1、高三数学试题答案 第 1 页（共 8 页）吉林市普通中学吉林市普通中学 2022202220232023 学年度高三毕业年级第四次调研测试学年度高三毕业年级第四次调研测试数学数学试题试题参考答案参考答案一、单项一、单项选择题：选择题：本大题共本大题共 8 小小题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 40 分分12345678BACDAABB二二、多项选择题多项选择题：本大题共本大题共 4 小小题题，共共 20 分分全部选对的得全部选对的得 5 分分，部分选对的得部分选对的得 2 分分，有选错的得有选错的得 0分分教学提示：教学提示：4选选项项 D，可以参考人教，可以参考人教 A 版版选择性必修
2、三第选择性必修三第8281页，探究与发现二项分布的性页，探究与发现二项分布的性质质，研读如何利用分布列的表达式研究研读如何利用分布列的表达式研究kP的增减变化及最大值的增减变化及最大值，并掌握当并掌握当Pn)1(为为正整数及非正整数时正整数及非正整数时k的取值情况的取值情况5.针对函数针对函数xxln)xf(，了解函数图象的变化情况（指导学生阅读人教，了解函数图象的变化情况（指导学生阅读人教 A 版选择性版选择性必修二第必修二第 68 页例页例 4 和第和第 89 页例页例 4），体会极值点左侧图象体会极值点左侧图象“陡峭陡峭”，右侧图象右侧图象“平缓平缓”，如图所示：如图所示：)3()3(2
3、eff 利用极值点偏移，对于函数利用极值点偏移，对于函数xxlnxf)(，当，当)()(21xfxf 且且21xx 时，时，221exx.设设)()3(02xfef 且且320ex 则则 2203eex)3()3()3()(3200feffxfx 补充：补充：程度较好的学生熟练掌握六种经典函数图象（单调性、极值点、零点）：程度较好的学生熟练掌握六种经典函数图象（单调性、极值点、零点）：xxxexy,xlnxy,xey,xxlny,xey,xlnxy 7法一：法一：由杨辉三角中观察得可得由杨辉三角中观察得可得2010631 .推广，得到推广，得到3221242322 nnCCCCC即即322)1
4、(243232221 nCnn由题意，由题意，2021层层“刍童垛刍童垛”小球的总个数为小球的总个数为)1(22023202254433232024 CS法二：法二：指导学生阅读指导学生阅读人教人教 A 版版选择性必修二第选择性必修二第 4243 页，阅读与思考中国古代数学家求数列页，阅读与思考中国古代数学家求数列和的方法和的方法.可以结合人教可以结合人教 A 版选择性必修三版选择性必修三 3942 页数学探究页数学探究杨辉三角的性质与应用杨辉三角的性质与应用，探探索堆垛问题以及高阶等差数列的求和方法索堆垛问题以及高阶等差数列的求和方法.由已知顶层由已知顶层6个圆球，设为个圆球，设为321 a
5、，向下每边依次加，向下每边依次加1个，个，第第n层层23)2()1(2 nnnnan个个.利用分组求和法，得到利用分组求和法，得到n层层“刍童垛刍童垛”小球的总个数为小球的总个数为9101112ACADADABC高三数学试题答案 第 2 页（共 8 页）2223)3)(2)(1(2365)1(222)1(236)12)(1(2)21(3)21(23)2232()2131(232222222 nnCnnnnnnnnnnnnnnnnnS即即2021层层“刍童垛刍童垛”小球的总个数为小球的总个数为2232024 CS.11统计数据来源于国家统计局网站统计数据来源于国家统计局网站，选项的命制主要根据网
6、站公布数据的解释说明选项的命制主要根据网站公布数据的解释说明为使学生深为使学生深刻体会数学的实用性刻体会数学的实用性，结合本题的实际特点结合本题的实际特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会体会合理使用统计图表的重要性合理使用统计图表的重要性三三、填空题：、填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分，共分，共 20 分分其中第其中第 16 题的第一个空填对得题的第一个空填对得 2 分，分，第二第二个空填对得个空填对得 3 分分133141152116 6；33643332,（注：可以用不等关系表示）（注：可以用不等关系表示）教学
7、教学提示：提示：16过过P作作 PH平面平面ABC垂足为垂足为H,则则3060 PBH,PAH333 BHPHPBHtan,AHPHPAHtanAHBH3 H点轨迹是半径为点轨迹是半径为3的圆（阿波罗尼斯圆），即轨迹长为的圆（阿波罗尼斯圆），即轨迹长为 6易知易知3432342,AHPH,AH ，33643332316)8421(31,PHPHV四四、解答题、解答题17【解析】【解析】（）由由bacAsin26 ）（，得：，得：acAcosbAsinb 3由正弦定理，得由正弦定理，得AsinBAsinAsinCsinBsinAcosBsinAsin ）（3整理得：整理得：AsinBcosAsi
8、nBsinAsin 3因为因为0 Asin，所以，所以13 BcosBsin3 分分两边平方得，消两边平方得，消Bsin，得，得0122 BcosBcos解得解得:21 Bcos或或1 Bcos（舍去）（舍去）又又)0(,B，所以，所以3 B5 分分（也可化简为（也可化简为21)6(Bsin求得求得B）（）法一：法一：高三数学试题答案 第 3 页（共 8 页）因为因为212222 acbcaBcos且且332 Bsinb所以：所以：acca 922 7 分分所以所以9439322 ）（）（caacca所以所以6 ca，当且仅当，当且仅当3 ca时，取时，取“”号号所以所以ABC的周长的周长9
9、cba，即当即当3 ca时，时，ABC的周长最大值为的周长最大值为910 分分法二：法二：设设ABC的外接圆半径为的外接圆半径为R，因为因为RCsincBsinbAsina2 ，所以所以AsinAsinRa322 ，32 BsinRb，AsinAcosAsinABsinCsinCsinRc3333232322 ）（）（7 分分所以所以ABC的周长的周长AsinAcosAsincba33332 3333 AsinAcos366 ）（Asin因为因为）（320,A，所以，所以）（6566,A 当当3 A时，时，）（6 Asin的最大值的最大值1，此时，此时ABC的周长的最大值为的周长的最大值为91
10、0 分分（注：没有写清取等条件扣（注：没有写清取等条件扣 1 分）分）18【解析】【解析】（）对于有放回抽检，每次抽到混合动力汽车的概率为对于有放回抽检，每次抽到混合动力汽车的概率为41，且各次抽检结果是独立的，且各次抽检结果是独立的，设设1X为有放回抽检的混合动力汽车的台数，则为有放回抽检的混合动力汽车的台数，则)41,2(1BX，1X可取可取2,1,0，169)43()0(21 XP；834143)1(121 CXP；161)41()2(21 XP.1X的分布列如下：的分布列如下：1X012P16983161则则2116128311690)(1 XE 4 分分对于不放回抽检对于不放回抽检，
11、各次抽检的结果不独立各次抽检的结果不独立，设设2X为不放回抽检的混合动力汽车的台数为不放回抽检的混合动力汽车的台数，则则2X服从超服从超几何分布，几何分布，2X可取可取2,1,0，476267)0(21202902 CCXP；476180)1(21201901302 CCCXP；47629)1(21202302 CCXP.2X的分布列如下：的分布列如下：2X012P47626747618047629则则2147629247618014762670)(2 XE.8 分分注：也可按照下面步骤作答注：也可按照下面步骤作答.高三数学试题答案 第 4 页（共 8 页）1X的分布列为的分布列为2,1,0,
12、)41()43()(221 kCkXPkkk，21412)(1 XE.2X的分布列为的分布列为2,1,0,)(2120290302 kCCCkXPkk，21120302)(2 XE.（）样本中混合动力汽车的比例）样本中混合动力汽车的比例1010Yf 是一个随机变量，根据参考数据，是一个随机变量，根据参考数据，有放回抽取：有放回抽取：865560146000250280281570187710)41()150250(10.YP.|.f|P 不放回抽取：不放回抽取：881400147010261340290510182540)41()150250(10.YP.|.f|P 10 分分因为因为8814
13、0.086556.0，所以，在相同的误差限制下，采用不放回抽取估计的结果更可靠所以，在相同的误差限制下，采用不放回抽取估计的结果更可靠.12 分分（注：注：（）问，可以参考人教问，可以参考人教 A A 版选择性必修三第版选择性必修三第 7979 页例页例 6 6，分别就放回抽样和不放回抽样，分别就放回抽样和不放回抽样，用样本中的某类品的比例估计总体中这类品的比例用样本中的某类品的比例估计总体中这类品的比例，定量地比较估计效果定量地比较估计效果，用概率的方法解释直用概率的方法解释直观常识观常识。对用同一抽取模型对用同一抽取模型，两个分布的均值相同两个分布的均值相同，从两种分布的概率分布看从两种分
14、布的概率分布看，或者从方差的大或者从方差的大小比较（超几何分布的方差较小），都反应超几何分布更集中于均值附近小比较（超几何分布的方差较小），都反应超几何分布更集中于均值附近）19.解析：解析：（）CEAB|四边形四边形ABCE是平行四边形是平行四边形BC/AE，AE平面平面PAE，BC平面平面PAE/BC平面平面PAE2 分分 BC平面平面PBC，平面，平面PAE平面平面lPBC l/BC 4 分分（）法一：法一：1|EB|EC|EP|EA|，323 EA,EC,EA,EP设设 EC,EP，)3(,点点T到直线到直线EB的距离的距离22)(EBETETd 7 分分22)(2)2(ECEAECE
15、PECEP 21)21(112111)211(21 ECEPECEP2)1()22(21 ECEPECEP2)(121ECEP 2121cos sin21 10 分分)3(,10(,sin 210(,d 即点即点T到直线到直线EB的距离的取值范围是的距离的取值范围是210(,12 分分法二：法二：取取AE中点中点O，连接，连接OB，OPABE 是等边三角形是等边三角形OEOB 以以O为原点为原点，OB,OE所在直线为所在直线为x轴轴，y轴轴，过过O作平面作平面ABCE的垂线为的垂线为z轴轴，建立空间直角坐建立空间直角坐标系标系xyzO ，如图所示，如图所示设设)0(POB，则则)23230(s
16、in,cos,P，)0231(,C，)0021(,E，)0230(,B高三数学试题答案 第 5 页（共 8 页）)43)1(4321(sin,cos,T)43)1(43(0 sin,cos,ET ，)02321(,EB )1(83)1(2343 coscosEBET6 分分点点T到直线到直线EB的距离的距离22)(EBETETd 7 分分222)1(83)43()1(43 cossincos 22)1(4143sincos 523832 coscos10 分分11 cos当当31 cos时，时，21 maxd；当；当1 cos时，时，0d即点即点T到直线到直线EB的距离的取值范围是的距离的取值
17、范围是210(,12 分分法三：法三：提示：也可设提示：也可设)430(2t,t,P 整理得整理得16154343212 ttd当当63 t时，时，21 maxd；当；当23 t时，时，0d（命题意图及教学建议（命题意图及教学建议：关注投影向量概念及意义的教学关注投影向量概念及意义的教学，体会课标中体会课标中“能用向量方法解决点到直线能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行直线、相互平行的平面的距离问题和简单的夹角问题点到平面、相互平行直线、相互平行的平面的距离问题和简单的夹角问题”的这一要求的这一要求）20【解析】【解析】（）令令1 n时时2221212 aaaS01 a22 a 1 分
18、分221 nnSS2 n时时221 nnSS，相减得，相减得nnaa21 3 分分,n,n,ann21201 4 分分（）由）由（）知）知2212)(nalogbnn 5 分分令令nnnnnbac221 ，则，则1223222232221232122)1(2221 22232221 nnnnnnnnTnccccT相减得：相减得：1232122)12(252321 nnnnnT7 分分令令1323212)12(2)32(2321 22)12(252321 nnnnnnnGnG相减得：相减得：xOylz高三数学试题答案 第 6 页（共 8 页）62)32(2)12(21)21(222)12()22
19、2(222)12(2222222111131321321 nnnnnnnnnnnnG62)32(1 nnnG10 分分121262)32(nnnnnT62)32(12 nnnnT12 分分21【解析】【解析】（）11222 byx,a故当直线故当直线l过过)02(,与双曲线与双曲线C有且仅有一个公共点时，有且仅有一个公共点时，l应与应与C的渐近线平行的渐近线平行设直线设直线)2(xbyl：，即，即02 bybx，则点，则点B到直线到直线l的距离为的距离为2212 bb，1 b即双曲线即双曲线C的标准方程为：的标准方程为：122 yx 4 分分（或设（或设2 myxl：，由点，由点B到直线到直线
20、l的距离为的距离为22112 md，得，得1 m1 b）（）（）（）由题可知，直线）由题可知，直线l斜率不为斜率不为0设直线设直线)()(22211y,xB,y,xA,myxl ：由由 2122myxyx得：得：034)1(22 myym)01(2 m01242 m成立成立1314221221 myy,mmyy)(432121yyymy 6 分分11222111 xyk,xyk121221211221121122123)1()3()1()1(11yymyyymymyymyyxyxyxyxykk 343414943)(433)(432121121221 yyyyyyyyyy所以存在实数所以存在实
21、数3 ，使得，使得12kk 成立成立.9 分分（注：请老师阅卷时注意非对称问题方法不唯一）（注：请老师阅卷时注意非对称问题方法不唯一）（）直线）直线)1(1 xkyAP：，直线，直线)1(:2 xkyBQ联立得：联立得：2131112 xkkxx所以直线所以直线AP和和BQ交点交点E的轨迹方程为：的轨迹方程为：21 x12 分分22【解析】【解析】（）法一：法一：0)()(xmmxlnxxf在在)0(，上恒成立上恒成立高三数学试题答案 第 7 页（共 8 页）0 xmmxln在在)0(，上恒成立上恒成立设设221)()(xmxxmxxg,xmmxlnxg 当当0 m时，时，0)(xg恒成立恒成
22、立)(xg在在)0(,上单调递增，且上单调递增，且0)1(g)10(,x 时，时，0)(xg不符合题意，舍去不符合题意，舍去当当0 m时，令时，令0)(xg，则，则mx ；令；令0)(xg，则，则mx 0.)(xg在在)0(m,上单调递减，在上单调递减，在)(,m上单调递增上单调递增01)()(mmlnmgxgmin2 2 分分设设1)(xxlnxh，xxxh 1)(令令0)(xh，则，则10 x；令；令0)(xh，则，则1 x.)(xh在在)10(,上单调递增，在上单调递增，在)1(,上单调递减上单调递减0)1()(hxhmax，即当，即当0)(mh时，时，1 mm的取值范围是：的取值范围是
23、：1 m4 4 分分法二：法二：0)(0)1(xff，在在)0(，上恒成立上恒成立)1(f是是)(xf上最小值，也是极小值上最小值，也是极小值01)1(1)(mfmxlnxf，即，即1 m2 2 分分当当1 m时，时，xlnxfxxlnxxf )(1)(，令令0)(xf，则，则1 x；令；令0)(xf，则，则10 x)(xf在在)10(，上单调递减，在上单调递减，在)1(，上单调递增上单调递增即即0)1()(fxfmin，满足：，满足：0)(xf在在)0(，上恒成立上恒成立1 m 4 4 分分法三：法三：当当1 x时，时，00)(xf恒成立，恒成立，Rm 1 1 分分当当1 x时，时，1 xx
24、lnxm恒成立，设恒成立，设)(xu1 xxlnx，)(xu 2)1(1 xxlnx设设)(xvxlnx 1，)(xv 011 x)(xv在在)1(,上单调递增，上单调递增，0)1()(vxv，0)(xu，)(xu在在)1(,上单调递增上单调递增当当 1x时，时，0 xlnx，01 x，)(xu1 xxlnx为为“00”型型由洛必达法则得由洛必达法则得)(1xulimx 1xlim1 xxlnx 1xlim111 xln当当1 x时，时，1)(xu，即，即1 m2 2 分分当当10 x时，时，1 xxlnxm恒成立，设恒成立，设)(xu1 xxlnx，)(xu 2)1(1 xxlnx设设)(x
25、vxlnx 1，)(xv 011 x)(xv在在)10(,上单调递减，上单调递减，0)1()(vxv，0)(xu，)(xu在在)10(,上单调递增上单调递增当当 1x时，时，0 xlnx，01 x，)(xu1 xxlnx为为“00”型型由洛必达法则得由洛必达法则得)(1xulimx 1xlim1 xxlnx 1xlim111 xln高三数学试题答案 第 8 页（共 8 页）当当10 x时，时，1)(xu，即，即1 m综上，综上，m的取值范围是：的取值范围是：1 m 4 4 分分（）由（）由（）知，）知，0)(xh，即，即1 xxln在在)0(，上恒成立（当且仅当上恒成立（当且仅当1 x时取等）
26、时取等）令令nx311 ，则，则nnln31)311(6 6 分分21)311(21311)311(31313131)311()311()311(2121 nnnnlnlnln即即eken ，)311()311)(311(21又又13111 且且Zk，k的最小值为的最小值为28 8 分分（注：重新构造新函数得出（注：重新构造新函数得出nnln31)311(也可以）也可以）（）不等式不等式1 xxln在在)0(，上恒成立（当且仅当上恒成立（当且仅当1 x时取等）时取等）令令202311 x，则，则20231)202311(ln，即，即e1)20242023(2023 10 分分令令202411 x，则，则20241)202411(ln，即，即e1)20242023(2024 故故20232024)20242023(1)20242023(e 12 分分
