1、 1 掌握函数的概念及表示方法；掌握函数的概念及表示方法；2 理解函数的单调性、有界性、奇理解函数的单调性、有界性、奇 偶性、周期性等基本性质；偶性、周期性等基本性质；3 理解复合函数、反函数、基本初理解复合函数、反函数、基本初 等函数、初等函数等概念。等函数、初等函数等概念。第一章第一章 实数集与函数实数集与函数教学目标教学目标：下页下页第一章第一章 实实数集与函数数集与函数 1 实实 数数 数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概念 一一 实实数及其性数及其性质质：回顾中学中关于有理数和无理数的定义.有理数有理数：(,0)p qqp能用互质分数 为整数，表示的数
2、；q有限十进小数或无限十进循环小数表示的数 若规定：012012.(1)999nna a aaa a aa 则有限十进小数都能表示成无限循环小数。例如：001.2 记为 999000.2；0 记为 000.0；8 记为 999.7 下页下页实实数数大大小小的的比比较较 定定义义 1 给定两个非负实数 nnbbbbyaaaax210210.,.其中 kkba,为非负整数，9,0kkba。若由 1）,2,1,0,kbakk 则称 x 与 y 相等，记为 yx 2）若存在非负整数 l，使得),2,1,0(,lkbakk，而11llba，则称 x 大于 y（或 y 小于 x），分别记为 yx（或xy）
3、。规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数yx,，若按定义1 有 yx，则称 xy 实实数数的的有有理理数数近近似似表表示示 定定义义2 2 设设 naaaax210.为非负实数，称有理数 nnaaaax210.下页下页为实数 x的n 位不足近似值，而有理数 nnnxx101 称为 x的n 位过剩近似值。对于负实数 naaaax210.x的n 位不足近似值规定为：nnnaaaax101.210；x的n 位过剩近似值规定为：nnaaaax210.比如 21.4142 ，则 1.4,1.41,1.414,1.4142,称为 2 的不不足足近近似似值值；1.5,1.42,1.415,1.4143,
4、称为 2 的过过剩剩近近似似值值。命命题题 设 01201 2.,.xa a ayb b b 为?个实数，则 ,nnxynxy存在非负整数使得 下页下页例 1 设yx,为实数，yx，证明：存在有理数 r 满足 yrx 证明 由 yx 存在非负整数 n，使得 nnyx，取 2nnyxr 则 r 显然为有理数，且 yyrxxnn 实实数数的的一一些些主主要要性性质质 1 四则?算封闭性:2 三?性(即有序性):任何两个实数 ba,，必满足下述三个关系之一：bababa,3 实数大小由传递性，即,abbc则有 ac.4 Achimedes 性:.,0 ,bnanabbaNR 5 稠密性:有理数和无理
5、数的稠密性,给出稠密性的定义.6 实数集的几何表示：数轴:例 ,0,.0,a b+ababab 下页下页二二.绝绝对对值值与与不不等等式式 绝对值定定义义：,0|,0aaaa a 从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：a 0-a 绝绝对对值值的的一一些些主主要要性性质质|00|0-;|,04.5.|6.,0|aaaaaaaahh a hahh a h haba bababa baabbb 1.当且仅当时2.-|3.|下页下页性质4（三角不等式）的证明：性质4（三角不等式）的证明：由性质2 -|a|a|a|,-|b|b|b|两式相加 -(|a|+|b|)a+b|a|+|b|由性质 3 上式等价于|
6、a+b|a|+|b|把上式的 b 换成-b 得|a-b|a|+|b|由此可推出|)(|)(|)(|AxfAAxfAAxf 下页下页 三三.几几个个重重要要不不等等式式:（1）,222abba .1 sin x .sin xx （2）对,21Rnaaa 记 ,1 )(121niiniannaaaaM (算术平均值),)(1121nniinniaaaaaG (几何平均值).1111111)(1121niiniiniananaaanaH(调和平均值)有有均均值值不不等等式式:),()()(iiiaMaGaH等号当且仅当naaa21时成立.（3）Bernoulli 不不等等式式:(在中学已用数学归纳法
7、证明过)对,0 x 由二项展开式 23(1)(1)(2)(1)1,2!3!nnn nn nnxnxxxx 有:(1)nh 上式右端任何一项.下页下页abab 2 2 数数集集.确确界界原原理理 一一 区区间间与与邻邻域域:区区间间 ：),(ba记作bxax,ba记作称称为为开开区区间间,称称为为闭闭区区间间,bxax下页下页abab ao bxax,(ba记作称称为为半半开开区区间间,),xaxa 无限区无限区间间下页下页xaooxb),xaxa),(bxxb),(下页下页xaaaxaaa下页下页二二 有有界界数数集集.确确界界原原理理:1.有有界界数数集集:定义(上、下有界,有界)设 S为实
8、数R上的一个数集，若存在一个数M（L）,使得对一切 Sx 都有)(LxMx，则称S为有上界(下界)的数集。若集合S既有上界又有下界，则称S为有界集。例如，闭区间、(,)(,a ba b为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 ),(,sin xxyyE 也是有界数集.无无界界数数集集:若对任意0M ，存在,|xSxM，则称S为无界集。例如，),0 (,)0 ,(,),(，有理数集等都是无界数集,例1 证明集合)1 ,0 (,1 xxyyE是无界数集.下页下页证明：对任意0M,存在 11(0,1),11xyEyMMMx 由无界集定义，E为无界集。确确界界，先给出确界的直观定义：若数集 S 有上界，则
9、显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集 S 的上确界，记作 Ssup；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界，记作 Sinf。MM2M1上确界上界 m2mm1下确界下界下页下页确界的精确定义确界的精确定义定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足一下两条：（1）对一切 Sx 有 x，即 是数集 S 的上界；（2）对任意0，存在 Sx 0 使得0 x（即是 S 的最小上界），则称数为数集 S 的上确界。记作 Ssup 定义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足一下两条：1）对一切 Sx 有 x，即 是数集 S 的下界；2）对任意0，存在 Sx 0使得0 x
10、（即是 S 的最大下界），则称数为数集 S 的下确界。记作 Sinf 0 x 0 x S 下页下页 例 1 （1）,)1(1nSn 则._inf _,supSS （2）.),0(,sin xxyyE 则._inf _,supEE 定定理理 1.1 (确界原理).设 S 为非空数集，若 S 有上界，则 S 必有上确界；若 S 有下界，则 S 必有下确界。证明(建教材 p7)例2 非空有界数集的上（或下）?界是唯一的.例3 设S 和 A是非空数集，且有.AS 则有 .infinf ,supsupASAS.例 4 设A和 B 是非空数集.若对Ax和,By都有,yx 则有.infsupBA 证 Ax和
11、,By都有,yx y是 A的上界,而Asup 是 A的最小上界.sup yA 此式又Asup 是B 的下界,Asup Binf（B 的最大下界）下页下页例 5 A和 B 为非空数集,.BAS 试证明:.inf,inf mininfBAS 证 ,Sx 有Ax 或,Bx 由Ainf和Binf分别是 A和 B 的下界,有 Axinf或.inf,inf min .infBAxBx 即 inf,inf minBA是数集 S 的下界,.inf,inf mininf BAS 又SAS ,的下界就是 A的下界,Sinf是 S 的下界,Sinf 是 A的下界,;infinf AS 同理有.infinfBS 于是
12、有 inf,inf mininfBAS.综上,有 inf,inf mininfBAS.1.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.2.确界与最值的关系:设 E 为数集.E 的最值必属于 E,但确界未必,确界是一种临界点.非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.若Emax存在,必有.supmaxEE ，对下确界有类似的结论.下页下页下页下页 3 3 函函数数概概念念 函数是整个高等数学中最基本的研究对象,可以说数学分析就是研究函数的.因此我们对函数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚的认识.一一 函函数数的的定定义义 1.函数的几点说明.函函数数的的两两要要素素:定义域和对应法则
13、 约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.21,:1,1yxD，例例如如21,:(1,1)1yDx例例如如，()0 x0()fx对对应应法法则则 f xyDW下页下页函函数数的的表表示示法法:解析法,列表法,图像法.分段函数 1,0sgn0,01,0 xxxx 狄里克雷函数 1,()0 xD xx为有理数，为无理数 黎曼函数 1,()00 10 1pxqqR x既约真分数，下，和（，）内的无理数 三三 函数的四则运算函数的四则运算y1-1xo下页下页 四四 复复合合函函数数:设有两个函数 ExxguDuufy,)(,)(，若)(|*EDxgxE，则*Ex，通过函数 g 对应 D
14、内唯一u，而 u通过函数 f 对应唯一 y 这样，*Ex都有唯一 y 和它对应，因此确定了一个以 x为自变量，y 为因变量的函数，记作)(xgfy，称为函数gf 和的复合函数，并称 f 为外函数，g为内函数，u 为中间变量。E D E*g)(ufy )(|Dxgx f x)(xgu 下页下页五五 反反函函数数 0 x0y0 x0yxy)(xfy 函数ox)(yx反函数o)(xfy 直接函数xyo),(abQ),(baP)(xy反函数下页下页1 1 常常函函数数 2 幂幂函函数数 xy 幂函数 35,xx clf,x=-1:0.02:1;y1=x.(-3);y2=x.(-5);plot(x,y1
15、,x,y2),hold on axis(-1,1,-500,500);legend(x-3,x-5);plot(-2,2,0,0,r,0,0,-500,500,r)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-500-400-300-200-1000100200300400500 x-3x-5下页下页幂函数 21/2,xx 图象 clf,x=0:0.02:1.6;y1=x.2;y2=x.(1/2);axis(-0.1,1.4,-0.1,1.2)legend(x,x1/2)plot(x,y1,x,y2,linewidth,2),hold on plot(-0.1,2,0,0,
16、r,0,0,-0.1,1.5,r)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81050100150200250300350400450500 x-2x-4下页下页幂函数 21/2,xx 图象 00.20.40.60.811.21.400.20.40.60.811.2x x1/2下页下页 31/3,xx 00.20.40.60.811.21.400.20.40.60.811.2x3 x1/3下页下页 xx2log,2图像00.511.522.53-4-202468log2x2x 下页下页5 三角函数6 反三角函数 arcsinx,arccosx 图像-1-0.500.51-1.
17、5-1-0.500.511.5xasin(x)-1-0.500.5100.511.522.53xacos(x)下页下页-6-4-20246-1.5-1-0.500.511.5xatan(x)arctgx 图图 像像下页下页下页下页-MyMxoy=f(x)X有界函数有界函数4 具具有有某某些些特特性性的的函函数数 1.有有界界函函数数 若函数)(xf在定义域D上既有上界又有下界，则称 f 为D上的有界函数。这个定义显然等价于，对一切Dx，恒有 Kxf|)(|有界函数的几何意义 下页下页M-MxoX0 xy无界函数无界函数请同学们利用有界函数的定义给出无界函数的定义。例 ),0(,sin)(xxx
18、xf 是无界函数。证明 对任意的 0M，存在 Mnn22:，取22 nxm，则 下页下页)(xfy)(1xf)(2xfxyoIMnxfm22)(2 2.单单调调函函数数 看下面函数的图像，给出单调函数的定义)(xfy)(1xf)(2xfxyoI下页下页o-2-424-224-4奇函数与偶函数奇函数与偶函数 （1）定义域关于原点对称（2）奇函数（偶函数）对任何Dx 有)()(xfxf，（)()(xfxf）下页下页奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy 两条缺一不可。clf,x=-2:1/20:2;y1=x.3;y2=x.2-1;subplot(1,2,1)plot(x,y1,r,linew
19、idth,2),hold on 下页下页plot(-1.8,1.8,0,0)plot(0,0,-6,6)legend(x3)subplot(1,2,2)plot(x,y2,r,linewidth,2),hold on plot(-1.8,1.8,0,0)plot(0,0,-2,4)axis(-2,2,-2,4),legend(x2);下页下页 奇、偶函数的运算性质 请看下面几个图象，回答奇偶函数的运算性质 clf,x=-1.2*pi:1/20:1.2*pi;-2-1012-8-6-4-202468x3-2-1012-2-101234x2下页下页subplot(2,2,1);y1=sin(x).
20、*x.3;plot(x,y1,r,linewidth,2),hold on plot(-4,4,0,0,b,0,0,-35,10,b)title(x3*sinx);hold on subplot(2,2,2)y2=cos(x).*x.2;plot(x,y2,r,linewidth,2)hold on plot(-4,4,0,0,b,0,0,-15,5,b)title(x2*cosx);subplot(2,2,3);y3=sin(x).*cos(x);plot(x,y3,r,linewidth,2)下页下页hold on plot(-4,4,0,0,b,0,0,-0.5,0.5,b)title(
21、sinx*cosx);subplot(2,2,4);y4=3*sin(x)+sin(x./3);plot(x,y4,r,linewidth,2)hold on plot(-4,4,0,0,b,0,0,-2,15,b),title(3(sinx+sinx/3)axis(-4,4,-4,20);下页下页-4-2024-40-30-20-10010 x3*sinx-4-2024-15-10-505x2*cosx-4-2024-0.500.5sinx*cosx-4-2024051015203(sinx+sinx/3)下页下页o-2-424-21 周周期期函函数数 例如常见的三角函数 1)通常我们所说的
22、周期总是指函数的最小周期 2)有的周期函数不一定有最小周期，例如常函数是周期函数，狄里克雷函数，它们显然没有最小周期 下页下页周周期期函函数数运运算算后后的的周周期期 clf,x=-2*pi:1/20:2*pi;subplot(2,1,1);y1=2*sin(4*x).*cos(8*x);plot(x,y1)hold on plot(-6,6,0,0,r,0,0,-2,2,r),hold on plot(pi/2,pi/2,-2,2,r-)title(2sin2x*cos4x);hold on subplot(2,1,2)y2=sin(2*x)+cos(4*x);plot(x,y2)hold on 下页下页plot(-6,6,0,0,r,0,0,-2,2,r),hold on plot(pi,pi,-2,2,r-)title(sin2x+cos4x);axis(-6,6,-2,2)-8-6-4-202468-2-10122sin2x*cos4x-6-4-20246-2-1012sin2x+cos4x返回返回
