1、2.1 条件概率与统计独立性Ch2：条件概率与统计独立性1 条件概率一、条件概率一、条件概率三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式二、乘法公式二、乘法公式考虑有两个孩子的家庭：考虑有两个孩子的家庭：(,),(,),(,),(,)b bbggbgg 一、条件概率A“A“家中至少有一个男孩家中至少有一个男孩”：1.1.引例引例:()3 4PAB“B“家中至少有一个女孩家中至少有一个女孩”：()3 4PB()2 4P AB事件事件B B 已经发生的条件下事件已经发生的条件下事件 A A发生的概率发生的概率,记为记为(),P AB2()3P A B 则().PA2 43 4()()P A
2、BP B BA针对几何概型：针对几何概型：(|)P A BABBABBP ABP B()(|)()P ABP BAP A同理可得同理可得为事件为事件A 发生的条件下事件发生的条件下事件B 发生的条件概率发生的条件概率.,()0,()()().A BP BP ABP A BP BAB设是两个事件 且称为“在事件发生的条件下，事件发生的条”件件概概率率2.2.定义定义1)缩减样本空间缩减样本空间：将：将 缩减为缩减为 I IB=B.2)用定义用定义：P(A|B)=P(AB)/P(B).条件概率 P(A|B)的计算注意：总假定条件事件的概率大于注意：总假定条件事件的概率大于0.条件概率也是概率条件概
3、率也是概率,故具有概率的性质：故具有概率的性质：0)(ABP1)(AP11iiiiPBAPBAq 非负性q 规范性 q 可列可加性)()()()(212121ABBPABPABPABBPq)(1)(ABPABPq)()()(21121ABBPABPABBPq 3.3.性质性质P(|B)=1;P(B|)=P(B);P(A|)=P(A);P(A|A)=1.注 意 点例例1 某种动物由出生算起活某种动物由出生算起活20岁以上的概率为岁以上的概率为0.8,活到活到25岁以上的概率为岁以上的概率为0.4,如果现在有一个如果现在有一个20岁的这种动物岁的这种动物,问它能活到问它能活到25岁以上的概率是岁以
4、上的概率是多少多少?设设 A 表示表示“能活能活 20 岁以上岁以上”的事件，的事件，B 表示表示“能活能活 25 岁以上岁以上”的事件的事件,则有则有,8.0)(AP因为因为.)()()(APABPABP,4.0)(BP),()(BPABP.218.04.0 )()()(APABPABP 所以所以解解例例2 在某地区中任抽一人，若患有原发性肝癌则在某地区中任抽一人，若患有原发性肝癌则记为记为A，若甲胎球蛋白高含量记为，若甲胎球蛋白高含量记为B，已知：，已知：()0.00040,P A()()()P ABP B AP A()0.00034,P B()0.00032,P AB 则有则有0.8()
5、()()P ABP A BP B0.9412(1)设P(B)0，且AB，则下列必然成立的是()P(A)P(A|B)P(A)P(A|B)(2)P(A)=0.6,P(AB)=0.84,P(B|A)=0.4,则 P(B)=().0.6(2)课堂练习课堂练习分析：P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(A)/P(B)分析:P(AB)=P(A)+P(B)-P(B|A)P(A)乘法公式乘法公式;全概率公式；全概率公式；贝叶斯公式贝叶斯公式.条件概率的三大公式).()()()()(112221112121APAAPAAAAPAAAAPAAAPnnnnn 则有则有且且,0)(121 nAAAP,2,21 nn
6、AAAn个事件个事件为为设设推广推广则有则有且且为事件为事件设设,0)(,ABPCBA).()()()(APABPABCPABCP).()()(,0)(APABPABPAP 则有则有设设二、乘法公式例例3 设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时第一次落下时打破的概率为打破的概率为1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破,第二次落第二次落下打破的概率为下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破若前两次落下未打破,第三第三次落下打破的概率为次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未试求透镜落下三次而未打破的概率打破的概率.解解以以B 表示事件表示事件“透镜落下三次
7、而未打破透镜落下三次而未打破”.,321AAAB 因为因为)()(321AAAPBP 所以所以)()()(112213APAAPAAAP)211)(1071)(1091(.2003,)3,2,1(次次落落下下打打破破透透镜镜第第表表示示事事件件以以iiAi 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率比较复杂事件的概率,它们实质上是加它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用法公式和乘法公式的综合运用.综合运用综合运用加法公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0三、全概率公式与贝
8、叶斯公式例例4 4 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,31,2,3，1 1号箱装有号箱装有1 1个红球个红球4 4个白球，个白球，2 2号箱装有号箱装有2 2红红3 3白球，白球，3 3号箱装有号箱装有3 3红球红球.某人从三箱中任取一箱，某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出从中任意摸出一球，求取得红球的概率一球，求取得红球的概率.解：记解：记 A Ai i=球取自球取自i i号箱号箱,i=1,2,3;B=i=1,2,3;B=取得红球取得红球 即即 B=AB=A1 1B+AB+A2 2B+AB+A3 3B B，且且 A A1 1B B、A A2 2B B、A A3 3B B两两
9、互斥两两互斥B B发生总是伴随着发生总是伴随着A A1 1，A A2 2，A A3 3 之一同时发生，之一同时发生，P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式得123将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)31iiiABPAPBP)()()(代入数据计算得：代入数据计算得：P(B)=8/151.全概率公式全概率公式全概率公式12,()0(1,2,),niES BEA AASP Ai定理设试验的样
10、本空间为为的事件,为的一个划分 且则1122()()()()()()()nnP BP B A P AP B A P AP B A P A在较复杂情况下直接计算在较复杂情况下直接计算P P(B B)不易不易,但但B B总是伴随着某总是伴随着某个个A Ai i出现，适当地去构造这一组出现，适当地去构造这一组A Ai i往往可以简化计算往往可以简化计算.niiiABPAPBP1)()()(由公式不难看出由公式不难看出:“全全”概率概率P P(B B)被分解成了许多部分之和被分解成了许多部分之和.理论、实用意义理论、实用意义:某一事件某一事件B B的发生有各种可能的原因的发生有各种可能的原因(i=1,
11、2,n)(i=1,2,n)，如果如果B B是由原因是由原因A Ai i所引起，则所引起，则B B发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致B B发生，故发生，故B B发生的发生的概率是各原因引起概率是各原因引起B B发生概率的总和，即发生概率的总和，即全概率公式全概率公式.P P(BABAi i)=)=P P(A Ai i)P P(B B|A Ai i)全概率公式全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解我们还可以从另一个角度去理解 例例 5 5 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击三人击中的概率分别为中的概率分别为0.40.4、0.50.
12、5、0.7.0.7.飞飞 机被一人击中而击落机被一人击中而击落的概率为的概率为0.2,0.2,被两人击中而击落的概率为被两人击中而击落的概率为0.6,0.6,若三人都若三人都击中击中,飞机必定被击落飞机必定被击落,求飞机被击落的概率求飞机被击落的概率.解解:设设B=B=飞机被击落飞机被击落 A Ai i=飞机被飞机被i i人击中人击中,i=1,2,3,i=1,2,3由全概率公式由全概率公式 P P(B B)=)=P P(A A1 1)P P(B B|A A1 1)+)+P P(A A2 2)P P(B B|A A2 2)+P P(A A3 3)P P(B B|A A3 3)则则 B=AB=A1
13、 1B+AB+A2 2B+AB+A3 3B B依题意，依题意，P P(B B|A A1 1)=0.2,)=0.2,P P(B B|A A2 2)=0.6,)=0.6,P P(B|AB|A3 3)=1)=1可求得可求得:为求为求P P(A Ai i),),设设 H Hi i=飞机被第飞机被第i i人击中人击中,i i=1,2,3 =1,2,3 )()(3213213211HHHHHHHHHPAP)()(3213213212HHHHHHHHHPAP)()(3213HHHPAP将数据代入计算得将数据代入计算得:P P(A A1 1)=0.36;)=0.36;P P(A A2 2)=0.41;)=0.
14、41;P P(A A3 3)=0.14.)=0.14.P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.458=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为0.458.0.458.例例6称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式.121.,()0,()0,(1,2,),()()(),1,2,.()()niiiinjjjES BEAAASP BP AinP B A P AP A BinP B A P A定理设试验的样本空间为为的事件为的一个划分 且则2.贝叶斯公式1 1、该公式于、该公式于17631763年由贝叶斯年由贝叶
15、斯(Bayes)(Bayes)给出给出.它是在观它是在观察到事件察到事件B B已经发生的条件下，寻找导致已经发生的条件下，寻找导致B B发生的每发生的每个原因的概率个原因的概率.“已知结果求原因已知结果求原因”1()()()()()iiinjjjP B AP AP A BP B AP A 2、原因事件原因事件A Ai i的概率的概率P P(A Ai i)称为称为先验概率先验概率，它反映了，它反映了各种原因发生的可能性大小，是以往经验的总结。各种原因发生的可能性大小，是以往经验的总结。3 3、条件概率、条件概率P P(A Ai i|B B)称为称为后验概率后验概率，它反映了实验之，它反映了实验之
16、后对各种原因发生的可能性大小的修正。后对各种原因发生的可能性大小的修正。;,)1(.,05.080.015.003.001.002.0321:.概率概率求它是次品的求它是次品的元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只无区别的标志无区别的标志且且仓库中是均匀混合的仓库中是均匀混合的设这三家工厂的产品在设这三家工厂的产品在提供元件的份额提供元件的份额次品率次品率元件制造厂元件制造厂的数据的数据根据以往的记录有以下根据以往的记录有以下件制造厂提供的件制造厂提供的的元件是由三家元的元件是由三家元某电子设备制造厂所用某电子设备制造厂所用例 7.,)2(试求这些概率试求这些概率是多少是多少家工厂生
17、产的概率分别家工厂生产的概率分别需求出此次品由三需求出此次品由三为分析此次品出自何厂为分析此次品出自何厂次品次品若已知取到的是若已知取到的是元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只解解,“取到的是一只次品”“取到的是一只次品”表示表示设设 A.家工厂提供的”家工厂提供的”“所取到的产品是由第“所取到的产品是由第表示表示i)3,2,1(iBi,321的一个划分的一个划分是样本空间是样本空间则则SBBB,05.0)(,80.0)(,15.0)(321 BPBPBP且且.03.0)(,01.0)(,02.0)(321 BAPBAPBAP(1)由由全概率公式得全概率公式得)()()()()()
18、()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP .0125.0(2)由由贝叶斯公式得贝叶斯公式得)()()()(111APBPBAPABP 0125.015.002.0 .24.0,64.0)()()()(222 APBPBAPABP.12.0)()()()(333 APBPBAPABP.2 家家工工厂厂的的可可能能性性最最大大故故这这只只次次品品来来自自第第?,.%95,.%55,%98,概概率率是是多多少少机机器器调调整整得得良良好好的的品品时时早早上上第第一一件件产产品品是是合合格格试试求求已已知知某某日日机机器器调调整整良良好好的的概概率率为为时时每每天天早早上上机机器器开开动动
19、其其合合格格率率为为种种故故障障时时而而当当机机器器发发生生某某产产品品的的合合格格率率为为良良好好时时当当机机器器调调整整得得明明对对以以往往数数据据分分析析结结果果表表解解,“产品合格”“产品合格”为事件为事件设设 A.“机器调整良好”“机器调整良好”为事件为事件B则有则有,55.0)(,98.0)(BAPBAP例例8,05.0)(,95.0)(BPBP 由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为)()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP 05.055.095.098.095.098.0 .97.0.97.0,整良好的概率为整良好的概率为此时机器调此时机器调是合
20、格品时是合格品时即当生产出第一件产品即当生产出第一件产品应用举例 肠癌普查设事件 表示第 i 次检查为阳性,事件B 表示被查者患肠癌,已知肠镜检查效果如下：005.0)(,95.0)()(BPBAPBAPii且某患者首次检查反应为阳性,试判断该患者是否已患肠癌？若三次检查反应均为阳性呢？iA05.0995.095.0005.095.0005.0)()()()()()()(1111BAPBPBAPBPBAPBPABP由Bayes 公式得.087.02.2.检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?1.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意
21、义？1.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？2.2.检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?1.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？如果不做试验如果不做试验,抽查一人抽查一人,他是患者的概率他是患者的概率P(B)=0.005P(B)=0.005 患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.950.95，若试验后得阳性反应，则，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P P(B BA A1 1)=)=0.087 0.
22、087 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.从从0.0050.005增加到增加到0.087,0.087,将近增加约将近增加约1717倍倍.1.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 无意义？无意义？2.2.检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?试验结果为阳性试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为P P(B B|A A1 1)=0.087)=0.087即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有种可能性只有8.7%(8.
23、7%(平均来说，平均来说，10001000个人中大约只有个人中大约只有8787人确患癌症人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认，此时医生常要通过再试验来确认.)()()()()()()()()(212121BAPBAPBPBAPBAPBPBAPBAPBP接连两次检查为阳性接连两次检查为阳性,患肠癌的可患肠癌的可能性过半能性过半)()()()()()(212121BAAPBPBAAPBPBAAPBP6446.005.0995.095.0005.095.0005.0222)(21AABP两次检查反应均为阳性两次检查反应均为阳性,还不能还不能断定患者已患肠癌断定患者已患肠癌.33332105.0995.095.0005.095.0005.0)(AAABP9718.0连续三次检查为阳性连续三次检查为阳性,几乎可断定已患肠癌几乎可断定已患肠癌口袋中有一只球，不知它是黑的还是白的。现往口袋中放入一只白球，然后从口袋中任意取出一只，发现是白球。试问口袋中原来的那只球是白球的可能性多大？课堂练习2/3
