1、1 第一型曲线积分 本节将研究定义在平面或空间曲线段上的第一型曲线积分.此类积分的典型物理背景是求非均匀分布的曲线状物体的质量.二第一型曲线积分的计算一第一型曲线积分的定义一 第一型曲线积分的定义 上的连续函上的连续函 是定义在是定义在()f P 设某物体的密度函数设某物体的密度函数 数当数当 是直线段时是直线段时,应用定积分就能计算得该物体应用定积分就能计算得该物体 的质量的质量.现在研究当现在研究当 是平面或空间中某一可求长度的曲线是平面或空间中某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题段时物体的质量的计算问题.(1,2,).ini.iP(2)近似求和：在近似求和：在每一个每一个 上任取一
2、点上任取一点 由于由于 n(1)分割：把分割：把 分成分成 个可求长度的小曲线段个可求长度的小曲线段 i()f P 为为i 上的连续函数上的连续函数,故当故当 的弧长都很小时的弧长都很小时,i(),iif P 每一小段每一小段 的质量可近似地等于的质量可近似地等于 其中其中 i i 为小曲线段为小曲线段 的长度的长度.于是在整个于是在整个 上的质量就近似地等于和式上的质量就近似地等于和式 1().niiif P 1max0ii nd(3)当对当对的分割越来越细密的分割越来越细密(即即 )时时,上述和式的极限就应是该物体的质量上述和式的极限就应是该物体的质量.由上面看到由上面看到,求物质曲线段的
3、质量求物质曲线段的质量,与求直线段的质与求直线段的质 量一样量一样,也是通过也是通过“分割、近似求和、取极限分割、近似求和、取极限”来得来得到的到的.下面给出这类积分的定义下面给出这类积分的定义.(1,2,),iiL inL个可求长度的小曲线段个可求长度的小曲线段 的弧的弧长长n,它把它把 LLTL定义在定义在 上的函数上的函数.对曲线对曲线 做分割做分割 分成分成,isT1|max,ii nTs iL记为记为 分割分割 的细度为的细度为 在在 上任上任取取 一点一点(,)(1,2,).iiin 若有极限若有极限|01lim(,),niiiTifsJ 为平面上可求长度的曲线段为平面上可求长度的
4、曲线段,L(,)f x y定义定义1 设设 为为J(,)iiT 与与点点且且 的值与分割的值与分割 的取法无关的取法无关,则称此则称此 极极限为限为(,)f x yL在在上的上的第一型曲线积分第一型曲线积分,记作记作(,)d.Lf x ys为空间可求长曲线段为空间可求长曲线段,L(,)f x y zL若若 为定义在为定义在 上上 (,)f x y zL的函数的函数,则可类似地定义则可类似地定义 在空间曲线在空间曲线 上上 的第一型曲线积分的第一型曲线积分,并且记作并且记作 (,)d.Lf x y zs于是前面讲到的质量分布在曲线段于是前面讲到的质量分布在曲线段 L上的物体的质上的物体的质 量可
5、由第一型曲线积分量可由第一型曲线积分(1)或或(2)求得求得.(,)d(1,2,)iLfx ys ik(1,2,)ic ik1.若若在在 为为 常数常数,则则1(,)dkiiLic f x ys也存在也存在,且且11(,)d(,)d.kkiiiiLLiic f x yscf x ysL12,kL LL2.若曲线段若曲线段 由曲线由曲线 首尾相接而首尾相接而成成,(,)d(1,2,)iLf x ys ik(,)dLf x ys都存在都存在,则则 也存在也存在,且且1(,)d(,)d.ikLLif x ysf x ys3(,)d(,)dLLf x ysg x ys若若与与 都存在都存在,且在且在
6、L上上则则(,)(,),f x yg x y(,)d(,)d.LLf x ysg x ys4(,)d(,)dLLLf x ysf x ys若若存存在在,则则|也存在也存在,|(,)d|(,)|d.LLf x ysf x ys且且 (,)dLf x ys若若L,s5存在存在,的弧长为的弧长为则存在常数则存在常数(,)d,Lf x yscs,c使得使得inf(,)sup(,).LLf x ycf x y这这里里6.第一型曲线积分的几何意义第一型曲线积分的几何意义 为为LLOxy(,)f x y若若 为坐标平面为坐标平面 上的分段光滑曲线上的分段光滑曲线,上定义的连续非负函数上定义的连续非负函数.由
7、第一型曲线的定义由第一型曲线的定义,易见易见 Lz以以 为准线为准线,母线平行于母线平行于 轴的柱面上截取轴的柱面上截取 0(,)zf x y (,)d.Lf x ys的部分的面积就是的部分的面积就是 yxzOL(,)zf x y 201 图图二 第一型曲线积分的计算定理定理20.1 设有光滑曲线设有光滑曲线 (),:,(),xtLtyt (,)f x yL 为定义在为定义在 上的连续函数上的连续函数,则则 22(,)d(),()()()d.(3)Lf x ysfttttt L1iitttt到到证证 由弧长公式知道由弧长公式知道,上由上由 的弧长的弧长 221()()d.iiisttt22()
8、()tt由由的连续性与积分中值定理的连续性与积分中值定理,有有 221()()().iiiiiiisttt 1(,)niiiifs 221(),()()(),niiiiiift 22221(),()()()()(),niiiiiiiift 所以所以 1,.iiiitt 设设这里这里 则有则有 1(,)niiiifs 221(),()()().(4)niiiiiift 令令12max,0,nttttT则则当当时时 必必有有 t0 0.0lim0.t 现在证明现在证明 因为复合函数因为复合函数 (),()fttt 关关于于连续连续,所以在闭区所以在闭区 ,M,t 间间 上有界上有界,即存在常数即存
9、在常数 使对一切使对一切 都有都有|(),()|.fttM 22()(),tt 在在再由再由 上连续上连续,所以它在所以它在 ,0,0,必必存存在在上一致连续上一致连续,即对任给的即对任给的 使当使当 时时,t 2222()()()(),iiii 从而从而 1|(),niiMtM ba 所以所以 0lim0.t 2201lim(),()()()niiiiitift 22(),()()()d.bafttttt因此当在因此当在(4)式两边取极限后式两边取极限后,即得所要证的即得所要证的(3)式式.,a b 上有连续的导函数时上有连续的导函数时,(3)式成为式成为 2(,)d(,()1()d;bLa
10、f x ysf xxxx再由定积分定义再由定积分定义 (),yxxa b L 当曲线当曲线 由方程由方程 表示表示,且且 在在 ()x ,c d上有连续导函数时上有连续导函数时,(3)式成为式成为 2(,)d(),)1()d.dLcf x ysfyyyy例例1 设设 L 是半圆周是半圆周 cos,:0,sin,xatLtyat试计算第一型曲线积分试计算第一型曲线积分 22()d.Lxys解解 22222230()d(cossin)d.Lxysaattta(),xyyc d 当曲线当曲线 L由方程由方程表示表示,且且 在在 ()y 例例2 24(0,0)(1,2)LyxOA设设是是从从到到一段一
11、段(图图20-2),试计算第一型曲线积分试计算第一型曲线积分 d.Ly s解解 220d1d4Lyy syy2322022(1)34y4(2 21).3 由参由参 仿照定理仿照定理20.1,对于空间曲线积分对于空间曲线积分(2),当曲线当曲线 L量方程量方程 (),(),(),xtytzt t 表示时表示时,Oyx124yx 202 图图A (,)dLf x y zs222(),(),()()()()d.(7)fttttttt 其计算公式为其计算公式为:2d,LxsL2222xyza例例3 计算计算 其中其中 为球面为球面 被平面被平面 所截得的圆周所截得的圆周.0 xyz解解 由对称性知由对
12、称性知 222ddd,LLLxsyszs所以所以 22222312d()dd.333LLLaxsxyzssa4433(+)d,LxyxysL*例例4 计算计算 其中其中 为内摆线为内摆线 434433.xya解解 由对称性知由对称性知 dd0,LLx sy s1444333dd4d,LLLxsysxs其中其中 1(,),0.Lx yL x y33cos,sin,0,.2xat yat t 444333(+)d8dLLxyxysxs47433208cos3 sin cos dt4.atatta 222xya 222yza *例例5求求圆柱面圆柱面 被柱面被柱面 所包所包 而内摆线的参数方程为而内
13、摆线的参数方程为 因此因此 围部分的面积围部分的面积A.解解 由图可见由图可见,阴影部分为被围柱面在第一卦限的部阴影部分为被围柱面在第一卦限的部 0.8AA Oxy分分,它面积它面积 设在坐标平面设在坐标平面 上的圆上的圆 222xya L在第一象限的曲线记为在第一象限的曲线记为,则被围柱面则被围柱面在第一卦限部分正是以曲线在第一卦限部分正是以曲线 L 为准线母线平行于为准线母线平行于 z 积分的几何意义可知它的面积为积分的几何意义可知它的面积为 220ds.LAax 220zax的那部分柱面的那部分柱面.由第一型曲面由第一型曲面 轴的轴的 L的参数方程为的参数方程为:cos,sin,0.2x
14、at yatt 222200ds=1-cosdtLAaxata 2220sin dt.ata 因此因此,2088.AAa 定义定义,线密度为线密度为 (,)x y 的的 曲线状物体对于曲线状物体对于 x,y 轴的转动惯量分别为轴的转动惯量分别为 注注 由第一型曲线积分的由第一型曲线积分的 yxzO222xya0A203 图图例例6 求线密度为求线密度为2(,)1yx yx 的曲线段的曲线段 :ln,12L yxx 对于对于 y 轴的转动惯量轴的转动惯量.22d1yLx yIsx 22212ln11d1xxxxx 解解 213ln dln4.4xx x 2(,)dxLIyx ys 2(,)dyL
15、Ixx ys 和和复习思考题(,)f x yL1.若若 在光滑曲线在光滑曲线上连续上连续,是否一定存在是否一定存在 00(,),xyL 使得使得00(,)d(,),Lf x ysf xys其中其中 s 是曲线是曲线 L 的弧长的弧长.(,)(,).x yLx yL (,)f x y2.设设在光滑曲线在光滑曲线 L 上连续上连续,L满足条件满足条件:(,)f x y(,)(,),fx yf x y 若若满足条件满足条件:是否有是否有 (,)d0?Lf x ys(,)f x y(,)(,),fx yf x y 若若满足条件满足条件:是否有是否有 (,)d2(,)d?LLf x ysf x ys其中
16、其中 (,):0.Lx yL x 3.证明以下第一型曲面的轮换对称性证明以下第一型曲面的轮换对称性:设设(,)f x y在光滑曲线在光滑曲线 L上连续上连续,L 满足条件满足条件:(,)(,).x yLy xL (,)f x y(,)(,),f x yf y x 若若 满足条件满足条件:则则 (,)d(,)d.LLf x ysf y xs2 第二型曲线积分 第二型曲线积分与第一型曲线积分不同的是在有方向的曲线上定义的积分,这是由于第二型曲线积分的物理背景是求变力沿曲线作的功,而这类问题显然与曲线的方向有关.三、两类曲线积分的联系 一、第二型曲线积分的定义 二、第二型曲线积分的计算 一 第二型曲
17、线积分的定义在物理中还遇到过另一在物理中还遇到过另一种类型的曲线积分问题种类型的曲线积分问题.例如一质点受力例如一质点受力 (,)F x y的作用沿平面曲线的作用沿平面曲线 L 从从点点 A 移动到点移动到点 B,求力求力 (,)F x y所作的功所作的功,见图见图 20-2.202 图图OyxA M0()(,)x yM1M2nM1nB M()FLPQAB1n121,nMMM为此在曲线为此在曲线 内插入内插入 个分点个分点0,nAMBM它它们们与与AB 一起把有向曲线一起把有向曲线 分成分成 n个个有向小曲线段有向小曲线段 1(1,2,).iiMM in 若记小曲线若记小曲线 1|max.ii
18、 nTs(,)F x yxy轴轴和和设力设力 在在轴方向的投影分别为轴方向的投影分别为(,)(,),P x yQ x y与与那么那么(,)(,),(,).F x yP x yQ x y1iiMM,isT的弧长为的弧长为 则分割则分割 的细度为的细度为段段1iiMMxy轴轴和和又设小曲线段又设小曲线段 在在 轴上的投影分别为轴上的投影分别为 11(,)iixy1iiMM与与 分别为点分别为点 的坐标的坐标.记记 1(,),iiMMiiLxy(,)F x y1iiMM于是力于是力 在小曲线段在小曲线段 上所作的功上所作的功1(,)(,)(,),iiiiiMMiiiiiiWFLPxQy (,)ii
19、1iiMM其中其中 为小曲线段为小曲线段 上任一点上任一点.因而力因而力(,)F x yAB 沿曲线沿曲线 所作的功近似地等于所作的功近似地等于11,iiiiiixxxyyy与与 其中其中(,)iixy与与111(,)(,).nnniiiiiiiiiiWWPxQy 当细度当细度|0T 时时,上式右边和式的极限就应该是上式右边和式的极限就应该是 所求的功所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论这种类型的和式极限就是下面所要讨论 的第二型曲线积分的第二型曲线积分.定义定义1 设函数设函数 (,)(,)P x yQ x y与与定义在平面有向可定义在平面有向可:L ABL,TL 求长度曲线求长度曲
20、线 上上.对对 的任一分割的任一分割 它把它把 分分 成成n个小曲线段个小曲线段1(1,2,),iiMM in0,.nMA MB1iiMM其中其中 记个小曲线段记个小曲线段 的弧长的弧长 ,isT 1|max.ii nTsT为为 分割分割 的细度的细度 又设又设 的分点的分点1,iiixxx1,(1,2,).iiiyyyin 1iiMM(,),ii 在每个小曲线段在每个小曲线段 上任取一点上任取一点 若极限若极限|0|011lim(,)lim(,)nniiiiiiTTiiPxQy 存在且与分割存在且与分割 T 与点与点(,)ii 的取法无关的取法无关,则称此极则称此极限限为函数为函数(,),(
21、,)P x y Q x y 沿有向曲线沿有向曲线 L 上的上的第二型第二型iM 的坐标为的坐标为 并记并记(,),iixy曲线积分曲线积分,记为记为 (,)d(,)dLP x yxQ x yy(,)d(,)d(1)ABP x yxQ x yy或或(,)d(,)dLLP x yxQ x yy(,)d(,)dABABP x yxQ x yy上述积分上述积分(1)也可写作也可写作或或为书写简洁起见为书写简洁起见,(1)式常简写成式常简写成ddLP xQ ydd.ABP xQ y 或或 式可写成向量形式式可写成向量形式dd.(2)LP xQ y若若L为封闭的有向曲线为封闭的有向曲线,则记为则记为 若记
22、若记(,)(,),(,),d(d,d),F x yP x y Q x ysxy 则则(1)dLFsd.(3)ABFs 或或 于是于是,力力(,)(,),(,)F x yP x y Q x y 沿有向曲线沿有向曲线:L AB对质点所作的功为对质点所作的功为(,)d(,)d.LWP x yxQ x yy(,),P x y z(,),Q x y z若若L为空间有向可求长曲线为空间有向可求长曲线,(,)R x y z为定义在为定义在L上的函数上的函数,则可按上述办法类则可按上述办法类 似地定义沿空间有向曲线似地定义沿空间有向曲线L上的第二型曲线积分上的第二型曲线积分,并记为并记为(,)d(,)d(,)
23、d,(4)LP x y zxQ x y zyR x y zz或简写成或简写成ddd.LP xQ yR z(,)(,),(,),(,)F x yP x y Q x y R x y 与与d(d,d,d)sxyz 当把当把看作三维向量时看作三维向量时,(4)式也可表示成式也可表示成(3)式的向量形式式的向量形式.第二型曲线积分与曲线第二型曲线积分与曲线 L 的方向有关的方向有关.对同一曲线对同一曲线,当方向由当方向由 A 到到 B 改为由改为由 B 到到 A 时时,每一小曲线段的每一小曲线段的方向方向改变改变,从而所得的从而所得的,iixy 也随之改变符号也随之改变符号,故故 有有 dddd.(5)
24、ABBAP xQ yP xQ y 而第一型曲线积分的被积表达式只是函数而第一型曲线积分的被积表达式只是函数(,)f x y与与 弧长的乘积弧长的乘积,它与曲线它与曲线L的方向无关的方向无关.这是两种类型这是两种类型曲线积分的一个重要区别曲线积分的一个重要区别.类似与第一型曲线积分类似与第一型曲线积分,第二型曲线积分也有如下第二型曲线积分也有如下一些主要性质一些主要性质:1 dd(1,2,)iiLP xQ yik若若存存在在，则则11()d()dkkiiiiLiic Pxc Qy 也存在也存在,且且 111()d()d(dd);kkkiiiiiiiLLiiic Pxc QycP xQ yL12,
25、kL LL2.若有向曲线若有向曲线 由有向曲线由有向曲线 首尾衔接而首尾衔接而 成成,dd,(1,)iLP xQ y ik 都存在都存在,则则 1dddd.ikLLiP xQ yP xQ y ddLP xQ y 也存在也存在,且且 二第二型曲线积分的计算第二型曲线积分也可化为定积分来计算第二型曲线积分也可化为定积分来计算.设平面曲线设平面曲线(),:,(),xtLtyt 其中其中(),(),tt 在在 上具有一阶连续导函数上具有一阶连续导函数,且且 AB与与(),()(),().与与 点点 的坐标分别为的坐标分别为 又设又设(,)(,)P x yQ x yL与与为为上的连续函数上的连续函数,则
26、沿则沿 L AB从从到到的第二型曲线积的第二型曲线积分分(,)d(,)dLP x yxQ x yy(),()()(),()()d.(6)PtttQtttt (,)d(),()()d,LP x yxPtttt (,)d(),()()d,LQ x yxQtttt 读者可仿照读者可仿照1中定理中定理20.1的方法分别证明的方法分别证明由此便可得公式由此便可得公式(6).对于沿封闭曲线对于沿封闭曲线L的第二型曲线积分的第二型曲线积分(2)的计算的计算,可可 在在 L 上任意选取一点作为起点上任意选取一点作为起点,沿沿L所指定的方向前所指定的方向前 进进,最后回到这一点最后回到这一点.203 图图Oyx
27、1A(1,1)B(2,3)23123D(2,1)C例例1 计算计算 d()d,Lxy xyxy其中其中 L 分别沿图分别沿图 20-3中的路线中的路线:(i)直线段直线段 ;AB(ii)22(1)1;ACByx抛抛物物线线:(iii)ADBA(三角形周界三角形周界).解解(i)直线直线 L 的参数方程为的参数方程为1,0,1.12,xttyt故由公式故由公式(6)可得可得 d()dABxy xyxy10(1)(12)2 dtttt12025(152)d.6tttACB22(1)1,12,yxx(ii)曲线曲线 为抛物线为抛物线 d()dACBxy xyxy2221 2(1)1 2(1)14(1
28、)dxxxxxx 232110(10323512)d.3xxxx(iii)这里这里L是一条封闭曲线是一条封闭曲线,故可从故可从 A开始开始,应用上段应用上段加即可得到所求之曲线积分加即可得到所求之曲线积分.由于沿直线由于沿直线:,1(12)AD xx yx的线积分为的线积分为所以所以的性质的性质2,分别求沿分别求沿 上的线积分然后相上的线积分然后相 ,AD DB BA213d()ddd.2ADADxy xyxyxy xx x沿直线沿直线 :2,(13)DB xyyy的线积分为的线积分为 31d()d()d(2)d0.DBDBxy xyxyyxyyy25d()dd()d.6BAABxy xyxy
29、xy xyxy 所以所以 3258d()d0.263Lxy xyxy 沿直线沿直线 的线积分可由的线积分可由(i)及公式及公式(5)得到得到:BA 例例2 计算计算dd,Lx yy x 这里这里 L 为为:(i)沿抛物线沿抛物线22,yxOB从从到到 的一段的一段(图图20-4);(ii)沿直线沿直线:2;OByx(iii)沿封闭曲线沿封闭曲线.OABO120(4)2dxxxx12066d2.3xxddLx yy x解解(i)204图图Oy(1,2)B1(1,0)A2x142.210dd(22)dLx yy xxxx(ii)(iii)在在OA一段上一段上,0,01;yxAB在在 一段上一段上,
30、1,02;xyBO在在 2yx 从从一段上与一段上与(ii)一样是一样是10 xx到到的一段的一段.所以所以10dd0d0,OAx yy xx20dd1d2,ABx yy xydddd2.BOOBx yy xx yy x (见见(ii)dddd0220.LOAABBOx yy xx yy x沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与(6)式相仿式相仿.设空间有向光滑曲线设空间有向光滑曲线 L 的参量方程为的参量方程为 (),:(),(),xx tLyy ttzz t 因此因此 (),(),(),xyz (),(),(),xyz 起点为起点为 终点为
31、终点为则则 dddLP xQ yR z(),(),()()(),(),()()P x ty tz tx tQ x ty tz ty t (),(),()()d.(7)R x ty tz tz tt这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致.2d()dd,LIxy xxyyxzcos,sin,xat yat zbt0t从从到到L是螺旋线是螺旋线:例例3 计算第二型曲线积分计算第二型曲线积分t 上的一段上的一段(参见图参见图 205).解解 由公式由公式(7),32222220(cos sincossin coscos)dIattatatta btt3
32、332201111sinsin(1)(sin2)3222atatab tt 21(1).2ab例例4 求在力求在力(,)F yx xyz作用下作用下,A1LB到到(i)质点由质点由 沿螺旋线沿螺旋线所作的功所作的功(图图20-5),其中其中 1:cos,sin,02;Lxat yat zbtt(ii)质点由质点由A沿直线沿直线2LB到到所作的功所作的功.解解 如本节开头所述如本节开头所述,在空间曲线在空间曲线 L上力上力F所作的功所作的功为为ddd()d.LLWFsy xx yxyzz(i)由于由于 dsin d,dcos d,dd,xat tyat tzb t2222220(sincosco
33、ssin)dWatatabtabtb tt222().ba(ii)2L的参量方程的参量方程,0,02.xa yzttb由于由于d0,d0,dd,xyzt所以所以20()d2().bWattb ab2222xyza 0 xyz 例例5 设设L为球面为球面和平面和平面的交线的交线,若面对若面对 x 轴正向看去轴正向看去,L是沿逆时针方向的是沿逆时针方向的,求求ddd;Lx xy yz z (i)ddd.Lz xx yy z (ii)cossin,62aaxttcos,6ayt cossin,0,2.62aaztt t(i)2202dcos sin d0.3Ly yatt t 由对称性，由对称性，d
34、d0,LLx xz z 解解 L的参数方程为的参数方程为因此，因此，ddd=0.Lx xy yz z (ii)202dcossincosd662Laaay ztttt 23.3a 由对称性，由对称性，2ddd3.Lz xx yy za ()x ,a b*例例6 设设G是是 R2 中的有界闭域，中的有界闭域，是是 上的连续上的连续 可微函数可微函数,(,),(,)P x yQ x y是在是在G上的连续函数上的连续函数.(,(),int,Lxxxa bG 0 0,则对任意则对任意,存在存在 对于任意分割对于任意分割01:,nT axxxb 只要只要1max:1,iiTxxin 必有必有dddd,L
35、lP xQ yP xQ y 其中其中(,(),1,2,iiiilAA xxin 是是以以 为端点为端点的折线的折线.,P Q 0,M 证证 由由的有界性的有界性,存在存在使得使得sup(,)(,),P x yx yGMsup(,)(,),Q x yx yGMsup(),.xxa bM 0,.(12)()Mba 令令 由由P,Q在在 G 的一致连续性的一致连续性,存在存在0.使得使得(,),(,),A x yB x yG yy 就有就有(,)(,),P x yP x y(,)(,).Q x yQ x y,a b0,由由在在上的一致连续性上的一致连续性,存在存在 使得使得,x xa bxx 就有就
36、有()(),()()xxxx.任意分割任意分割 01:nT axxxb ,满足满足1max:1,.iiTxxin 令令(,(),iiiiAA xx il1iA iA 设设 为连接为连接与与 的线段的线段,其斜率为其斜率为111()()(),1,2,.iiiiiiiixxxxinxx 1,niill l(),.l xxa b 设设 的方程为的方程为则则,xa b ()().l xx(,()(,(),P xxP x l x(,()()(,()()iQ xxxQ x l x (,()()(,()()iQ xxxQ xx (,()()(,()()iiQ xxQ x l x 2,M 于是于是L1iA i
37、A,1,2,.iL in 设设在在 到到的那段曲线为的那段曲线为 则则 1.niiLL ddddLlP xQ yP xQ y1ddddiiniLlP xQ yP xQ y 11(,()()(,()()diinxixiQ xxxQ x l xx 11(,()(,()diinxxiP xxP x l xx 因此因此11112nniiiiiixxM xx(12)().M ba 注注 例例6 告诉我们曲线上的积分可用折线上的积分来告诉我们曲线上的积分可用折线上的积分来逼近逼近.*三.两类曲线积分的联系在规定了曲线方向之后在规定了曲线方向之后,可以建立它们之间的联系可以建立它们之间的联系.LAB设设为为
38、从从到到的有向光滑曲线的有向光滑曲线,它以弧长它以弧长s为参数为参数,虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分来自不同的虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分来自不同的物理原型物理原型,且有着不同的特性且有着不同的特性,但在一定条件下但在一定条件下,如如于是于是(),:0,(),xx sLslyy s其中其中l为曲线为曲线L的全长的全长,且点且点AB与与 的坐标分别为的坐标分别为(0),(0)(),().xyx ly l与与 曲线曲线L上每一点的切线方上每一点的切线方 向指向弧长增加的一方向指向弧长增加的一方.现以现以(,),(,)t xt y分别表示分别表示 切线方向切线方向txy与轴与与轴与 轴正向
39、的夹角轴正向的夹角,则在曲线上的则在曲线上的 每一点的切线方向余弦是每一点的切线方向余弦是ddcos(,),cos(,).(8)ddxyt xt yss(,),(,)P x y Q x yL若若为为曲曲线线上的连续函数上的连续函数,则由则由(6)式得式得ddLP xQ y0(),(),cos(,)(),()cos(,)dlP x sy st xQ x sy st ys(,)cos(,)(,)cos(,)d,(9)LP x yt xQ x yt ys最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的公式公式.注注 当当(9)式左边第二型曲线积分中式左边第二型
40、曲线积分中L改变方向时改变方向时,积积 分值改变符号分值改变符号,相应在相应在(9)式右边第一型曲线积分中式右边第一型曲线积分中,曲线上各点的切线方向指向相反的方向曲线上各点的切线方向指向相反的方向(即指向弧即指向弧 长减少的方向长减少的方向).这时夹角这时夹角(,)(,)t xt y和和分别与原来分别与原来,cos(,)cos(,)t xt y和和 的夹角相差一个弧度的夹角相差一个弧度 从而从而 都都 要变号要变号.因此因此,一旦方向确定了一旦方向确定了,公式公式(9)总是成立的总是成立的.复习思考题 1.设设(,)f x y在光滑曲线在光滑曲线L上连续上连续,L满足满足(,)(,).x y
41、Lx yL 若若(,)f x y(,)(,),fx yf x y 满足条件满足条件:是否有是否有(,)d0?Lf x yx (,)f x y(,)(,),fx yf x y 又若又若满足满足 是否有是否有(,)d2(,)d?LLf x yxf x yx 其中其中 (,):0.Lx yL x 2.第二型曲面是否也有轮换对称性？第二型曲面是否也有轮换对称性？设设(,)f x y 在光滑曲线在光滑曲线 L上连续上连续,L满足满足(,)(,).x yLy xL (,)f x y(,)(,),f x yf y x 若若 满足条件满足条件:是否亦有是否亦有(,)d(,)d?LLf x yxf y xy 3.设设(,)f x y z 在空间光滑曲线在空间光滑曲线L上连续上连续,L满足满足(,)(,)(,).x y zLy z xLz x yL (,)f x y z(,),x y zL 若若 满足条件满足条件:(,)(,)(,),f x y zf y z xf z x y (,)d(,)d(,)d?LLLf x y zxf y z xyf z x yz是否亦有是否亦有
