1、专题六 数学思想方法要点梳理 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中要点梳理 抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识要点梳理 数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的
2、数学思想方法有：整体思想、转化思想、方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想等在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三解题方法(1)整体思想：整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个(或多个)未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决(2)转化思想：在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题(3)分类讨论思想：体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法分类的
3、原则：分类中的每一部分是相互独立的；一次分类按一个标准；分类讨论应逐级进行正确的分类必须是周全的，既不重复，也不遗漏(4)方程思想：用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用(5)函数思想：用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质(6)数形结合思想：从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法(以形助数)，或利用数量
4、关系来研究几何图形的性质，解决几何问题(以数助形)数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决1(2014淄博)当 x1 时，代数式12ax33bx4 的值是 7，则当 x1 时，这个代数式的值是()A7 B3 C1 D7 2(2014绥化)分式方程2x5x232x的解是()Ax2 Bx2 Cx1 Dx1 或 x2 CC3(2014山西)我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是()A演绎 B数形结合 C抽象 D公理化B4(2014无锡)已知ABC的三条边长
5、分别为3，4，6，在ABC所在平面内画一条直线，将ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画()A6条 B7条 C8条 D9条B5(2014绵阳)如图，O的半径为1 cm，正六边形ABCDEF内接于 O，则图中阴影部分面积为_ cm2.(结果保留)整体思想【例1】(2013吉林)若a2b3，则2a4b5_【点评】本题考查了代数式求值代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式(a2b)的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值11(2014盐城)已知x(x3)1，则代数式2x26x5的值为_-3【例2】(2013东营)如图，圆柱形容器
6、中，高为1.2 m，底面周长为1 m，在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_ m(容器厚度忽略不计)转化思想 1.3【点评】本题利用转化思想把立体问题转化为平面问题，从而使问题简单化、直观化将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力2(2014枣庄)图所示的正方体木块棱长为6 cm，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角，得到如图的几何体，一只蚂蚁沿着图的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 cm.分类讨论思想【例 3】(2013
7、南平)在矩形 ABCD 中，点 E 在 BC 边上，过 E 作 EFAC 于 F，G 为线段 AE 的中点，连接BF，FG，GB.设ABBCk.(1)证明：BGF是等腰三角形；(2)当k为何值时，BGF是等边三角形？(3)我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大；反之也成立利用上述结论，探究：当BGF分别为锐角、直角、钝角三角形时，k的取值范围【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的运用、等腰三角形的判定定理的运用、外角与内角的关系的运用、分类讨论思想在实际问题中的运用，解答时灵活运用直角三角形的性质及
8、外角与内角的关系是关键3(2014绥化)在一条笔直的公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人同时分别从A，B两村出发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向C村，最终到达C村设甲、乙两人到C村的距离y1，y2(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示，请回答下列问题：(1)A，C两村间的距离为 km，a ；1202(2)求出图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；解：(2)设y1k1x120，代入(2，0)解得y160 x120，y2k2x90，代入(3，0)解得y230 x90，由60 x12030 x90解得x1，则y1y260，所以P(1，60)表示经过1小时甲与乙相遇且距
9、C村60 km.(3)乙在行驶过程中，何时距甲10 km?方程思想【例4】(2014 淄博)为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：档次 每户每月用电数(度)执行电价(元/度)第一档 小于等于200 0.55 第二档 大于200小于400 0.6 第三档 大于等于400 0.85 例如：一户居民 7 月份用电420度，则需缴电费4200.85357(元)某户居民5，6月份共用电500度，缴电费290.5元已知该用户6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于400度问该户居民5，6月份各用电多少度？解：当5月份用电量为x度200度，6月份用电(500 x)度，由题意
10、，得0.55x0.6(500 x)290.5，解得：x190，6月份用电500 x310度当5月份用电量为x度200度，六月份用电量为(500 x)度，由题意，得0.6x0.6(500 x)290.5，300290.5，原方程无解5月份用电量为190度，6月份用电310度【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题、方程思想的运用、分类讨论思想的运用，另外要注意：总价单价数量4(2013娄底)2013 年 3 月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面 A，B 两个探测点探测到C 处有生命迹象已知 A，B 两点相距4 米，探测线与地面的夹角分别是30和 4
11、5，试确定生命所在点C 的深度(精确到 0.1 米，参考数据：21.41，31.73)解：如图，过点 C 作 CDAB 于点 D，设 CDx，在 RtACD中，CAD30，则 AD 3CD 3x，在 RtBCD 中，CBD45，则 BDCDx，由题意得，3xx4，解得：x4312(31)5.5.答：生命所在点C 的深度为5.5米 函数思想【例 5】(2013河池)华联超市欲购进A，B 两种品牌的书包共 400 个，已知两种书包的进价和售价如下表所示，设购进 A种书包 x 个，且所购进的两种书包能全部卖出，获得的总利润为 w 元 品牌 进价(元/个)售元(元/个)A 47 65 B 37 50
12、(1)求w关于x的函数关系式；(2)如果购进两种书包的总费用不超过18000元，那么该商场如何进货才能获得利润最大？并求出最大利润(提示利润售价进价)解：(1)由题意得：W(6547)x(5037)(400 x)2x5200.(2)由题意得：47x37(400 x)18000，解得x320.W2x5200，k20，W随x增大而增大，当x320时，W最大5840，即A种书包购买320个，B种书包购买80个，才能获得最大利润，最大利润为5840元【点评】本题考查了由销售问题的数量关系求函数的解析式的运用、列一元一次不等式解实际问题的运用、一次函数的性质的运用，解答时注意函数思想的应用5(2014沈
13、阳)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20 x30，且x为整数)出售，可卖出(30 x)件若使利润最大，每件的售价应为_元25数形结合思想【例6】(2013玉林)如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A(4，3)，P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有_个，写出其中一个点P的坐标是 (5，0)8【点评】本题考查了等腰三角形的判定、坐标与图形的性质，利用数形结合的思想求解更简便6(2014孝感)抛物线yax2bxc的顶点为D(1，2)，与x轴的一个交点A在点(3，0)和(2，0)之间，其部分图象如图所示，则以下结论：b24a
14、c0；abc0；ca2；方程ax2bxc20有两个相等的实数根其中正确的个数有()A1个B2个C3个D4个C试题求出所有满足|ab|ab|1的整数对(a，b)错解根据绝对值的非负性和a，b均为整数，讨论|ab|0且|ab|1的情况，得到满足条件的整数对(a，b)共有(0，1)，(0，1)，(1，0)，(1，0)四对剖析分类讨论时漏掉了|ab|1且|ab|0的情况，在研究此类问题的解法时，需认真审题，全面考虑，对可能存在的各种情况进行讨论，做到不重、不漏、条理清晰正解|ab|ab|1，整数 a，b 满足：|ab|0，|ab|1或|ab|1，|ab|0，解 得a0，b1，a0，b1，a1，b0，a
15、1，b0，解得a1，b1，a1，b1.故满足条件的整数对(a，b)共有(0，1)，(0，1)，(1，0)，(1，0)，(1，1)，(1，1)六对 专题跟踪突破六数学思想方法一、选择题(每小题 6 分，共 30 分)1(2014湘潭)分式方程5x23x的解为()A1 B2 C3 D4 2(2014黔东南州)已知抛物线 yx2x1 与 x 轴的一个交点为(m，0)，则代数式 m2m2014 的值为()A2012 B2013 C2014 D2015 C D 3(2013达州)如图，在RtABC中，B90，AB3，BC4，点D在BC上，以AC为对角线的所有ADCE中，DE最小的值是()A2 B3C4
16、D5B 4(2013齐齐哈尔)CD是 O的一条弦，作直径AB，使ABCD，垂足为点E，若AB10，CD8，则BE的长是()A8 B2C2或8 D3或7C 5(2014济宁)“如果二次函数yax2bxc的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2bxc0有两个不相等的实数根”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m，n(mn)是关于x的方程1(xa)(xb)0的两根，且ab，则a，b，m，n的大小关系是()Amabn BamnbCambn DmanbA 二、填空题(每小题6分，共30分)6(2013平凉)如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明
17、的影子AM长为_米5 7(2014广州)若关于 x 的方程 x22mxm23m20有两个实数根x1，x2，则 x1(x2x1)x22的最小值为_ 8(2013广安)如图，如果从半径为 5 cm 的圆形纸片上剪去15圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高是_cm.3 9(2013昆明)在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A(2，3)，在坐标轴上找一点 P，使得AOP 是等腰三角形，则这样的点P 共有_个 8 10(2014枣庄)如图，将矩形 ABCD 沿 CE 向上折叠，使点 B 落在 AD 边上的点 F 处若 AE23BE，则长 AD与宽 AB 的比值是_
18、三、解答题(共40分)11(10分)(2013齐齐哈尔)甲、乙两车分别从A，B两地相向而行，甲车出发1小时后乙车出发，并以各自速度匀速行驶，两车相遇后依然按照原速度原方向各自行驶，如图所示是甲、乙两车之间的距离s(千米)与甲车出发时间t(小时)之间的函数图象，其中D点表示甲车到达B地，停止行驶(1)A，B两地的距离 千米；乙车速度是 ；a表示 ；560 100(2)乙车出发多长时间后两车相距330千米？12(10 分)(2014遂宁)如图，反比例函数 ykx的图象与一次函数 yxb 的图象交于点A(1，4)，点 B(4，n)(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求OAB 的面积；(3)直
19、接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x 的取值范围 解：(1)把 A 点(1，4)分别代入反比例函数ykx，一次函数 yxb，得 k14，1b4，解得 k4，b3，反比例函数的解析式是 y4x，一次函数的解析式是yx3(2)当 x4 时，y1，B(4，1)，当 y0 时，x30，x3，C(3，0)，SAOBSAOCSBOC 12341231152(3)B(4，1)，A(1，4)，根据图象可知：当x1 或 4x0 时，一次函数值大于反比例函数值 13(10分)(2014潍坊)如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处
20、时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60，求两海岛间的距离AB.解：如图，过点 A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 BFCD，交 CD 的延长线于点F，则四边形 ABFE 为矩形，所以 ABEF，AEBF，由题意可知 AEBF1 100200900，CD19 900.在 RtAEC 中，C45，AE900，CEAEtanC900tan45900，在 RtBFD 中，BDF60，BF90，BF900，DFBFtanBDF900tan60300 3，ABEFCDDFCE19 900300 390019 000300 3.答：两海岛之间的距离AB 是(19 000300 3)米 14(10 分)(2014泰州)某研究所将某种材料加热到1000时停止加热，并立即将材料分为A，B 两组，采用不同工艺做降温对比试验，设降温开始后经过x min 时，A，B 两组材料的温度分别为 yA，yB，yA，yB与 x 的函数关系式分别为 yAkxb，yB14(x60)2m(部分图象如图所示)，当 x40 时，两组材料的温度相同(1)分别求yA，yB关于x的函数关系式；(2)当A组材料的温度降至120 时，B组材料的温度是多少？(3)在0 x40的什么时刻，两组材料温差最大？
