1、Physics1数学知识补充数学知识补充2/22数学知识补充数学知识补充矢量矢量标量和矢量标量和矢量标量：只有大小，没有方向。标量：只有大小，没有方向。矢量：既有大小又有方向，且：矢量：既有大小又有方向，且：矢量的表示：矢量的表示：（PPT vs.教科书）教科书）矢量的矢量的模模和和单位矢量单位矢量模：矢量的大小，表示为模：矢量的大小，表示为 A或或 。单位矢量：模等于单位矢量：模等于1 1的矢量。的矢量。，A AAA e A B C AAeA 3/22数学知识补充数学知识补充单位矢量单位矢量空间直角坐标系（空间直角坐标系（Oxyz）中，）中，沿沿x、y、z 三个坐标轴三个坐标轴正方向正方向的
2、的单位矢量单位矢量zOxijky,ijkx轴单位矢量轴单位矢量y轴单位矢量轴单位矢量z轴单位轴单位矢量矢量大小？大小？方向？方向？数学知识补充数学知识补充矢量的坐标表示矢量的坐标表示矢量的坐标表示矢量的坐标表示空间直角坐标系空间直角坐标系Oxyz中，中，任一矢量都可分解任一矢量都可分解为沿坐标轴方向的为沿坐标轴方向的3 3个分矢量。个分矢量。xyzA xyA ij k xyzAAAA222 xyzAAAA：大大小小 cos/xAA ：方方向向cos/yAA cos/zAA xyzA iA jA k=yA xA zA O5/22数学知识补充数学知识补充矢量的加减法矢量的加减法矢量加减的矢量加减的
3、图示法图示法N个矢量的加法个矢量的加法A B CAB A B AB A B CAB 1A 15.AA2A 3A 4A 5A 6/22数学知识补充数学知识补充矢量的加减法矢量的加减法矢量加减法的矢量加减法的直角坐标表示直角坐标表示 （简洁，清晰的数学）（简洁，清晰的数学）xyzAA iA jA k=xyzBB iB jB k=xxyyzzABABiABjABk=数学知识补充数学知识补充两矢量的两矢量的标积标积定义：定义：标量标量直角坐标系单位矢量的标积直角坐标系单位矢量的标积 归一性：归一性：正交性：正交性：cosA BAB /ABA B/AB/BA 若若=0,或或 =p p/2,?A B 1
4、;i ij jk k=zOxijky 0.ijj kk i=8/22数学知识补充数学知识补充两矢量的标积两矢量的标积两矢量标积的坐标表式两矢量标积的坐标表式思考？思考？xxyyzzA BA BA BxxxyxzyxyyyzzxzyzzA i B iA i B jA i B kA j B iA j B jA j B kA k B iA k B jA k B k=xxxyA i B iA i B j=xzA i B k yxA j B i yyyzA j B jA j B kzxA k B i zyA k B j zzA k B k i ij ji ij j e ee e 0 0 (i ij j)
5、1 1 (i ij j)?A BB A()()xyzxyzA BA iA jA kB iB jB k 9/22s F scosAF s AF s 则则：可以写成两个矢量的可以写成两个矢量的标积标积(点积点积)。力对物体做的功：力对物体做的功：力在位移方向上的投力在位移方向上的投影和位移大小的乘积。影和位移大小的乘积。引入两个矢量：引入两个矢量：,F,s 矢量标积的例子矢量标积的例子eg 34,Fij，7,si yOx AF S 21.J(34)7iji数学知识补充数学知识补充矢量的矢量的矢积矢积定义：定义：直角坐标系的直角坐标系的单位矢量间的矢积单位矢量间的矢积CAB sin CAB 大大小小
6、：；方方向向：由由右右手手法法则则确确定定矢矢量量A B 若若=0,或或=p p/2,?AB zOxijky i ii ij jj jk kk k0 0 ，；i ij jk k j jk ki i k ki ij j?j ji iC 11/22数学知识补充数学知识补充矢量的矢积矢量的矢积两矢量矢积的坐标表式两矢量矢积的坐标表式思考？思考？()()xyzxyzABA iA jA kB iB jB k ()()()yzzyzxxzxyyxA BA B iA BA BjA BA B k xxA iB i=xyxzyxyyA iB jA iB kA jB iA jB jyzzxzyzzA jB kA
7、kB iA kB jA kB kxxxyxzyxyyyzzxzyzzA iB iA iB jA iB kA jB iA jB jA jB kA kB iA kB jA kB k=ijk?ABBA 12/22载流导线在均匀磁场中的载流导线在均匀磁场中的受力：受力：sinFBIL 受力大小：受力大小：受力方向：受力方向：ILB FI LB 垂直纸面向里垂直纸面向里大小：大小：方向：方向：矢量矢积的例子矢量矢积的例子L 利用利用“矢量的矢积矢量的矢积”运算符号，可将运算符号，可将 力矢力矢量量 简单表示为：简单表示为：F F 13/22数学知识补充数学知识补充矢量的矢积矢量的矢积两矢量矢积的行列式表
8、示两矢量矢积的行列式表示xxxyzyyxyzzzABAAAABBBBABiijkABjk 1 11 11 12 21 13 32 22 22 23 31 12 21 13 31 12 21 13 32 21 12 22 22 23 31 11 12 21 13 31 13 32 23 33 33 32 23 33 32 22 22 23 33 31 13 32 23 33 3a aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa a()()()yzzyzxxzxyyxA BA BiA BA BjA BA Bk
9、14/22数学知识补充数学知识补充标量标量函数的函数的微积分微积分标量函数的导数（微商）标量函数的导数（微商）()yf x 若若，d dyyx 则则0limxyx 0()()limxf xxf xx d,d15/22数学知识补充数学知识补充标量函数标量函数不定积分不定积分不定积分不定积分常用公式：常用公式：1d,1.1xxxC cos dsinxxxC 1dlnxxCx dxxexeC 即即 求原函数！求原函数！16/22数学知识补充数学知识补充标量函数标量函数定积分定积分定积分定积分牛顿莱布尼兹公式牛顿莱布尼兹公式()()Fxf x 若若，称，称 f(x)是是 F(x)的导函数，的导函数，F
10、(x)是是 f(x)的原函数的原函数221121()dd()()()xxxxf xxF xF xF x 即即 求和运算！求和运算！0()dlim()x bbaxx af xxf xx ,xxx ()yf x xbayO17/22微积分应用举例微积分应用举例微元分割微元分割&定积分定积分的思想，贯穿课程始终！的思想，贯穿课程始终！Eg1，求半径为，求半径为 R 的圆的面积。的圆的面积。2 r rp p 02 dRrrp p 2.Rp p rdro oRStep1，微元分割；，微元分割；Step2，求和，取极限；，求和，取极限；Step3，转变成定积分计算。，转变成定积分计算。0r Rr 0lim
11、x 18/22微积分应用举例微积分应用举例 2 2xyO若细杆质量均匀分布，若细杆质量均匀分布，每单位长度的质量为每单位长度的质量为 l l0，若质量分布若质量分布不均匀不均匀，l l(x)2x+1，则细杆的总质量为：则细杆的总质量为：Lml l0L。221100lim()lim(21)xxxxxxxxxxxxxxl l 0(2+1)dLxx ,xxx 2.LL 19/22数学知识补充数学知识补充矢量函数矢量函数的的导数导数一元矢量函数：一元矢量函数：可分解为：可分解为：一元矢量函数的一元矢量函数的导数导数（微商）（微商）Eg，()()()()xyzA tA t iA t jA t k (),
12、.AA t ddddddddyzxAAAAijktttt dd40trt ie jkt 则则2()25tr tt iejk 4 .tt ie j 20/22数学知识补充数学知识补充矢量函数矢量函数的的导数导数一元矢量函数：一元矢量函数：可分解为：可分解为：一元矢量函数的一元矢量函数的导数导数（微商）（微商）Eg，()()()()xyzA tA t iA t jA t k (),.AA t ddddddddyzxAAAAijktttt ddddddddrxyzijktttt ()()()()r tx t iy t jz t k 21/22数学知识补充数学知识补充 矢量函数矢量函数的的积分积分矢量
13、函数矢量函数积分的积分的坐标表式坐标表式d()(),dA tB tt 若若()()()()xyzB tBt iBt jB t k ()xyzA tA iA jA k 且且，()d,xxABtt ()d,yyABtt ()dzzAB tt 且满足且满足:(d(),A tB tt 则则:22/22数学知识补充数学知识补充矢量函数矢量函数的的积分积分矢量函数的矢量函数的定积分定积分d()()dA tB tt 若若，2211()dd()ttttB ttA t 21()ttA t 21()()A tA t ()dd()B ttA t 则则，23/22作业作业练习题：练习题：33(4),43 ,tAe i
14、tt jt kBit j 已已知知：?A B 求求：d()?dABt ()d?A Bt 1 10 0?AB d()?dA Bt ()d?ABt 1 10 0 24/22作业和考试中作业和考试中的书写规定的书写规定A 辨析：辨析：A B AB 中间的中间的点乘符号、叉乘符号点乘符号、叉乘符号不能丢！不能丢！10/?vm s sin?ABAB 10/,10/vm svm s 上面的上面的箭头箭头不能丢！不能丢！Physics2526/22三、牛顿三、牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba(牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式)定理
15、定理2.函数函数,则则27/22空间尺度（米）空间尺度（米）实物实物1026宇宙引力半径宇宙引力半径1023星系团星系团1020地球到银河系中心的距离地球到银河系中心的距离1016地球到最近恒星的距离地球到最近恒星的距离1011地球到太阳的距离地球到太阳的距离109太阳的半径太阳的半径108地球到月亮的距离地球到月亮的距离106地球半径地球半径103地球上高山地球上高山100人的身高人的身高10-5细菌细菌10-8大分子大分子10-10原子原子10-15核子核子 物质世界的空间尺度物质世界的空间尺度 28/22时间尺度（秒）时间尺度（秒）物质的运动周期、寿命物质的运动周期、寿命10101818
16、宇宙年龄宇宙年龄10101717地球年龄地球年龄10101515恐龙绝灭恐龙绝灭10101414出现古人类出现古人类10101111人类文明史人类文明史10109 9人类的寿命人类的寿命10107 7地球公转周期地球公转周期10106 6月球的周期月球的周期10104 4地球自转周期地球自转周期10100 0钟摆的周期钟摆的周期1010-3-3声波的周期声波的周期1010-6-6m m子的寿命子的寿命1010-8-8p p介子的寿命介子的寿命1010-16-16p p0 0介子的寿命介子的寿命1010-19-19S S0 0超子的寿命超子的寿命1010-25-25Z Z0 0（中间玻色子）的寿命（中间玻色子）的寿命物质世界的时标物质世界的时标
