1、一一、概率密度的概念与性质概率密度的概念与性质第二章三、内容小结三、内容小结二二、常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布第一节 连续型随机变量 及其分布密度(3)一、概率密度的概念与性质一、概率密度的概念与性质1.定义定义 对于随机变量对于随机变量X，若存在非负可积函数，若存在非负可积函数 p(x)(x R),使得使得X 的分布函数的分布函数 xdttpxF)()(.)(度度的的密密度度函函数数，或或概概率率密密为为Xxp)(xpy )(xF xxyo则称则称X为连续型随机变量为连续型随机变量,且称且称2.密度函数的性质密度函数的性质(1);0)(Rxxp (2);1)(dxxp(非
2、负性非负性)(规范性规范性)(3);)()()(dxxpaFbFbXaPba ,)(的密度函数的密度函数为为Xxp的的分分布布函函数数，则则为为XxF)(上连续；上连续；在在分布函数分布函数),()()5(xF(6).()()(xpxFxxp 处处连连续续，则则在在点点若若(4);0 cXP设设X为为连续型随机变量连续型随机变量,xxpbd)(证证(3).d)(xxpba xxpad)()()(aFbFbXaP )(bF b a)(aF)(xpy xyo1aXPaXP )(1aF .d)(xxpa 还可得还可得(4)对于任意可能值对于任意可能值c,连续型随机变量取连续型随机变量取 c 的的概率
3、等于零概率等于零.即即.0 cXP证证(4)0,cXccX.0 xxpccd)(lim0 0cXcPcXP 而而lim0cXcP .0 cXP注注.1bXaPbXaPX 为连续型随机变量，则为连续型随机变量，则若若bXaP bXaP 20)(APA=1)(APA=连续型随机变量的概率与区间的开闭无关连续型随机变量的概率与区间的开闭无关.0 aXP若连续型随机变量若连续型随机变量 X=a 是不可能事件是不可能事件,则有则有,0 aXP若若是是不不可可能能事事件件aX .0 aXP若若 X=a 为离散型随机变量为离散型随机变量,连连续续型型离离散散型型是是不不可可能能事事件件则则不不能能确确定定a
4、X .)3(;2)2(;,)1(:.,1,arcsin,0)(的概率密度的概率密度随机变量随机变量的值的值系数系数求求的分布函数为的分布函数为设连续型随机变量设连续型随机变量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX 例例1),()0()0(aFaFaF 故有故有解解(1)因为因为 X 是连续型随机变量是连续型随机变量,)()0()0(aFaFaF ,)(连续连续所以所以xF aaBAarcsin aaBAarcsinBA2 0即即BA2 ,1 .,1,arcsin,0)(axaxaaxBAaxxF.1 B .,1,arcsin121,0)(axaxaaxaxxF所所以以,21 A解之得解之得
5、)2(aF 0)2arcsin(121 aa6121 2)2(aXaP )(aF .32)()(xFxp 的的概概率率密密度度为为随随机机变变量量 X)3(.,0,122其其它它axaxa .,1,arcsin121,0)(axaxaaxaxxF 二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布分布名称分布名称 记号记号 分布密度分布密度均匀分布均匀分布X Ua,b ,0,1)(baxbaxabxp正态分布正态分布),(2 NX)0,(21)(222)(Rxexpx分布名称分布名称 记号记号 分布密度分布密度指数分布指数分布)(EX)0(0,00,)(常数常数xxexpx.,),(,0
6、,1)(baUXbaXbxaabxpX记记为为区区间间上上服服从从均均匀匀分分布布在在区区间间则则称称其其它它具具有有概概率率密密度度设设连连续续型型随随机机变变量量 boaxp )(概率密度概率密度函数图形函数图形1.均匀分布均匀分布(1)定义定义 .,1,0)(bxbxaabaxaxxF分布函数分布函数xo)(xF a b 1(2)均匀分布的性质均匀分布的性质若若 X Ua,b，则，则0 bXPaXP有有时时当当,bdca .abcddXcP (3)均匀分布的含义均匀分布的含义,Xba变变量量上上服服从从均均匀匀分分布布的的随随机机在在区区间间.,性性是是相相同同的的内内的的可可能能中中任
7、任意意等等长长度度的的子子区区间间落落在在区区间间ba)(xpablp lxo a bab 1 l背景：几何概型背景：几何概型 设随机变量设随机变量 X 在在 2,5 上服从均匀分布上服从均匀分布,现现对对 X 进行三次独立观测进行三次独立观测,试求至少有两次观测值试求至少有两次观测值大于大于3 的概率的概率.X 的分布密度函数为的分布密度函数为 .,)(其它其它05231xxp设设 A 表示表示“对对 X 的观测值大于的观测值大于 3”,解解即即 A=X 3.例例22 YP.2720 因而有因而有设设Y 表示对表示对 X进行进行3次独立观测中次独立观测中,观测值大于观测值大于3的次数的次数,
8、则则).32,3(BY)321()32(223 C0333)321()32(C3)(XPAP由由于于,32d3153 x2.正态分布正态分布(或或高斯分布高斯分布).,(,)0(,21)(22)(22NXXxexpXx记记为为的的正正态态分分布布或或高高斯斯分分布布服服从从参参数数为为则则称称为为常常数数其其中中的的概概率率密密度度为为设设连连续续型型随随机机变变量量 高斯资料高斯资料(1)定义定义;)1对称对称曲线关于曲线关于x ;21)(,)2xpx取得最大值取得最大值时时当当 ;0)(,)3xpx时时当当;)4处有拐点处有拐点曲线在曲线在x (2)正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函
9、数的几何特征;,)(,)6轴轴作作平平移移变变换换着着只只是是沿沿图图形形的的形形状状不不变变的的大大小小时时改改变变当当固固定定xxp;)5轴为渐近线轴为渐近线曲线以曲线以 x-.,)(,)7图形越矮越胖图形越矮越胖越大越大图形越高越瘦图形越高越瘦越小越小而形状在改变而形状在改变不变不变图形的对称轴图形的对称轴的大小时的大小时改变改变当固定当固定xp正态分布的分布函数正态分布的分布函数texFxtd21)(222)(正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差;人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸
10、正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景(3)正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算texFxtd21)(222)(xXP?原函数不是原函数不是初等函数初等函数方法一方法一:利用利用MATLAB软件包计算软件包计算方法二方法二:转化为标准正态分布查表计算转化为标准正态分布查表计算).1,0(,1,0),(2NN记记为为态态分分布布的的正正态态分分布布称称为为标标准准正正这这样样时时中中的的当当正正态态分分布布 标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为,21)(22 xe
11、xx 标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为.,d21)(22 xtexxt 标准正态分布的图形标准正态分布的图形性质：性质：x)(xy -x),1,0(NX若若则则其其分分布布密密度度述述性性质质：具具有有下下及及分分布布函函数数)()(xx 为为偶偶函函数数；)(x),(1)(xx ;21)0()(max xM数数表表示示；的的原原函函数数不不能能用用初初等等函函)(x；5.0)0(xyo)(x )(1x 121)(22dxedxxx 由由可得可得.222 dxex),(2 NX若若则其分布密度则其分布密度)0,(21)(222)(Rxexpx则则
12、若若),1,0(NX可查表可查表2，得，得)(xXPx 如：如：25.0XP5987.0)25.0(时时，当当0 x);(1)(xx 可可利利用用时时，当当0 x情形情形1.).()(abbXaP 计算方法：计算方法：.225.1),1,0(XPNX求求已已知知解解225.1 XP)25.1()2(8944.09772.0 .0828.0 例例3情形情形2.则则若若),(2 NX);1,0(NX 时时，有有为为常常数数，且且当当0,aba);,(22 abaNbaX bXaP),()(ab).(bbXP证证,RyXY 则则，令令 )(yFYyXPyYP yXPttpyd)(ytted21222
13、)(tu令令 yuued2122 )(y )1,0(NY).1,0(NX 即即)1,0(NXY bXaP bXaP bYaP).()(ab例例4某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制百分制),服从正态分布，平均成绩为服从正态分布，平均成绩为 72分，分，96分以上占考生总数的分以上占考生总数的2.3%,试求考生的外试求考生的外语成绩在语成绩在 60分至分至 84分之间的概率分之间的概率.解解依题意，考生外语成绩依题意，考生外语成绩 X),(2 N，且且其其中中72 023.096 XP96196 XPXP于于是是977.0023.01 96XP又又)9
14、6()24()7296(977.0)24(查表，知查表，知977.0)2(的的单单调调增增加加性性，得得由由)(x 224 12 )12,72(2NX因因而而8460 XP故故)127260()127284()1()1()1(1)1(1)1(2 查表，得查表，得841.0)1(682.01841.028460 XP3.指数分布指数分布.,0.0,0,0,)(分布分布的指数的指数服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 XxxexpXx 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如例如无线电元件的寿
15、命无线电元件的寿命,电力设备的寿命电力设备的寿命,动物的寿动物的寿命等都服从指数分布命等都服从指数分布.应用与背景应用与背景分布函数分布函数 .0 ,0,0,1)(xxexFx 设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为服从参数为=1/2000的指数分布的指数分布(单位单位:小时小时)(1)任取一只这种灯管任取一只这种灯管,求能正常使用求能正常使用1000小时以小时以上的概率上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以小时以上上,求还能使用求还能使用1000小时以上的概率小时以上的概率.0,0,0,1)(20001xxexFxX
16、 的分布函数为的分布函数为解解例例51000)1(XP10001 XP)1000(1F .607.021 e10002000)2(XXP10001000,2000 XPXXP10002000 XPXP .0,0,0,1)(20001xxexFx1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .607.021 e指数分布的重要性质指数分布的重要性质:“无记忆性无记忆性”.0,0,0,1)(20001xxexFx分布函数分布函数概率密度概率密度三、内容小结三、内容小结2.常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布 xttpxFd)()(.连续型随机变量连续型随机变量1均匀分布
17、均匀分布正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)指数分布指数分布 正态分布有极其广泛的实际背景正态分布有极其广泛的实际背景,例如测量例如测量误差误差;人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常正常情况下生产的产品尺寸情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度直径、长度、重量高度;炮弹的弹落点的分布等炮弹的弹落点的分布等,都服从或近似服从正态都服从或近似服从正态分布分布.可以说可以说,正态分布是自然界和社会现象中最正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布为常见的一种分布,一个变量如果受到大量微小一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响的、独立的随机因素的影响
18、,那么这个变量一般那么这个变量一般是一个正态随机变量是一个正态随机变量.3.正态分布是概率论中最重要的分布正态分布是概率论中最重要的分布另一方面另一方面,有些分布有些分布(如二项分布、泊松分布如二项分布、泊松分布)的极的极限分布是正态分布限分布是正态分布.所以所以,无论在实践中无论在实践中,还是在理还是在理论上论上,正态分布是概率论中最重要的一种分布正态分布是概率论中最重要的一种分布.二项分布向正态分布的转换二项分布向正态分布的转换解解1 xxpd)(由由,1d03 xKex,3 K得得 .,)(00033xxexpx得得xxpXPd)(.1010 xexd31.03 .7408.0.,.,)
19、(100003 XPKxxKexpXx并求并求试确定常数试确定常数的概率密度为的概率密度为设随机变量设随机变量例例1-1备份题备份题.0244,)5,0(2有有实实根根的的概概率率求求方方程程上上服服从从均均匀匀分分布布在在设设 kkxxk解解,12有有实实根根时时或或亦亦即即 kk,0)2(16162时时当当 kk则有实根的概率为则有实根的概率为.53d5152 xp例例3-1,0)1)(2()2(2时时即即 kkkk(1)所求概率为所求概率为89 XP)2(5.09089 )2(1 9772.01 .0228.0 解解?,99.080)2(.89,90)1().5.0,(,)(,.200至
20、少为多少至少为多少问问于于的概率不低的概率不低至少为至少为若要求保持液体的温度若要求保持液体的温度的概率的概率小于小于求求若若且且是一个随机变量是一个随机变量计计以以液体的温度液体的温度调节器整定在调节器整定在容器内容器内贮存着某种液体的贮存着某种液体的将一温度调节器放置在将一温度调节器放置在dXddNXCXCd 例例7-199.080)2(XP99.0801 XP99.0)80(1 F99.05.0801 d,01.099.015.080 d 327.20.5-80 d即即.1635.81 d例例8-1 某仪器装有某仪器装有3支独立工作的同型号电子元件，支独立工作的同型号电子元件，其寿命其寿
21、命(单位：小时单位：小时)都服从同一指数分布，都服从同一指数分布，分布密度为分布密度为 0,00,6001)(600 xxexpx试求在仪器使用的最初试求在仪器使用的最初 200小时内，至少有小时内，至少有一支电子元件损坏的概率一支电子元件损坏的概率.解解 设设 Xi=第第 i 支元件使用的寿命支元件使用的寿命 (i=1,2,3)BAi=在仪器使用最初在仪器使用最初200小时内，小时内，第第 i 支电子元件损坏支电子元件损坏 (i=1,2,3)iA 在仪器使用最初在仪器使用最初200小时内，小时内，第第 i 支电子元件未损坏支电子元件未损坏 (i=1,2,3)200)(iiXPAP则则 200
22、)(dxxp 20006006001dxex311 e设设 Xi=第第 i 支元件使用的寿命支元件使用的寿命 (i=1,2,3)(i=1,2,3)(1)(321AAAPBP )()()(1321APAPAP 3131)1(1 ee)(1)(iiAPAP (i=1,2,3).11 e例例8-2 假设一大型设备在任何长为假设一大型设备在任何长为t 的时间内的时间内发生故障的次数发生故障的次数 N(t)服从参数为服从参数为 t 的的泊松分布泊松分布.试求试求相继两次故障之间相继两次故障之间时间时间间隔间隔 T 的概率分布的概率分布.解解是是非非负负随随机机变变量量，所所以以依依题题意意，T时时，当当
23、0 t的的分分布布函函数数为为T)(tTPtF (P)=0时时，当当0 ttT 事事件件tT大大于于间间间间隔隔相相继继两两次次故故障障之之间间的的时时 Tt的的时时间间间间隔隔小小于于相相继继两两次次故故障障之之间间 时时间间内内，未未发发生生故故障障在在t 0)(tNTt)0(1 tet tet !0)(0te 1)(tTPtTPtF 故故0)(tNPtTP 0,00)()(ttetFtpt 从而从而).(ET即即 设电阻值设电阻值R是一个随机变量是一个随机变量,均匀分布在均匀分布在900欧欧1100欧欧.求求R的概率密度及的概率密度及R 落在落在950欧欧1050欧的概率欧的概率.解解由
24、题意由题意,R 的概率密度为的概率密度为 .,),()(其其它它0110090090011001rrp故有故有1050950 RP.5.0d20011050950 r例例3例例4.5分分钟钟有有一一辆辆汽汽车车通通过过某某公公共共汽汽车车站站，每每隔隔一一位位乘乘客客不不知知道道上上去去车车一一到到，候候车车者者都都可可以以.他他在在任任一一时时刻刻到到达达车车汽汽车车通通过过该该站站的的时时间间，.3.分分钟钟的的概概率率求求他他等等车车不不超超过过站站是是等等可可能能的的分析分析 1 等候时间为等候时间为 0 5分钟的任一时间分钟的任一时间;(无限性无限性)2 等可能性等可能性.属几何概型
25、属几何概型解解，则则设设他他等等候候汽汽车车的的时时间间为为 X5,0UX 5,0,05,0,51)(xxxp所求概率所求概率:dxxpXP 30)(306.0535130 dx.)(;)(;)(.,)(2713210432230 XPXkxxxkxxpX求求的分布函数的分布函数求求确定常数确定常数其它其它具有概率密度具有概率密度随机变量随机变量设设解解,1d)()1(xxp由由例例1的概率密度为的概率密度为知知由由Xk61)2(,1d0d)22(dd0430430 xxxxkxx得得.61 k解之得解之得 .,0,43,22,30,)(其其它它xxxkxxp .,0,43,22,30,6)(
26、其它其它xxxxxp ,0,0)(xxF得得由由 xxxpxFd)()()2(.,0,43,22,30,6)(其其它它xxxxxp,30 x,d60 xxx,43 x,d)22(d6330 xxxxx.4 x,1 .4,1,43,423,30,12,0,0)(22xxxxxxxxF即即271)3(XP)1()27(FF .4841 Born:30 April 1777 in Brunswick,Duchy of Brunswick(now Germany)Died:23 Feb 1855 in Gttingen,Hanover(now Germany)Carl Friedrich GaussGaussGauss
