1、中考数学最值问题总结考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。（2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题）问题原型：饮马问题 造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值 二次函数顶点） 出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”几何基本模型：B条件：如下左图， A 、 B 是直线l 同旁的两个定点A问题：在直线l 上确定一点 P ，使 PA + PB 的值最小l方法：作点 A 关于直线l 的对称点 A，连结 AB 交l 于P点 P ，则 PA + PB = AB 的值
2、最小A例 1、如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN， 连接 EN、AM、CM（1） 求证：AMBENB；（2） 当 M 点在何处时，AM+CM 的值最小；当 M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由；（3） 当 AM+BM+CM 的最小值为时，求正方形的边长。例 2、如图 13，抛物线 y=ax2bxc(a0的)顶点为（1,4），交 x 轴于 A、B，交 y 轴于 D，其中 B 点的坐标为（3,0）（1） 求抛物线的解析式（2） 如图 14，过点 A 的直线与抛物线交于
3、点 E，交 y 轴于点 F，其中 E 点的横坐标为 2， 若直线 PQ 为抛物线的对称轴，点G 为 PQ 上一动点，则x 轴上是否存在一点 H，使D、G、F、H 四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H 的坐标；若不存在，请说明理由.（3） 如图 15，抛物线上是否存在一点 T，过点 T 作 x 的垂线，垂足为 M，过点 M 作直线MNBD，交线段AD 于点 N，连接MD，使DNMBMD，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，说明理由.例 3 、如图 1，四边形AEFG 与 ABCD 都是正方形，它们的边长分别为a,b(b2a且),点 F 在 AD 上（以下问题的结果可用a,b
4、表示）（1） 求S DBF;(2) 把正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转 450 得图 2,求图 2 中的S DBF;(3) 把正方形AEFG 绕点A 旋转任意角度,在旋转过程中,S DBF 是否存在最大值,最小值?如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。1例 4 、如图，在平面直角坐标系中，直线y= x+1 与抛物线 y=ax22+bx - 3 交于 A，B 两点，点 A 在 x 轴上，点B 的纵坐标为 3。点P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点（不与A，B 重合），过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 与点 C，作 PDAB 于点 D（1） 求 a，b 及sin A
5、CP 的值（2） 设点 P 的横坐标为m用含m 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值；连接 PB，线段 PC 把PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为 9：10？若存在，直接写出m 值；若不存在，说明理由.3例 5 、如图，C 的内接AOB 中，AB=AO=4，tanAOB= 4 ,抛物线 y = ax2 + bx 经过点A(4,0)与点（-2,6）.（1） 求抛物线的函数解析式；（2） 直线m 与C 相切于点A，交y 于点 D.动点P 在线段OB 上，从点O 出发向点B 运动；同时动点 Q 在线段DA 上，从点 D 出发向点A 运动；点
6、 P 的速度为每秒 1 个单位长，点Q 的速度为每秒 2 个单位长，当PQAD 时，求运动时间t 的值；（3） 点R 在抛物线位于x 轴下方部分的图象上，当ROB面积最大时，求点R 的坐标.例 1、证明：（1）ABE 是等边三角形，BA=BE，ABE=60MBN=60，MBN-ABN=ABE-ABN即MBA=NBE 又MB=NB，AMBENB（SAS）（5 分）解：（2） 当 M 点落在 BD 的中点时，A、M、C 三点共线，AM+CM 的值最小（7 分）如图，连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时， AM+BM+CM 的值最小（9 分）理由如下：连接 MN，由（1）知，AMB
7、ENB，AM=EN，MBN=60，MB=NB，BMN 是等边三角形BM=MNAM+BM+CM=EN+MN+CM（10 分）根据“两点之间线段最短”，得 EN+MN+CM=EC 最短当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM 的值最小，即等于 EC 的长（11分）例 2 、 解：（1）设所求抛物线的解析式为： y = a(x -1)2 + 4 ，依题意，将点B（3，0）代入，得： a(3 -1)2 + 4 = 0解得：a1所求抛物线的解析式为：y = -(x -1)2 + 4（2）如图 6，在 y 轴的负半轴上取一点 I，使得点 F 与点 I 关于 x 轴对称，在 x 轴上取一
8、点 H，连接 HF、HI、HG、GD、GE，则 HFHI设过 A、E 两点的一次函数解析式为：ykxb（k0），点 E 在抛物线上且点 E 的横坐标为 2，将 x2 代入抛物线 y = -(x -1)2 + 4 ，得y = -(2 -1)2 + 4 = 3点 E 坐标为（2，3）又抛物线 y = -(x -1)2 + 4 图像分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B、D当 y0 时， -(x -1)2 + 4 = 0 ，x1 或 x3当 x0 时，y143,点 A（1，0），点 B（3，0），点 D（0，3）又抛物线的对称轴为：直线 x1，点 D 与点 E 关于 PQ 对称，GDGE分别将点 A（
9、1，0）、点 E（2，3）代入 ykxb，得：-k + b = 0k = 12k + b = 3解得：= 1b过 A、E 两点的一次函数解析式为：yx1当 x0 时，y1点 F 坐标为（0，1） DF =2又点 F 与点 I 关于 x 轴对称，点 I 坐标为（0，1） EI =DE2 + DI 2 =22 + 42 = 2 5又要使四边形 DFHG 的周长最小，由于 DF 是一个定值，只要使 DGGHHI 最小即可由图形的对称性和、，可知，DGGHHFEGGHHI只有当 EI 为一条直线时，EGGHHI 最小设过 E（2，3）、I（0，1）两点的函数解析式为： y = k x + b (k 0
10、) ，111分别将点 E（2，3）、点 I（0，1）代入 y = k x + b ，得：112k + b = 311b = -11k = 2解得： 1b = -11过 A、E 两点的一次函数解析式为：y2x11当 x1 时，y1；当 y0 时，x 2 ；1点 G 坐标为（1，1），点 H 坐标为（ 2 ，0）四边形 DFHG 的周长最小为：DFDGGHHFDFEI 由和，可知：DFEI 2 + 2 5四边形 DFHG 的周长最小为2 + 2 5 。（3） 如图 7，由题意可知，NMDMDB，NM要使，DNMBMD，只要使MD= MD 即可，BD即： MD2 = NM BD设点 M 的坐标为（a
11、，0），由 MNBD，可得AMNABD， NM = AM BDAB再由（1）、（2）可知，AM1a，BD 3 2 ，AB4 MN =AM BD = (1+ a) 3 2 = 3 2(1+ a)AB44 MD2 = OD2 + OM 2 = a2 + 9 ，式可写成：a2 + 9 = 3 2 (1+ a) 3 24解得： a = 3 或a = 3 （不合题意，舍去）23点 M 的坐标为（ 2 ，0）又点 T 在抛物线 y = -(x -1)2 + 4 图像上，315当 x 2 时，y 2315点 T 的坐标为（ 2 ， 2 ）.例 3 、解：（1）点 F 在 AD 上，AF2=a2a2，即AF=
12、 2a 。1113 DF = b - 2a 。 SDDBF=DF AB =（ b - 2a） b =b2 -ab 。 2222（2） 连接DF，AF，由题意易知AFBD，四边形AFDB 是梯形。DBF 与 ABD 等高同底，即BD 为两三角形的底。由 AFBD，得到平行线间的距离相等，即高相等，1 SDDBF= SDABD=b2 。2（3） 正方形 AEFG 在绕A 点旋转的过程中，F 点的轨迹是以点A 为圆心，AF 为半径的圆。第一种情况：当b2a 时，存在最大值及最小值，BFD 的边BD= 2b ，当 F 点到 BD 的距离取得最大、最小值时，S BFD 取得最大、最小值。如图，当DFBD
13、 时，S的最大值= 1 2b (2 b + 2a) = b2 + 2ab ， BFD222S的最小值= 1 2b (2 b - 2a) = b2 - 2ab 。 BFD222第二种情况：当b=2a 时，存在最大值，不存在最小值，S BFD的最大值= = b2 + 2ab 。2例 4 、解：（1）由 1 x+1=0 ，得到x=2，A （2，0）。2由 1 x+1=3 ，得到x=4，B （4，3）。2 y=ax2+bx3 经过A 、B 两点，a= 14a2b 3=02，解得。16a+4b3=3b=12设直线AB 与 y 轴交于点E，则E（0，1）。根据勾股定理，得AE=5 。PC y 轴，ACP=
14、 AEO 。 sin ACP=sinAEO= OA22 5 。AE551 21（2）由（1）可知抛物线的解析式为y=x2x3 。2111由点P 的横坐标为m ，得P m ， m 2m3 ，C m ， m+1。2221111PC=m+1m 2m3m 2 +m+4 。2222在 RtPCD 中， PDPC sin ACP=1m 2 +m+42 5 =5 m1 2 + 9 5 ，25555 0 ，当 m=1 时，PD 有最大值 9 5 。55存在满足条件的m 值， m=5 或32 。29例 5 、解：（1）将点 A（4，0）和点（-2，6）的坐标代入a= 11y=ax2+bx16a+4b=0中，得方
15、程组4a-2b=6，解之，得2 .抛物线的解析式为 y= 2 x2-2x .b=-2（2）连接AC 交 OB 于 E.直线m 切C 于 AACm， 弦 AB=AO， AB = AO .ACOB，mOB.33 OAD=AOB，OA=4 tanAOB= 4 ，OD=OAtanOAD=4 4 =3.3作 OFAD 于 F.则 OF=OAsinOAD=4 5 =2.4.t 秒时，OP=t,DQ=2t，若PQAD，则FQ=OP= t.DF=DQFQ= t.ODF 中，t=DF= OD2 - OF 2 =1.8 秒.1（3）令R(x,2x22x)(0x4).1作 RGy 轴于G 作 RHOB 于 H 交 y 轴于I.则 RG= x，OG=2x2+2x.345RtRIG 中，GIR=AOB ，tanGIR= 4 .IG= 3 xIR= 3 x,4112412RtOIH 中，OI=IGOG= 3 x（ 2x2+2x）= 2x2 3 x.HI= 5 （ 2x2 3 x）.54122332112于是 RH=IRIH= 311121x 5 （ 2x2 3x）= 5x2+ 15 x= 5x2+ 5 x= 5 ( x4 )2+ 40111111115511当 x= 4 时，RH 最大.SROB 最大.这时 2 x22x= 2 ( 4 )22 4 = 32 .点R( 4 ,55 32 )
