1、解含m个参数 的m个方程组,12m，得 nkkXXX,21 mk,21以 作为参数 的估计量.k k 第三步第三步:第四步第四步:,nnkx,x,xX,X,X2121换成换成中的中的将将.x,x,xnkk)(21的的矩矩估估计计值值便便得得到到最大似然估计最大似然估计(MLE)的步骤的步骤:写写出出似似然然函函数数 连连续续离离散散取取对对数数X,;xfX,;xpLn1iin1ii)()()(lnlnln连连续续离离散散X,;xfX,;xp;x,x,xLLniiniin)()()()(1121第一步第一步:第二步第二步:0ln0ln0ln21mLLL .,21为最大似然估计值为最大似然估计值所
2、求得的解所求得的解m ,X,X,Xx,x,xnn2121换成换成中的中的将将k).,(21nkkXXX 的的最最大大似似然然估估计计量量便便得得到到解似然方程(组)解似然方程(组)第三步第三步:第四步第四步:第二节第二节 判别估计量好坏的标准判别估计量好坏的标准基本内容：一、无偏性一、无偏性二、有效性二、有效性三、三、一致性一致性估计量是样本的函数估计量是样本的函数,是随机变量是随机变量.故一个好的估计,应在多次试验中体现出优良性.由不同的样本观测值,就得到不同的参数估计值.所以,估计量的评价准则估计量的评价准则在介绍估计量好坏的准则前,必须强调指出:评价一个估计量的好坏评价一个估计量的好坏,
3、不能仅仅依据一次试不能仅仅依据一次试验的结果验的结果,而必须由多次试验结果来衡量而必须由多次试验结果来衡量.一、无偏性一、无偏性,的的估估计计量量是是未未知知参参数数设设X,Xn)(1;的的为为则则称称无无偏偏估估计计量量XXn),(1.的的为为无无偏偏估估计计值值xxn),(1定义：定义：,E)(若即即的的附附近近摆摆动动，在在参参数数真真值值我我们们希希望望估估计计值值 其对应的估计量其对应的估计量 的期望等于未知参数的期望等于未知参数 的真值的真值.例例1.1.已知正态分布的未知参数 ,2的矩估计量niXXnX1i22)(1;的无偏估计量吗？的无偏估计量吗？分别是分别是试问试问22,，,
4、最大似然估计量相同，即解：解：)(E)(niXXn1i22)(1EEniXXEni1221n)()(nXXni1i221nEE)1()(2222nnnn12)1(nn.X的无偏估计量是故.的无偏估计量不是故22由)(XE由于,2niXXn1i22)(111nnnnniXX1i2)(11n修正的样本方差修正的样本方差2S，22)(SE由于由于.的无偏估计量的无偏估计量是是故故22S(1)样本均值样本均值 X 是是总体均值总体均值E(X)的无偏估计量；的无偏估计量；(3)样本样本 k 阶原点矩阶原点矩一般地，一般地，(例例1 P156)1 P156)11nkkiiVXn 是总体是总体k 阶原点矩阶
5、原点矩E(Xk)的无偏估计量；的无偏估计量；niiXXnS122)(11(2)样本方差样本方差是总体方差是总体方差D(X)的无偏估计量；的无偏估计量；证明证明:(3)11()nkiiEXn 故故11()nkiiE Xn 1()kEnXn 由样本的定义知，Xi与X有相同分布()kE X 集中集中 设 1 和 2 都是参数 的无偏估计量,二、有效性二、有效性1 即即 D(1)D(2).未知参数未知参数 的无偏估计量不是唯一的的无偏估计量不是唯一的.蓝色是采用估计量蓝色是采用估计量 1,用用 14 个样本值得到的个样本值得到的 14 个估计值个估计值.紫色是采用估计量紫色是采用估计量 2,用用 14
6、 个样本值得到的个样本值得到的 14 个估计值个估计值.分散分散2 D(1)D(2)则称则称 1 较较 2 有效有效.都是未知参数都是未知参数 的的无偏估计量无偏估计量.）（nnXXXXXX,),21222111与与设设：定定义义当样本容量n一定时,若在 的所有无偏估计量中,.)(有有效效估估计计量量的是参数则称最小的方差，D若若解：解：)(iXD 故 X 比 X i(i=1,2,n)有效.,2n)()(iXDXD 当n2时，无偏估计量，问哪一个更有效？例例2.2.的都是总体均值与验证),2,1(niXXi)(XD,2)(XD)(1XDn,)(XE易知,)()(XEXEi的无偏估计量.都是总体
7、均值与故),2,1(niXXi例例3.3.设X1，X2，X3是来自总体X的样本,且 统计量中哪个更有效？()总体均值E(X)=未知,则下列4个关于 的.263.;333.;424.;5355.321321321321XXXDXXXCXXXBXXXAC分析：利用分析：利用P181的的7题结论，可选题结论，可选C.三、一致性三、一致性有若对于任意的,0 .的一致估计量是参数则称 nlim()1,nnP定义：定义：证明一致估计的方法：证明一致估计的方法：.0)(lim的一致估计量是则若，Dn回顾例子回顾例子.设总体X的概率密度为其他,0;0),(6)(3xxxxf).()2()1(D的方差求的矩估计
8、量求；X1,X2,Xn 是取自总体X 的简单随机样本,解：解：.2X矩估计量nXDnXDD5)(4)(4)(20,5)(2nlimDlimnn.的一致估计量的一致估计量是是故故内容小结内容小结1.1.无偏性无偏性 样本样本 k 阶原点矩是阶原点矩是总体总体 k 阶原点矩阶原点矩 的无偏估计量的无偏估计量;样本方差样本方差 S 2 是总体方差是总体方差 2 的无偏估计量的无偏估计量;2.2.有效性有效性 方差更小的无偏估计量方差更小的无偏估计量.在在 的所有线性无偏估计量中的所有线性无偏估计量中,样本均值样本均值 X 是最有效的是最有效的.3.3.一致性一致性 而区间估计正好弥补了点估而区间估计
9、正好弥补了点估计的这个缺陷计的这个缺陷.为了使估计的结论更可信为了使估计的结论更可信,需要引入区间估计需要引入区间估计.参数的点估计是用样本算得的一个值去估计未知参数参数的点估计是用样本算得的一个值去估计未知参数.使用起来把握不大使用起来把握不大.点估计值仅仅是未知参数的一个近似值点估计值仅仅是未知参数的一个近似值,它它没有反映出这个近似值的误差范围没有反映出这个近似值的误差范围.估计量的期望等于未知参数的真值估计量的期望等于未知参数的真值.第三节 正态总体参数的区间估计基本内容：一、区间估计的概念二、正态总体均值的区间估计三、正态总体方差的区间估计，P1)(21给定的概率 1-(0 1),定
10、义定义 设总体 X 的分布中含有未知参数，若存在两个统计量 一、区间估计的概念一、区间估计的概念),(),(212211nnXXXXXX与1)(21为的为参数则称随机区间置信水平置信水平，对于使得.21置信上限置信上限置信下限置信下限称为称为，的置信区间置信区间,注：注：.),(,21是随机的而区间没有随机性但它是一个常数虽然未知被估计的参数 1),(),(212211:的本质是因此定义中表达式nnXXXXXXP 的的真真值值,的的概概率率包包含含着着参参数数以以随随机机区区间间 ,1)(21).,(1 21的概率落入随机区间以而不能说参数 若进行n次独立重复抽样，得到n个样本观测值,那么个随
11、机区间每个样本观测值确定一).,(21根据伯努利大数定理伯努利大数定理,在这n个随机区间中,.%100,)%1(100不包含的约占真值的约占包含,的真值 或不包含的真值每个区间可能包含，X,X,XX,X,XPnn1)()(212211由由伯努利大数定理伯努利大数定理的解释：的解释：例如例如 ,1000 0.01,次重复抽样若.990 1000 个真值的约为个区间中包含则得到的？二、正态总体均值二、正态总体均值 的区间估计的区间估计1)(00,NnXU1.1.已知方差已知方差 2=02的的正态总体正态总体 X,求未知参数求未知参数 1-的的置信区间置信区间解解：设总体设总体 X N(,2),有有
12、 12,uUP/10,un/XP/2,unXunXP/12020 即即 1 的置信区间的置信区间的置信水平为的置信水平为于是得到于是得到.2/znX其置信区间的长度为其置信区间的长度为.unL/202标准正态分布中对称于原点的置信区间是最短的标准正态分布中对称于原点的置信区间是最短的,故/2/2unX,unX00若滚珠直径服从正态分布X N(,2),并且已知并且已知例例1.1./2/2unX,unX00,05.0,16.0,100n已知滚珠的直径（单位：mm）如下:14.6,15.0,14.7,15.1,14.9,14.8,15.0,15.1,15.2,14.8=0.16(mm),求滚珠直径均
13、值求滚珠直径均值 的置信水平为的置信水平为95%的置信区间的置信区间.解：解：由上面求解 的置信水平为1-的置信区间,92.14101101iixx从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得0.099).14.92 0.099,-(14.92 95%的置信区间为的 (14.821,15.019),96.1025.0u得025.0)(025.0uuP由分位点的定义)(025.0uuP)(1025.0uuP025.01975.0经查表)(025.0u,975.0)(025.0 u2020/unx,unx由此得20/un,099.096.116.010代入公式025.0u)(025.0t96.12.2.
14、未知方差未知方差 2 的的正态总体正态总体 X,求未知参数求未知参数 的的1-的的置信区间置信区间解解：设总体设总体 X N(,2),有有nSXt/1)(nt由t分布的概率密度曲线关于y轴对称，对称于原点的置信区间是最短的.11)(2,nttP/11)(2,ntnS/XP/,ntnSXntnSXP/11)(1)(22 即即 1 的置信区间的置信区间的置信水平为的置信水平为得到得到.2/znX其置信区间的长度为其置信区间的长度为.ntnSL/1)-(22故1)(1)-(22ntnSX,ntnSX/并且方差并且方差 2未知未知,求滚珠直径均值求滚珠直径均值 的置信水平为的置信水平为例例2.2.从某
15、厂生产的滚珠直径X N(,2),1)(1)(22ntnSX,-ntnSX/0.193,)(1101101i22xxssi滚珠的直径（单位：mm）如下:14.6,15.0,14.7,15.1,14.9,14.8,15.0,15.1,15.2,14.895%的置信区间的置信区间.抽取10个,05.0,10n已知解：解：由 的置信水平为1-的置信区间,92.14101101iixx)1(025.0nt)9(025.0t26.2由此得1)(2-ntns/138.026.210193.0得到 的95%的置信区间为代入公式1)(1)(22ntnsx,-ntnsx/(14.92-0.138,14.92+0.
16、138)即(14.782,15.058)(mm)由 2分布的概率密度曲线是不对称的，三、正态总体方差三、正态总体方差 2 的区间估计的区间估计niiX12022)(1)(2/21n1-的的置信区间置信区间解解：设总体设总体 X N(,2),有有)(2n仿照前述的置信区间取法：)(2/2n/2/2 1)()(2/222/21,nnP1.已知均值已知均值=0的的正态总体正态总体 X,求未知参数求未知参数 2 1 的置信区间的置信区间的置信水平为的置信水平为得到得到2.2/znX故 1)(11202,XPnii)()(22/22/1nn 1)()(1202120,XXPniinii)()(22/12
17、2/nn即即 )()(120120)(,)(22/122/nnniiniiXX并且并且=14.9(mm),求滚珠直径求滚珠直径方差方差 2的置信水平为的置信水平为例例3.3.从某厂生产的滚珠直径X N(,2),滚珠的直径（单位：mm）如下:14.6,15.0,14.7,15.1,14.9,14.8,15.0,15.1,15.2,14.895%的置信区间的置信区间.抽取10个,9.14,05.0,10n已知解：解：由2的置信水平为1-的置信区间,34.0)9.14(1012iix )()(120120)(,)(22/122/nnniiniiXX查表得 2分布的分位点20.5,(10)20.025
18、得到 2的95%的置信区间为代入公式即(0.0166,0.1046)(mm2)()(/21120/2120)(,)(22nnniiniixx25,3(10)20.975.)3.250.34,20.50.34(2.2.未知均值未知均值 的的正态总体正态总体 X,求未知参数求未知参数 2 的的2221)(Sn 1)(2/21-n1-的的置信区间置信区间解解：设总体设总体 X N(,2),有有1)-(2n仿照前面的置信区间取法：1)(2/2-n/2/2 11)(1)(2/222/21,-n-nP 1 的置信区间的置信区间的置信水平为的置信水平为得到得到2.2/znX故 11)(1)-(1)(2/22
19、22/21,nSnnP 11)-(1)(1)-(1)(2/21222/22,nSnnSnP即即 1)-(1)(,1)-(1)(2/2122/22nSnnSn并且并且 未知，求滚珠直径未知，求滚珠直径方差方差 2的置信水平为的置信水平为例例4.4.从某厂生产的滚珠直径X N(,2),滚珠的直径（单位：mm）如下:14.6,15.0,14.7,15.1,14.9,14.8,15.0,15.1,15.2,14.895%的置信区间的置信区间.抽取10个,05.0,10n已知解：解：由2的置信水平为1-的置信区间,0373.0)92.14(110110122iixs 1)-(1)(,1)-(1)(2/2122/22nSnnSn查表得 2分布的分位点)2.700.03739,19.00.03739(,1(9)20.0250.9得到 2的95%的置信区间为代入公式即(0.0177,0.1243)(mm2),72(9)20.9750.1)-(1)(,1)-(1)(2/2122/22nsnnsn内容小结内容小结1.了解估计量的无偏性、有效性、一致性，2.了解正态总体下参数的区间估计。并会验证估计量的无偏性和有效性；作业作业习题六（P180）:4、6、9、12
