盒容纳球数无限制,求空盒子数的数学期望。解法一解法一 设X=空盒子数,则 X 的分布律为X P0 1 2 344!423134444C AC4144C41iiipEXx4404!123443414CC A 123143444444444!21C ACC 14443C 8164442344141434444!1C ACC解法二解法二 引入 X i ,i=1,2,3,41,1,2,3,40,iiiXi不第 盒空，其中第 盒空，1234XXXXXXi P 0 144344413444()34iE X4123443814644XXXXEEEEEXX=空盒子个数,注：期望的加法公式不要求随机变量独立。
