1、6.2 生存年金精算现值 纯粹的生存保险 年付一次生存年金的精算现值 生存年金与寿险的关系 年付m次生存年金的精算现值 变额生存年金 生存年金的递推公式6.2.1 纯粹的生存保险纯粹的生存保险 生存保险是以被保险人生存为给付条件的保险，纯粹的生存保险是在约定的保险期满时，如果被保险人存活将得到规定的保险金额的保险。纯粹的生存保险是指被保险人在保险合同签订的时间期满存活，将得到合同规定的保险金。假设（x）投纯粹的生存保险，保期为n年，如果n年后仍存活，将得到1单位元的保险金，求这一保险在投保时的现值。1:1/()1,nxxx nnnx xx nnnx nx nnxnxxxnnx xx nnxnx
2、nnxnxnxx nElxnlE lv lv lDEvplDE lilEElEvpil（1）表示这一现值（2）设x岁时，有 人购买了这种保险，于是在岁时，将有人存活则有：即：（3）现实意义的解释：（4）在利率和生者利下n年的折现系数；1/在利率和生者利下n年的累积系数。1/它是利率累积因子1/nxx nill与生存累积因子的乘积。6.5,112nxtx n tx ttxnxn tx tegntEEEEEE对证明并解释下面两个式子：6.2.2 年付一次生存年金的精算现值年付一次生存年金的精算现值 生存年金是以生存为条件发生给付的年金。年金保险中，在保险期内年金的发放以被保险人存活为条件。终身和定
3、期寿险的缴费方式通常也采取生存年金的方式。基本类型终身年金定期年金延期年金期首年金与期末年金1、终身生存年金、终身生存年金年金的支付以被保险人生存为条件，没有期间限制，称为终身生命年金。11111101,111xxx txxtxx ttttxxxxxxxxxxtxxtxxxaxaDNaEDDDDaxaNDNNaEaDDD （1）用表示某人 岁开始投保，支付年金的时间是每年年末，金额单位元的生命年金现值。（2）计算（3）表示 岁人投保终身生命年金保险而在每年年首得到支付1单位元的现值。（2）计算，从概率的角度看：每年一次的生存年金是在被保险人整值余寿期间定期确定的年金，生存年金的精算现值是依赖于
4、被保险人整值余寿的期望值。11100,1KxxkKkkKxxkKkkLet xKKaaE aaqKaaE aaq的整值余寿为期首付终身生存年金是在年内定期确定年金的期望，即期末付终身生存年金是在 年内定期确定年金的期望，即可以证明两种推理方法和结论是等价的，如何证？2、定期生存年金、定期生存年金:111111:1231:111111111x nnntxx tx tx n tx nttttxxxx nxx nxxxnxx nx naxnaEDDDDDNNDaxnaEEEEa 用表示某 岁人投保一定期 年，每年末得到给付 单位元的期末生命年金的现值。用表示某 岁人投保一定期 年，每年年首得到给付
5、单位元的期首生命年金的现值。我们有，11xx nxxx nxx nxxxNNDNNNNDDD从概率的角度看：111:110010,0.0.Knnnxxxnxkkkx nknknkk nkKnnxxnxkknkLet xKYaKnYaKnaE YaqaqaqapYaKnYaKnaE Yaqap的整值余寿为期首付定期n年生存年金给付精算现值是随机变量，设为，即期末付定期生存年金给付精算现值是随机变量 满足：可以证明两种推理方法和结论是等价的，如何证？3、延期定期生存年金、延期定期生存年金1111110111xn mxn mmmxn txx n tx n tx m n tn mttttxxx nx
6、m nxmxn txn mtaxnmaxnmaEDDDDDNNDaE 用表示某 岁人投保一延期 年进入年金给付，定期 年每年末给付单位元的延期生命年金的现值；表示某 岁人投保一延期年进入年金给付，定期 年每年年首给付单位元的延期生命年金的现值111x nx m nxxxn mnmNNDaa显然，从概率的角度看：11100.Knm nnm nxxn mxn mkknm nnk nnmYKnYaanKmnaaKmnaE Yaaqaapnm 期首付延期 年，定期 年生存年金给付精算现值是随机变量设为，即期末付延期 年，定期 年生存年金给付精算现值的结论是什么样的？4、延期终身生存年金、延期终身生存年
7、金1110111xnxnxm txx m tx mmttxxxm txx mmtxxxmmxxmx maxnaxnaEDNDDaENDaaaaa：用表示某 岁人投保一延期 年进入年金给付，每年末给付单位元的延期终身生命年金的现值；表示某 岁人投保一延期年进入年金给付，每年年首给付单位元的延期终身生命年金的现值显然，（给出实际解释）在概率的角度下，上述结论如何得到？是什么样？一些公式:111.2.13.4.5.16.17.8.nnxnxx nnxx nxnxx nnxx nnnnxxnxnmmxxn mxmx mnxxxxnnxnxnxxxnxnxxnxnnxxnmnmavp aE aandav
8、p aE aaaEaavp aaaaandaaaaaaaaaEaa P116，eg6.6，6.7，6.8，6.9。6.2.3 生存年金与寿险的关系生存年金与寿险的关系111110011011:,11xxxxxxxxx txx tx tx tttx tx txxtxxxxxxxxxxxxxdaACvdvllMCvllvDDvNNDMNNvDDDAvaadadaA 对于终身寿险现值与年首给付生存保险现值的关系有如下公式:证明 由于把上式两端同时除上 即实际意义定理：是?从概率的角度怎么证？1:1:11,11,11(1)xxx nx nxxnx nx nx nx nxxxxAdadaAd aAAAv
9、aaaaiiai A 经过变换：实际意义是？类似地 有由我们可以在定理公式两端同乘实际意义的解释？6.2.4 年付款年付款m次生存年金的精算现值次生存年金的精算现值 11011111mxmxtxtmtxtxmmhx kkhxmaxmmaEmDmDDmD 用表示某人 岁投保,每年收付款 次，每次收付款额为的期末付终身生命年金的现值。则：10110101011111(1)(1)22hx kmhx kx kx kx kmmmxhx kkhxmmmmx kx kx kkhkhkhxxxxxDhDDDDmaDmDhhDDDmDmmm mm mmNNNmDmm 是一个非整数年龄的转换函数，为了便于计算，我
10、们可以假设在两个年龄之间它是线性的。则：于是，111212xxxxmmNDmDmam 1111121212mxmmxxmmxxxxxaxmmaamaammammmammam用表示某人 岁投保一年给付 次，每次期首给付的终身生命年金保险的现值。则与具有的差额，于是得到，():():11():1(1)21()2(232)1(1)21()2(234)mx nmnxx nx nxx nxx nxmnxx nx nxx nxx nxaxnmmaaEmmNNDDmDmaaEmmNNDDmD 1用表示某人 岁投保 年定期，一年给付m次，每次给付的期末年金保险的现值。则类似，我们可以得到：()()()():1
11、()112121212mxnmmmxxnxnxnxnx nx nxmxxnxnnx nx nxanmmaaamaEmmNDmDmaaEmmNDmD 用表示延期 年的每年给付 次，每次给付的期末生命年金的现值。则：P123 eg6.10，6.116.2.5 变额生存年金变额生存年金0010:111:1kxkxxkxxx kkkxkxxkxxx nx nx nxxx nx nx nxSIakvpDwhereSNSIakvpDSSnNIaDSSnNIaD 111:01122110nxxx nkkxx nkxnxxx nkkxxkxnNSSDank vpDnNSSDank vpD 6.2.6 非整数年
12、龄开始付款的生命年金非整数年龄开始付款的生命年金1,111101xx uxxxxuquaaauquqxu定理假设死亡服从均匀分布 则其中 为整数,1:,(1)(1),1111:1,1:111ux kx ukx ux kxkx ukxx kkxx uxxxx uxxxxx uxxppppuqppuqvkuqaauiiaui auiauqavapuquaauq 证明 我们首先可以知道由于死亡服从均匀分布 可以得到上式两端分别乘以并且对 求和可得即我们又知道我们得到所要的公式11111.xxxxx uxxx uxxauqqau auaaaa特别在 非常小时,(2-22)式可以近似为:这一近似结果在实
13、际的应用中用处较大且效果较好可以看出上式表明实质上是 与的加权平均6.2.6 生存年金的递推公式生存年金的递推公式1011111111111111:11111xxxkkxkxkxkkx kxkxkxx kxkkxkxktxtxxxtxavp aproofavpvppppav ppvpvpvpvpvp aa 定理可以一直递推下去，而求出。11111111111.,:1,:xxxxxx kx kx kx kkkxx kxxavavq axxxxxxaxkavavqavaavaq 等价表达式：直观的解释：对()的终身生存年金趸缴净保费等于在 岁上规定的 单位元给付加上岁上的趸缴净保费在 岁上的值,再
14、减去在岁因死亡不能得到将来的的部分对年龄上式可以写成两边乘以求和10.:?xkk 实际解释6.3 均衡净保费主要内容：终身寿险年缴净保费 定期寿险年缴净保费 两全寿险年缴净保费 延期年金年缴净保费 一年多次缴费的净保费 比例净保费净保费的缴付方式 1、一次付清的保险费，称为趸缴净保费 2、定期缴付一固定款额的周期性保险费。3、定期缴付可变额的周期性保险费。原则：总体收支相等的原则。即保险人收入的保险费的现值等于支出的保险金的现值。或者说，被保险人缴付的保险费现值与所收入的保险金的现值相等。年缴均衡净保费的概念。趸缴净保费应该等于各年均衡净保费的现值之和，均衡净保费的交付是以被保险人存活为条件的
15、，实际上是一个生存年金。设保险金的现值为A,均衡净保费为P，则:AAP aPa即 对不同的保险和不同的保费交付方式，保险金现值和缴费现值的具体形式会有所不同。6.3.1 终身寿险年缴净保费终身寿险年缴净保费:1:.,.:.xxxxxxxxxxxxxnxnxnxxnxnxPAPaAPaAiP APanAAiPP APaa对死亡年末赔付 单位元终身寿险,如果规定保费每年一次终身交付,这时保险费的现值就是终身生存年金精算现值,以 表示年缴均衡净保费,有 即如果被保险人死亡瞬时赔付则保费在 年内缴清6.3.2 定期寿险年缴净保费定期寿险年缴净保费11:11:111:111:,:x nxxx nxx n
16、x nxx nxxx nx nx nxxx nxx ntx nxx txxx tx tx nttx nx nx tx nx nx nx nADMMMMPaNNDNNADMMMMPaNNDNNAiP APaAitnP APa在死亡均匀分布的假设下，如果被保险人死亡瞬时赔付 则当时6.3.3 两全寿险年缴净保费两全寿险年缴净保费:,:()1x nxxx nx nxx nx nx nxx nxxx nx nx nxxx nx nxx nx ntx nxx txxx tx tx ntx nx tx nx nx nADMMDMMDPaNNDNNADMMDMMDPaNNDNNAP AaAtnP Aaxn在
17、死亡均匀分布的假设下，如果被保险人死亡瞬时赔付 则当时对的 年 元纯粹生存保险，1:11:.tx nx ntx nx ntPAPa年缴清的年缴净保费以表示，有6.3.4 延期年金年缴净保费延期年金年缴净保费:1:1:()().,()(),()xmxxxmmmx mx mx mxxx mmmx mx nx mxx mxmxxx mmmx mx nImmPaPa aPa aaNPaaaAaaNNmaPaaaAa 延期 年的终身生存年金的年缴净保费 设保费的缴付期限为,用表示年缴净保费.故现值为根据收支平衡原理从而若是延期 年在年末给付生存年金的趸缴净保费为则1:x mx mxx mNaNNt当保费
18、限期 年缴清,则1:1:()()(),(),()x mxxx mtmmx tx nx txx tx mtxxx mmmx tx nx hxx txm ntxm ntxm nmx tNPaaaAaaNNNPaaaAaatmNNIImmnaPahPa a 延期 年的定期生存年金的年缴净保费延期 年定期 年的期首支付生存年金的现值是用表示限期 年缴清保险费的年缴净保费 则:11:()(),()()xnx mx m ntxxm nm nx txx tx mx m ntxxm nm nx txx taNNPaaatmNNNNPaaatmNN 即同理Eg6.13 证明并解释下面的等式：21xxxxxdPa
19、dAPA1 1Eg6.14 2040,20,15某人在岁时投保了年的定期寿险保险契约规定若投保后在年内死亡给付保险金15000元,从40岁开始起死亡给付逐年增加5000元,保险金在死亡年末给付,求出限期 年缴清保费的年缴净保费.6.3.5 一年多次缴费的净保费一年多次缴费的净保费 如果保费每半年、一季、一月等缴付一次，这时未来净保费现值是一个一年多次收付的生存年金现值。1.mmmmmmPmamAPaAAPa以表示每年分 次等额缴付的年缴净保费，表示每年 元缴付 次的年金现值，表示保险金现值，根据收支平衡原则，有 根据上面的分析，我们可以得到各种寿险年缴净保费的计算公式：保险种类 死亡年末赔付
20、死亡瞬时赔付终身寿险t年缴费终身寿险n年缴费的n年定期寿险t年缴费的n年定期寿险n年缴费的n年两全寿险t年缴费的n年两全寿险 对延期生命年金，当年金的支付发生在期首时，一年m次缴费的年缴净保费为：:()mnxnxmx naPaa 当年金在期末支付时，有 :()mnxnxmx naPaa 1,211122mmxxxxxmxxmxxxxxAmPaadPmaaAPPmmadPmm1对于,将和代入 得例例6.12.和例和例6.14 6.3.6 比例净保费比例净保费 对一定时期缴付一次保费的期缴保费保单，投保人会认为期初的缴费应该为接下来的一期提供担保，如果在期初缴费后被保险人出险，保险人不仅应该按保险合同实施赔付，还应该按比例退还从出险到下次预计缴费期间的保费部分。所以，实践中有的保单规定在保险赔付时，退还从死亡到下次预计缴费期间的净保费，这种保费缴付方式称为比例保费。在比例保费下，净保费的精算现值等于保险赔付现值与比例退还保费现值之和。,:,1.21211121.2,mmmxxmxmmmxxxxmxxmmmxxxmxmmxxPmPaAAPPmPaAPmAPmPPPmaPP 以表示一年 次缴费再比例保费方式下的年缴净保费 这时收支平衡公式变为比例退还保费的现值对用表示年缴比例保费.假设死亡在各次付费期间均匀分布 那么死亡发生年平均退还的净保费部分为可见
