1、众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。专题二 高中数学（必修一）三大函数精讲一 引入 为何要学习这三大函数（幂函数、指数函数、对数函数），为何这三大函数在高中数学所处地位是如此之高，而又为何在高中数学学习的开始就引入这三个函数，相信这是许多学生所关心、所疑问的。为此，笔者首先给出几个这三大函数在现实中应用的例子。1.幂函数的现实应用的例子产品的数量与价格构成一次函数，炮弹的运动轨迹可以近似看作是二次函数，利润的分配与人数构成反比例函数。2.指数函数的现实应用的例子某国在2012年人口为a万人，根据监测，预计未来十年人口的年平均增长率为b，则十年后该国的人口有多少人？某国今年初的GDP为
2、m，预计未来5年的年平均增长率为n，求五年后该国的GDP为多少？3.对数函数的现实应用的例子某国在2012年人口为a万人，十年后该国的人口为b，那么人口的每年平均增速为多少？某国今年初的GDP为m，五年后该国的GDP为n，为了保证达到该目标，那么该国每年平均的增率至少为多少？总结：细心的读者可以看到，指数函数与对数函数仿佛有种对应的关系，就像乘除一样。是的，他们之间的确存在这种关系，数学上称这为反函数。从上面的几个例子可以看出，这三大函数在现实社会中有广泛的应用，这可以说是直接回答了引入中的问题。可见，这三大函数是多么的重要。接下来，我们将具体讲解这三大函数。二 幂函数1.定义一般地，形如（R
3、）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数。如等都是幂函数。2.图像 3.特性（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义。必过定点（1，1）即=1，=1 ！（2）0时，幂函数的图象都通过原点，并且在0，+上，是增函数（3）0时，幂函数的图象在区间（0，+）上是减函数.4 .经典例题（1）设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（ ） A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4）三 指数函数1.定义：形如的函数称为指数函数。2.图像3.定义域：R必过定点（0，1），即当=0，=1 ！4.值域：（0，+）5.奇偶性：非奇非偶6.单调性（1）若a1，则f（x）在R上是增函数；（2）
4、若0a1，则f（x）在（0，+）上是增函数；（2）若0a1，则f（x）在（0，+）是上减函数。7.周期性：不具备8.对数运算法则（1）（2）（3）（4）（5）（6）(7) 换底公式9.经典例题(1) 一片森林面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时。所用时间是10年，为保护生态环境森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，求： (1)到今年为止：该森林已砍伐了多少年？ (2)今后最多还能砍伐多少年?解：（1）设每年降低的百分比为x（0x1）。设经过M年剩余面积为原来的，则又到今年为止，已砍伐了5年(6分)（2）设从今天开始，以后砍了
5、N年，则N年后剩余面积为由题意，有即，由（1）知，化成故今后最多还能砍伐15年(2)方程log2(x+4)= x3的根的情况是 （ C ）A仅一个正根B有两正根C有两负根D有一正根和一负根(3)= 1 五 课后反思1.幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数。2.指数函数与对数函数互为反函数，切记！3.仔细研读三大函数的图像，做到烂熟于心、随手能画。4.函数零点：我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，即方程的根。六 高考真题一、选择题1.【2012高考安徽文3】（）（4）=（A） （B） （C）2 （D）4【答案】D2.【2012高考新课标文11】当0x时
6、，4xlogax，则a的取值范围是 （A）(0，) （B）(，1) （C）(1，) （D）(，2)【答案】B3.【2012高考山东文3】函数的定义域为 (A) (B) (C) (D)【答案】B6.【2012高考重庆文7】已知，则a,b,c的大小关系是（A） （B） （C） （D） 【答案】B7.【2012高考全国文11】已知，则（A） （B） （C） （D） 【答案】D8.【2012高考全国文2】函数的反函数为（A） （B） （C） （D） 【答案】B9.【2012高考四川文4】函数的图象可能是（ ）【答案】15.【2012高考湖北文6】已知定义在区间0,2上的函数y=f(x)的图像如图所示，
7、则y=-f(2-x)的图像为 【答案】B18.【2102高考北京文5】函数的零点个数为（A）0 （B）1（C）2 （D）3【答案】B19.【2012高考天津文科4】已知a=21.2，b=-0.2，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（A）cba （B）cab C）bac （D）bca【答案】A二、填空题31.【2102高考北京文12】已知函数，若，则_。【答案】234.【2012高考江苏5】（5分）函数的定义域为 【答案】。三、解答题36.【2012高考上海文20】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知（1）若，求的取值范围（2）若是以2为周期的偶函数
8、，且当时，求函数（）的反函数【答案】37.【2012高考江苏17】（14分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由【答案】解：（1）在中，令，得。 由实际意义和题设条件知。 ，当且仅当时取等号。 炮的最大射程是10千米。 （2），炮弹可以击中目标等价于存在，使成立， 即关于的方程有正根。 由得。 此时，（不考虑另一根）。 当不超过6千米时，炮弹可以击中目标。9专题二 高中数学（必修一）三大函数精讲
