1、微积分 张张 杰杰 zhangjie_ a.高等数学研究的对象高等数学研究的对象:函数函数b.初等数学初等数学:主要是离散量的运算体系主要是离散量的运算体系(加加,减减,乘乘,除除)连续量随另外一个连续量连续地变化连续量随另外一个连续量连续地变化(函数的概念函数的概念).连续量的运算体系及其数学理论连续量的运算体系及其数学理论(微积分微积分)c.两种体系的区别两种体系的区别.初等数学主要是恒等变形技巧初等数学主要是恒等变形技巧;而而高等数学则是用高等数学则是用不等式来刻划等式不等式来刻划等式(用极限的概念用极限的概念)绪绪 论论 初、高中：初、高中：从填鸭式从填鸭式 启发式启发式,以教师为主以
2、教师为主,强烈地依赖于教师。强烈地依赖于教师。大学：大学：从启发式从启发式 个人自发个人自发,以学生本身为主，以学生本身为主，教师引导。教师引导。e.微积分的发展历史微积分的发展历史15世纪以前是它的概念的萌芽时期，主要是世纪以前是它的概念的萌芽时期，主要是阿基米德（阿基米德（Archimedes公元前公元前287212)的穷竭的穷竭法和刘徽的割圆术法和刘徽的割圆术d.学习方法的不同学习方法的不同数学基本完成时期，也是变量数学的酝酿时期，数学基本完成时期，也是变量数学的酝酿时期，微积分正式进入了酝酿阶段微积分正式进入了酝酿阶段16世纪前后约世纪前后约200年的时间是古已有之的常量年的时间是古已
3、有之的常量17世纪上半叶，微积分的奠基工作在紧锣密鼓世纪上半叶，微积分的奠基工作在紧锣密鼓地进行着，最主要的先驱有法国的帕斯卡（地进行着，最主要的先驱有法国的帕斯卡（Pascal1623-1662)和费马（和费马（Fermat16011665），），英国英国16301677）的瓦里士（的瓦里士（Wallis16161703）和）和 巴罗（巴罗（Barrow莱布尼兹莱布尼兹Leibniz(1646-1716)在前人的基础上创在前人的基础上创18世纪是关于微积分的基础的讨论和研究世纪是关于微积分的基础的讨论和研究19世纪，从形式演算世纪，从形式演算 严格的科学体系，严格的科学体系，17世纪下半叶，
4、牛顿（世纪下半叶，牛顿（Newton 1642-1727)和和立了微积分及其演算体系立了微积分及其演算体系的时期的时期波尔察诺（波尔察诺（Bolzano 1781-1848），），定了严格的分析学基础，定了严格的分析学基础，戴德金戴德金 （Dedekind 1831-1916）和康托和康托 （Cantor 1845-1918）等）等1872年建立了严格的年建立了严格的 实数系理论微积分严密化的任务终于在他实数系理论微积分严密化的任务终于在他 们手中完成了们手中完成了哥西哥西(Cauchy 1789-1857)，维尔斯特拉斯，维尔斯特拉斯（Weierstr-ass 1815-1897）等数学家给
5、出了）等数学家给出了分析学一系列基本概念的精确定义，从而奠分析学一系列基本概念的精确定义，从而奠实数理论为基础实数理论为基础演算体系演算体系极限概念刻划极限概念刻划 基石：实数连续统基石：实数连续统 学习目的：掌握微积分，极限，实数连续统学习目的：掌握微积分，极限，实数连续统的概念和方法，更主要的是，培养自己的积极思的概念和方法，更主要的是，培养自己的积极思考问题和解决问题的能力。考问题和解决问题的能力。微积分是以极限论作为基础，而极限论又以微积分是以极限论作为基础，而极限论又以 参考书目：参考书目：1 1 高等数学高等数学同济大学出版同济大学出版；2 2 微积分微积分配套习题配套习题人民大学
6、出版社；人民大学出版社；3.3.高等数学高等数学习题集习题集同济版同济版。高等数学的学习方法因人而异高等数学的学习方法因人而异在学习中注意以下几个环节在学习中注意以下几个环节 1.课前预习课前预习2.认真听讲认真听讲3.复习巩固复习巩固本学科的学习基本方法本学科的学习基本方法 4.作业作业5.答疑答疑6.融会贯通融会贯通1.我们用符号“”表示“任取”或“对于任意的”或“对于所有的”,符号“”称为全称量词.1 1 集合，符号集合，符号2.我们用符号“”表示“存在”.例：命题“对任意的实数x,都存在实数y,使得x+y=1”可表示为“xR,yR,使x+y=1”符号“”称为存在量词.3.我们用符号“”
7、表示“充分条件”比如,若用p,q分别表示两个命题或陈述句.或“推出”这一意思.则“p q”表示“若p成立,则q也成立”.即p是q成立的充分条件.4.我们用符号“”表示“当且仅当”比如“p q”表示“p成立当且仅当q成立”或者说p成立的充要条件是q成立.或“充要条件”这一意思.一、一、集合集合(set)1.集合集合:具有某种特定性质的事物的总体具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素组成这个集合的事物称为该集合的元素.12(1),nAa aa列举法 )2(所具有的特征所具有的特征描述法描述法xxM ,Ma,Ma 记为记为唯一确定的特性：唯一确定的特性：任意对象是否为该集合
8、的任意对象是否为该集合的元素，可唯一判别。元素，可唯一判别。(3)文氏图文氏图2.表示法表示法:(1)分为分为 有限集和无限集有限集和无限集3.几种集合几种集合:(2)常用数集常用数集N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集(3)不含任何元素的集合称为空集不含任何元素的集合称为空集.记作记作01,2 xRxx例如例如(4)由所研究的所有事物构成的集合称为全集由所研究的所有事物构成的集合称为全集注意注意:0,都不是空集，前者含有元素0，后者以 为其元素U记作.,)1(的的子子集集是是就就说说则则必必若若BABxAx .BA 记作记作.,:RQQZZN 例如例如空集
9、为任何集合的子集空集为任何集合的子集.(5)子集.BA或结论：集合集合A为自己的子集为自己的子集.AA,A A 任意,AB BCAC若则(1),.ABBAAB若且就称集合 与 相等,2,1 A例如例如,0232 xxxC.CA 则则记为记为 A=B(2)集合的并集合的并 BxAxxdefBA 或或 集合的运算：性质：,AABBAB,AAAUU=AAA(3)集合的交运算集合的交运算 BxAxxdefBA 且且 性质：,AAUAAAA=,ABAABB(4)集合的差运算集合的差运算 BxAxxdefBA 且且 BA AAB例：,2,3AB=1,2,3,4,7,1,2,3,4,7,9AB=1,2,3,
10、4,7?AB(5)集合的补运算集合的补运算 A defx xUxA且性质：AAAA =U,性质：性质：ABBA=1、交换律交换律ABBA=2、结合律、结合律DBADBA)(=)(DBADBA)(=)(3、分配律、分配律)()(=)(DABADBA)()(=)(DABADBADABBDA4、摩根定律、摩根定律ABABABAB设设A和和B是两个集合是两个集合,称称()x,y xA yB且 为集合为集合A 与与B的的 Descartes 乘积集合乘积集合，.BA记记为为例例1.1.4有一家生产窗帘的厂，所用的面料有一家生产窗帘的厂，所用的面料颜色有红、绿、蓝三种，所用的工艺有抽纱、提颜色有红、绿、蓝
11、三种，所用的工艺有抽纱、提花、印染、刺绣等四种，若用花、印染、刺绣等四种，若用三三、集合的笛卡尔（集合的笛卡尔（Descartes ）乘积乘积B抽纱，提花，印染，刺绣抽纱，提花，印染，刺绣AxyxBA),(By并且表示的是该厂生产的所有的窗帘品种表示的是该厂生产的所有的窗帘品种如（红，提花）、（蓝，印染）、（绿，抽纱）等如（红，提花）、（蓝，印染）、（绿，抽纱）等表示加工工艺的集合，那么它们的表示加工工艺的集合，那么它们的Descartes乘积集合乘积集合A红，绿，蓝红，绿，蓝表示面料颜色的集合，表示面料颜色的集合，特别特别,表表示示的的是是平平面面直直角角RRDescartes坐坐标标系系2
12、.记记 作作R：.直直角角坐坐标标系系表表示示的的是是空空间间DescartesRRR .3记记作作:R:绝对值绝对值(absolute):00aaaaa)0(a运算性质运算性质:;baab ;baba.bababa )0(aax;axa )0(aax;axax 或或绝对值不等式绝对值不等式:yxyx|1.实数集实数集.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这这两个实数叫做区间的端点两个实数叫做区间的端点.abIbaRba .,且且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记作记作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作oxaboxab两端点间的距离为
13、区间长度两端点间的距离为区间长度 I(1)有限区间有限区间bxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba记作记作oxaoxb(2)无限区间无限区间),xaxa Def),(bxxb Def),(Rxx Def只只是是一一个个记记号号。为为负负无无穷穷大大为为正正无无穷穷大大，其其中中 .邻域邻域(neighborhood):.0,且且是是两两个个实实数数与与设设a).(0aU 记记作作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径 axxaxaxaU )(xa a a ,邻邻域域的的去去心心的的点点 a0 )(0 a
14、xxaU)(,aUaaxx 记为记为邻域邻域的的称为点称为点数集数集 =(x0 ,x0+),(),(0000 xxxx1.3:函数概念函数概念例如例如 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长nnrSn sin2,5,4,3 n3S5S4S6S圆内接正圆内接正n 边形边形Orn)邮件的费用依赖与邮件的重量，邮局公布的费用表可根据邮件的费用依赖与邮件的重量，邮局公布的费用表可根据邮件的重量邮件的重量W W确定邮件的费用确定邮件的费用C C。W W1 W2 WNC C1 C2 CN 自动纪录仪画出了一天中气温随时间变化的曲线图，由图形自动纪录仪画出了一天中气温随时间变化的曲线图，由图形可以找出在一
15、天中的某个时刻可以找出在一天中的某个时刻t t的温度值的温度值T T。tTo 真空中初速为零的自由落体，下落路程真空中初速为零的自由落体，下落路程S S与时间与时间t t的关系为：的关系为：，设这一运动花费，设这一运动花费T T秒钟，则秒钟，则t t 0,T0,T。221gts 因变量因变量自变量自变量.)(,000处处的的函函数数值值为为函函数数在在点点称称时时当当xxfDx (),.Zy yf xxD函数值全体组成的数集称为函数的值域数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域(Domain of definition)(xfy 定义定义函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应
16、法则对应法则.、约定约定:定义域是自变量所能取的使算式定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值有意义的一切实数值.21xy 例如，例如，1,1:D211xy 例如，例如，)1,1(:Doxy),(00yx0 xWD)(0 xfy 、函数的表示、函数的表示函数两要素：定义域与对应法则函数两要素：定义域与对应法则 (1)(1)分段表示分段表示设设 A,B 是两个互不相交的实数集合，是两个互不相交的实数集合，)()()(xxxf)()(xx和和是分别定义在集合是分别定义在集合A和集合和集合B上的函数，则上的函数，则BxAx是定义在集合是定义在集合.上上的的函函数数BA这样的表示方法这样的表示方
17、法称为称为函数的分段表示.(2)(2)隐式表示隐式表示通过方程通过方程 F(x,y)=0 来确定的变量来确定的变量x与与y之间函数之间函数关系的方式称为关系的方式称为函数的隐式表示.(3)(3)参数表示参数表示通过建立变量通过建立变量 t 与与 x，t 与与 y之间的函数关系，间接之间的函数关系，间接的确定的确定 x 与与 y 之间的函数关系之间的函数关系.即即)()(tyytxx,bat这种表示法称为这种表示法称为函数的参数表示.、函数相等、函数相等定义：定义：如果两个函数的定义域和对应法则相同，我们称这两个函数是相同的函数。例例 判断下列几对函数是否相等判断下列几对函数是否相等.(1)f(
18、x)=2lnx,(x)=lnx(1)f(x)=2lnx,(x)=lnx2 2 ;(2)f(x)=x,(x)=|x|;(2)f(x)=x,(x)=|x|;(3)f(x)=sin(3)f(x)=sin2 2x+cosx+cos2 2x,(x)=1.x,(x)=1.解：解：f(x)f(x)的定义域为的定义域为),0(，(x)(x)的定义域为的定义域为0 x所以它们不相等。所以它们不相等。解：解：f(x)f(x)与与(x)(x)的对应规律不同的对应规律不同 ，所以是不同的函数。，所以是不同的函数。解：解：f(x)f(x)与与(x)(x)的对应规律相同的对应规律相同 ，定义域也相同，定义域也相同，所以所
19、以 f(x)=(x)f(x)=(x)。如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫与多值函数则叫与多值函数例如，例如，222ayx 多值函数、多值函数、单值分单值分支支一般只讨论单值函数一般只讨论单值函数x2+y2=a2oxy22xay 、几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例思考题思考题1设设0 x，函函数数值值21)1(xxxf ，求求函函数数)0()(xxfy的的解解析析表表达达式式.思考题思考题1解答解答设设ux 1则则 2111uuuf ,112uu 故故
20、)0(.11)(2 xxxxf练练 习习 题题11.4分段函数分段函数 0,10,12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.注：注：分段函数是一个函数，而不是多个函数。分段函数是一个函数，而不是多个函数。分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集.对分段函数求函数值时，不同点的函数值应代入相应范对分段函数求函数值时，不同点的函数值应代入相应范围的表达式中去计算围的表达式中去计算.2102()00(3),
21、(0),(3).10 xyf xxfffxx例已知函数，试求：例1 重量为G的物体放在地平面上，有一大小为F的力作用于该物体上，此作用力与地平面的交角为 0,2欲使此力沿地面的分力与物体对于地面的摩擦力平衡，F与应有什么关系？解解 作用力沿地平面的分力是Fcos，垂直地面的分力是Fsin，1.5 建立函数关系例题建立函数关系例题物体对于地平面的摩擦力R是：R=(G-Fsin)（为摩擦系数）cossinFGF,(0)cossin2GF例2 已知铁路线上AB段的距离为100千米。工厂C离A处为20千米，AC垂直于AB（如图）.为了运输需要，要在AB线上选定一点 D向工厂C建筑一条公路。已知铁路上每
22、千米货运的运费为3k 元，公路上每千米货运的运费为5k元（k为某个正数）。设AD=x(km)，建立使货物从供应站B运到工厂C的总运费与x 之间的函数关系式。100,BDx解22220400CDxxBCy设从 点到 点需要的总运费为，则53yk CDk DB254003(100)(0100).ykxkxx即M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x,)(,0,成立成立有有若若MxfXxMDX 1、函数的有界性、函数的有界性(Bound):.)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Xxf1.6 函数的几种简单性质函数的几种简单性质,)(,0,成立成立有有若若Mf
23、XMDX .)(上上无无界界在在则则称称函函数数Xxf.0,1)(ln)(),(11)(:2内内无无界界在在内内有有界界，在在证证明明函函数数例例如如xxgxxf 21:1,()1.1证明 取有MxRf xx 21()(,).1f xx故故函函数数在在内内有有界界,ln),1,0(,000GxxG 使使01,()ln.取有Gxeg xxG .0,1)(ln)(内内无无界界在在故故xxg M-Myxoy=f(x)M-Myxo0 x()M 0,()Mf xDx Df x 在 上有界有00()M0,()Mf xDxDf x在 上无界有2、函数的单调性函数的单调性(Monotonic Function
24、):(Monotonic Function):,)(DIDxf 区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI;)(上上是是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI)(xfy)(1xf)(2xfxyoI;)(上上是是单单调调减减少少的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf,)(DIDxf 区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI),()()2(21xfxf 恒有恒
25、有单调增与单调减的函数统称为单调函数。单调增与单调减的函数统称为单调函数。3函数的奇偶性函数的奇偶性(Even and Odd):(Even and Odd):Even Function有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf yx)(xf )(xfy ox-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD )()(xfxf ;)(为奇函数为奇函数称称xfOdd Function)(xf yx)(xfox-x)(xfy 4函数的周期性函数的周期性(Periodic Function):(Periodic Function):（通
26、常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的)()(xflxf 且且为周为周则称则称)(xf.)(,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl.恒成立恒成立周期函数意味着性周期函数意味着性:函数图形可由其一函数图形可由其一 个周期个周期内的图形拷贝生成。内的图形拷贝生成。01)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy狄利克雷函数狄利克雷函数是周期函数，且任意有理数均是它的的周是周期函数，且任
27、意有理数均是它的的周期，故它没有最小正周期。期，故它没有最小正周期。1.反反 函数与函数与复合函数复合函数1、反、反函数函数)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy Proposition:单值严格单调函数的反函数仍是单值严单值严格单调函数的反函数仍是单值严格单调，且保持直接函数的增格单调，且保持直接函数的增(减减)性。性。、复合函数、复合函数(Composite Function),uy 设设,12xu 21xy 定义定义:设函数设函数)(ufy 的定义域的定义域fD,而函数
28、而函数)(xu 的值域为的值域为 Z,若若 ZDf,则称函则称函数数)(xfy 为为 x 的的复合函数复合函数.,自自变变量量x,中中间间变变量量u,因变量因变量y22sin,sinyxyuux例如函数由复合而成;221,1.yxyuux 函数是由复合而成的说明：并不是任何两个函数都可以构成一个复合函数；2arcsin,2.yu ux例如就不能复合成一个函数因为u=2+x2的值域u2，全部落在y=arcsinu的定义域之外.复合函数的中间变量可以不只一个；分解复合函数时，每一步必须都是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.1lnsinyx例分析函数的复合结构.lnsinln,sin,yxyu
29、uv vx解函数是由复合而成.22(),()2,(),().xf xxg xf g xg f x例设求222()()()(2)4xxf xxf g xg x解2()()2()22xf xxg xg f x又13(),(),().1f xf f xff f xx例设求1()1111()11()11f xxxf f xf xxx解11 ()11()1ff f xxxf f xx例例4解解,01)(QxQxxD设设.)().21(),57(的性质的性质并讨论并讨论求求xDDDD ,1)57(D,0)21(D,1)(xDDoxy1单值函数单值函数,有界函数有界函数,偶函数偶函数,周期函数周期函数(无最
30、小正周期无最小正周期)不是单调函数不是单调函数,例例5).(,0,10,2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求设设解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10时时当当 x,0 x或或,12)(xx;20 x,0 x或或,11)(2 xx;1 xxuu=1u=x2-1u=x+2(-1,1)1,2(,1)(20时时当当 x,0 x或或,12)(xx;2 x,0 x或或,11)(2 xx;01 x综上所述综上所述.2,120011,2,)(2122 xxxxxexexfxx 1、幂函数、幂函数(Power Function)(是常数是常数 xy oxy)1,1(11
31、2xy xy xy1 xy （一）、基本初等函数（一）、基本初等函数1.初等函数初等函数(elementary functions)2、指数函数、指数函数(Exponential Function)1,0(aaayxxay xay)1()1(a)1,0(xey 3、对数函数、对数函数(Logarithmic Function)1,0(log aaxyaxyln xyalog xya1log)1(a)0,1(4、三角函数、三角函数(Trigonometric Function)正弦函数正弦函数(sine)xysin xysin xycos xycos 余弦函数余弦函数(cosine)正切函数正切
32、函数(tangent function)xytan xytan xycot 余切函数余切函数(cotangent function)xycot 正割函数正割函数(secant)xysec xysec xcos1 xycsc 余割函数余割函数cosecantxycsc xsin1 5、反三角函数、反三角函数(inverse trigonometric function)xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数xyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和
33、反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.xycot 反余切函数反余切函数arcxycot arc（二）、初等函数（二）、初等函数(Elementary Function)1.定义定义由常数和基本初等函数经过有限次四由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.2.复合结构复合结构xxy 11arcsin.11,arcsin的的复复合合可可视视为为xxvvuuy 2cotlnxarcy .,cot,ln2的的复复合合可可视视为为xvvarc
34、uuy 基本概念基本概念 集合、集合、区间、区间、邻域、邻域、常量与变量、绝对值常量与变量、绝对值.函数的概念函数的概念函数的特性函数的特性 有界性、单调性、奇偶性、周期性有界性、单调性、奇偶性、周期性.函数的运算函数的运算 四则运算、反函数、复合函数。四则运算、反函数、复合函数。Conclusions函数的分类函数的分类(Classification):函数函数初等函数初等函数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)代数函数代数函数超越函数超越函数(指数、对数、三角、反三角指数、对数、三角、反三角)有理函数有理函数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)
