1、第三章第三章 复变函数积分复变函数积分教学目的与要求教学目的与要求了解：了解：复变函数积分的性质，会求复变函数的积分；复变函数积分的性质，会求复变函数的积分；理解：理解：复变函数积分的定义；复变函数积分的定义；柯西积分定理。柯西积分定理。掌握：掌握：柯西积分公式、高阶导数公式；柯西积分公式、高阶导数公式；教学重点与难点教学重点与难点教学重点：教学重点：柯西积分定理、柯西积分公式和高阶导数公式。柯西积分定理、柯西积分公式和高阶导数公式。教学难点：教学难点：柯西积分定理、柯西积分公式和高阶导数公式。柯西积分定理、柯西积分公式和高阶导数公式。课外思考题课外思考题2,3,5(2),6(1),7(3)(
2、5),9,10内容提要内容提要有向曲线有向曲线复积分复积分积分存在的积分存在的条件及计算条件及计算积分的性质积分的性质柯西积分定理柯西积分定理原函数原函数的定义的定义复合闭路复合闭路 定定 理理柯西积分柯西积分公公 式式高阶导数公式高阶导数公式调和函数和调和函数和共轭调和函数共轭调和函数一、有向曲线一、有向曲线(1)若若曲线曲线C是开口弧段是开口弧段，若规定它的端点，若规定它的端点A为起点，为起点，B为为终点，则沿终点，则沿曲线曲线C从从A到到B的方向的方向为曲线为曲线C的的正方向正方向(简称正向简称正向)，把正向曲线记为把正向曲线记为C或或C+。而由。而由B到到A的方向的方向称为的称为的负方
3、向负方向(简称简称负向负向)，负向曲线记为，负向曲线记为C-。在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，若一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该若一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的：曲线的方向是这样规定的：第一节第一节 复变函数积分的概念复变函数积分的概念xyoAB(2)若若C是简单闭曲线是简单闭曲线，通常总规定，通常总规定逆时针方向逆时针方向为正方为正方向，向，顺时针方向顺时针方向为负方向。为负方向。(3)若若C是复平面上某一个复连通域的边界曲线，则是复平面上某一个
4、复连通域的边界曲线，则C的的正方向这样规定：当人沿曲线正方向这样规定：当人沿曲线C行走时，区域总保持在人行走时，区域总保持在人的左侧，因此的左侧，因此外部边界部分取逆时针方向外部边界部分取逆时针方向，而，而内部边界曲内部边界曲线取顺时针线取顺时针为正方向。为正方向。xyo设函数设函数w=f(z)定义在区域定义在区域D内，内，C为区域为区域D内起点为内起点为A终点为终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成任意分成n个弧段，设分点为个弧段，设分点为,110BzzzzzAnkkoxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C12 二、复变函数积分的定义二、复变函数积分的
5、定义kkkzz1在每个弧段在每个弧段上任意取一点上任意取一点),2,1(nk ,C zf ,S ,C nk记为的积分沿曲线那么称这极限值为函数一极限有唯的取法如何的分法及若不论对)(,)()()(111knkknkkkknzfzzfS 作和式作和式oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2,max 1knks记,11的长度的长度这里这里kkkkkkzzszzz (,0 时无限增加且当n.)(limd)(1knkknCzfzzf (1)若若C是封闭曲线，则沿此闭曲线的积分，记是封闭曲线，则沿此闭曲线的积分，记为为关于定义的说明关于定义的说明:Czdzf)(2)若若C是是x轴上的区间轴上的
6、区间axb，而，而f(z)=u(x)，这，这个积分定义就是一元实变函数定积分的定义。个积分定义就是一元实变函数定积分的定义。三、积分存在条件及其计算三、积分存在条件及其计算定理一定理一（积分存在定理）（积分存在定理）若若),(),()(yxivyxuzf在光滑曲线在光滑曲线C上连续，则上连续，则 存在，且存在，且Cdzzf)(udyvdxivdyudxdzzfCCC)(若若C不光滑，不光滑，C1,C2光滑，光滑，C1,C2相接为相接为C，即，即C=C1+C2分分段光滑，规定段光滑，规定21)()()(CCCdzzfdzzfdzzf定理表明定理表明,当当f(z)即即u(x,y),v(x,y)在光
7、滑曲线在光滑曲线C上连续上连续,Cdzzf)(不但存在，还可通过两个实二元函数的曲线积分来计算。不但存在，还可通过两个实二元函数的曲线积分来计算。为便于记忆公式，可把为便于记忆公式，可把 f(z)dz 理解为理解为(u+iv)(dx+idy),则则 复积分复积分 的计算化为两个二元实变函数的曲线积分的计算化为两个二元实变函数的曲线积分.()dddi(dd)f zzu xyxu yvv上式说明了两个问题：上式说明了两个问题：(1)当当f(z)是连续函数，且是连续函数，且C是光滑曲线时，积分是光滑曲线时，积分 一定存在；一定存在；(2)可通过两个二元实变函数的线积分来计算。可通过两个二元实变函数的
8、线积分来计算。Cdzzf)(Cdzzf)(Cdzzf)(若光滑曲线若光滑曲线C的方程为的方程为)()()()(ttiytxtzzt=对应曲线对应曲线 C 的起点，的起点，t=对应曲线对应曲线 C 的终点。的终点。记记)(),()(),()(tytxivtytxutzf2121)()(ifftiftf则则udyvdxivdyudxdzzfCCC)(dttyftxfidttyftxf)()()()(1221dttiytxiff)()()(21dttztzf)()(因此可用因此可用来计算复变函数。来计算复变函数。dttztzfdzzfC)()()(一个复积分的实质是两个实二型线积分一个复积分的实质是
9、两个实二型线积分),(),()(yxivyxuzfidydxdzivxz,CCidydxivudzzf)()()()()(ttyytxxudyvdxivdyudxCCdttztzfdzzfC)()()(把复积分的计算转化为两个二元实函数的曲线积把复积分的计算转化为两个二元实函数的曲线积分。当曲线积分的积分路径分。当曲线积分的积分路径C由参数方程给出时，复由参数方程给出时，复积分又可以转化为单变量的定积分。积分又可以转化为单变量的定积分。nCCC,21 Czzfd)(.d)(d)(d)(21 nCCCzzfzzfzzf 注意：注意：在今后的积分中，总假定被积函数是连续的，在今后的积分中，总假定被
10、积函数是连续的，曲线曲线 C 是按段光滑的。是按段光滑的。若若C是由是由等光滑曲线依次相互等光滑曲线依次相互连接所组成的按段光滑曲线，则连接所组成的按段光滑曲线，则 由高等数学理论，由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积分与其复积分的实部、虚部满足实积分与路径无关的条件，路径无关的条件，所以所以 的值不论的值不论C是怎样的曲线都等是怎样的曲线都等于于 ，这说明有些函数的积分值与积分路径无关。，这说明有些函数的积分值与积分路径无关。例例1 1 计算计算 ，其中其中C为从原点到点为从原点到点3+4i的直线段。的直线段。dCzz解：解：直线的方程可写成直线的方程可写成dCz z21(3 4i)
11、2在在C上，上，于是于是又因为又因为,10,4,3 ttytxiyxztit43 10)43(tti Czdz102)43(tdti102)43(tdti2)43(21iCzdzCidydxiyx)(CCxdyydxiydyxdxCzdz Re例例2 2 计算计算 解：解：(1)(1)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为()=()()=(01),z tx tiy tt itt,)1(,Ret dizdtz CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x于是于是(1)(1)从从原点原点到点到点1+i的直线段的直线段(2)(2)抛物线抛物线y=x2上从上从原点原点到点到
12、点1+i的弧段；的弧段；，其中，其中C为为(3)(3)从从原点原点沿沿x轴到点轴到点1再到再到1+i的折线。的折线。(2)(2)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为xyoi 11iy=x2xy ,)21(,Ret dtizdtz CzzdRe 10d)21(titt1032322 tit;3221i 2,(01)xt ytt 。于是于是)()()(tiytxtz)10(2tittxyoi 11iy=x2xy (3)(3)积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为),10()(tttz1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为),10
13、(1)(tittz CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i ,Ret dzdtz于是于是,1Ret d izdz于是于是Cn zdzz,)(110例例3 3 求求 解：解：zxyor0z 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneriC为以为以z0为中心，为中心，r为半径的为半径的正向圆周，正向圆周，n为整数。为整数。zxyor0z ,0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d i;2 i ,0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ninrin;0 rzz
14、nzdzz010)(1 .0,0,0,2nni重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关。：积分值与路径圆周的中心和半径无关。故故四、复积分的基本性质四、复积分的基本性质(1)常数因子常数因子k 可以提到积分号外，即可以提到积分号外，即 (2)函数函数代数和的积分代数和的积分等于各函数等于各函数积分的代数和积分的代数和，即，即(3)若若f(z)沿沿C可积，且可积，且C由由C1 和和 C2连接而成，则连接而成，则 )()()(为常数 kdzzfkdzzkfCCCCCdzzfdzzfdzzfzf)()()()(212121)()()(CCCdzzfdzzfdzzf(4)若积分曲线的若积分曲
15、线的方向改变方向改变，则，则积分值改变符号积分值改变符号，即，即(5)若在若在C上，上，且，且C的长度为的长度为L，则，则CCdzzfdzzf)()(这里这里ds 表示弧长的微分。表示弧长的微分。Mzf)(CCMLdszfdzzf)()(其中其中C-为为C的负向曲线。的负向曲线。估值不等式估值不等式例例4 4 证明：证明：证明：证明：21:,811zCdzzzCCdzzz11Cdsz21Cdsz221Cdsz221Cds28Cdszz11小小 结结主要学习了积分的定义、存在条件以及计算和主要学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质。性质。应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线应注意复变函数的积
16、分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质。积分完全相似的性质。重点掌握复积分的一般方法。重点掌握复积分的一般方法。积分存在的条件及计算积分存在的条件及计算(1)化成线积分化成线积分),(),()(yxivyxuzf CCCyyxuxyxviyyxvxyxuzzf.d),(d),(d),(d),(d)(2)用参数方程将积分化成定积分用参数方程将积分化成定积分)()()()(ttiytxtzz.)()()(t dtztzfzdzfC则则设简单光滑曲线设简单光滑曲线C的参数方程是的参数方程是设设沿逐段光滑的曲线沿逐段光滑的曲线C连续，则积分连续，则积分存在，且存在，且Czdzf)(思考题思考题Czdz
17、f)(复函数复函数f(z)的积分定义式的积分定义式与一元与一元函数定积分是否一致？函数定积分是否一致？思考题答案思考题答案,)()(xdxfzdzfC即为一元实函数的定积分。即为一元实函数的定积分。zdzf)(若若f(x)是实值的，是实值的，若若C是实轴上区间是实轴上区间，则，则一般不能把起点为一般不能把起点为，终点为，终点为的函数的函数f(z)的积分记作的积分记作，因为这是一个线积分，要受积分路线的限制，因为这是一个线积分，要受积分路线的限制，必须记作Czdzf)(。第二节第二节 柯西积分定理柯西积分定理通过前面的例题发现，通过前面的例题发现，例例1中的被积函数中的被积函数f(z)=z在复在
18、复平面内是处处平面内是处处解析解析的，它沿的，它沿连接起点及终点连接起点及终点的任何的积的任何的积分值都相同，换句话说，分值都相同，换句话说，积分与路径无关积分与路径无关。例例2中的被中的被积函数积函数f(z)=Rez是是不解析的不解析的，积分与路径有关积分与路径有关。由以上讨论可知由以上讨论可知,积分是否与路线有关积分是否与路线有关,可能决定于可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性。被积函数的解析性及区域的连通性。函数函数f(z)在什么条件下，积分仅与起点和终点有关，在什么条件下，积分仅与起点和终点有关，而与路径无关呢？而与路径无关呢？若函数若函数f(z)在在单单连通域连通域B内处处解析，
19、那么函数内处处解析，那么函数f(z)沿沿B的的任何一条封闭曲线任何一条封闭曲线C的的积分积分为为零零，即，即B一、基本定理一、基本定理柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理.0)(czdzfC定理中的定理中的 C 可以不是简单曲线。如可以不是简单曲线。如下图所示。下图所示。此定理也称此定理也称为为柯西积分柯西积分定理定理。柯西介绍柯西介绍古萨介绍古萨介绍BBCCz1z0C1C2C1C2z0z1柯西资料 柯西（柯西（Cauchy，1789-1857），出生于巴黎。），出生于巴黎。他在他在纯数学纯数学和和应用数学应用数学的功力是相当深厚的，在数的功力是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于学
20、写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉欧拉的人，的人，他一生一共著作了他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质量都很还是经典之作，不过并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评高，因此他还曾被人批评高产而轻率高产而轻率，这点倒是与，这点倒是与数学王子相反，据说，法国科学院数学王子相反，据说，法国科学院“会刊会刊”创刊的创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只
21、能有四页，所以，柯科学院后来规定论文最长的只能有四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其它地方。西较长的论文只得投稿到其它地方。柯西在幼年时，他的父亲常带领他到法国参议柯西在幼年时，他的父亲常带领他到法国参议院内的办公室，并且在那里指导他进行学习，因此院内的办公室，并且在那里指导他进行学习，因此他有机会遇到参议员他有机会遇到参议员拉普拉斯拉普拉斯和和拉格朗日拉格朗日两位大数两位大数学家。他们对他的才能十分赏识；学家。他们对他的才能十分赏识；拉格朗日拉格朗日认为他认为他将来必定会成为大数学家，但建议他的父亲在他学将来必定会成为大数学家，但建议他的父亲在他学好文科前不要学数学。好文科前不要学数学。G
22、oursatBorn:21 May 1858 in Lanzac,Lot,FranceDied:25 Nov 1936 in Paris,France古萨资料古萨资料关于定理的说明：关于定理的说明：(1)若若曲线曲线 C 是区域是区域 B 的边界的边界，函数，函数f(z)在在B内与内与Cczdzf.0)(2)若曲线若曲线 C 是区域是区域 B 的边界的边界,函数函数f(z)在在B内解析，内解析，CBB上解析，即在闭区域上解析，即在闭区域在闭区域在闭区域上连续，那么定理仍成立。上连续，那么定理仍成立。上解析，则上解析，则CBB例例1 1 计算积分计算积分解：解：1.321zzdz z321根据柯
23、西古萨定理，有根据柯西古萨定理，有 1.0d321zzz函数函数 z1在在内解析，内解析，思考题思考题应用柯西应用柯西古萨定理应注意什么古萨定理应注意什么?思考题答案思考题答案(1)(1)注意定理的条件注意定理的条件“单连通域单连通域”。(2)注意定理的不能反过来用。注意定理的不能反过来用。Czdzf 0)(z2321反例：反例：zzf1)(圆环域圆环域内解析，单位圆内解析，单位圆是该区域内一条闭曲线，但是该区域内一条闭曲线，但1z0211idzzz即不能由即不能由,而说而说f(z)在在C内处处解析。内处处解析。反例：反例：zzf)(在单位圆在单位圆1z内处处不解析，但内处处不解析，但 1dz
24、zz 201diei20)sin(cosdii0定理一定理一 若函数若函数f(z)在在单连通域单连通域B内处处解析，那么内处处解析，那么Czdzf)(由定理知由定理知：解析函数在单连通域内的积分只与起点和终解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关点有关,(如下页图如下页图)1.1.两个主要定理：两个主要定理：二、原函数与不定积分二、原函数与不定积分积分积分与连结与连结起点起点及及终点终点的路线的路线C无关。无关。BB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzf。)()(0 dfzFzz若起点为z0，终点为z1，若固定若固定z0，让，让z1在
25、在B内变动，并令内变动，并令z1=z，便可确定，便可确定B内的一个单值函数内的一个单值函数定理二定理二 若函数若函数f(z)在单连通域在单连通域B内处处解析内处处解析B zK此定理与微积分学中的此定理与微积分学中的可变上限积分可变上限积分的求导定理的求导定理完全类似。完全类似。那么函数.zfzF)()(必为必为B内的一个解内的一个解析函数，并且 dfzFzz0)()(2.2.原函数的定义：原函数的定义：。BzfzzfzzfBz内的原函数在区域为那么称即内的导数为在区域若函数 )()(,)()(,)()(zzdfzF0)()(原函数之间的关系：原函数之间的关系：f(z)的任何两个原函数相差一个常
26、数。的任何两个原函数相差一个常数。显然显然是是f(z)的一个原函数。的一个原函数。)()(zHzG)()(zfzf.CzHzG)()(根据以上讨论可知：根据以上讨论可知：证明：证明：设设G(z)和和H(z)是是f(z)的任何两个原函数，的任何两个原函数，那么那么于是于是(C为任意常数为任意常数)若若f(z)在区域在区域B内有一个原函数内有一个原函数F(z)，那么它就有无，那么它就有无穷多个原函数，一般表达式为穷多个原函数，一般表达式为F(z)+C(C为任意常数为任意常数)0)()(zHzG 若函数若函数f(z)在单连通域在单连通域B内处处解析，内处处解析，G(z)为为f(z)的一个原函数，那么
27、的一个原函数，那么 称称f(z)的原函数一般表达式的原函数一般表达式F(z)+C（C为任意常为任意常数）为数）为f(z)的不定积分，记作的不定积分，记作3.3.不定积分的定义不定积分的定义 Czzdzf)()(定理三定理三)()()(0110zGzGzdzfzz(类似于牛顿类似于牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式)说明：说明：有了以上定理，复变函数的积分就可用跟微积分有了以上定理，复变函数的积分就可用跟微积分学中类似的方法去计算。学中类似的方法去计算。这里这里z0,z1为单连通域为单连通域B内的两点。内的两点。证明：证明：,)(d)(0的原函数也是因为zfzzfzzCzGzzfzz)(d)(0所以
28、 ,0时时当当zz 根据柯西根据柯西-古萨基本定理古萨基本定理,)(0zGC得,)()(d)(00zGzGzzfzz所以)()(d)(0110zGzGzzfzz或 证毕证毕 例例2 2 求求解：解：zdzzz10,z 221由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知，莱布尼兹公式知，10zzzdz).(212021zz 10221zzz因为因为z是解析函数，它的原函数是是解析函数，它的原函数是的值。的值。例例3 3 求求izdzz02cos解：解：izzz02dcos izz022dcos21iz 02sin21)sin(212 .sin212 (使用了微积分学中的使用了微积分学中的“凑微分凑微分”法法)的
29、值。的值。例例4 4 求求izdzz0cos解：解：方法一方法一由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知，莱布尼兹公式知，izzz0dcosizzz0cossin 1cossin iii12211 eeieei.11 e因为因为zcosz是解析函数，是解析函数，它的一个原函数是它的一个原函数是 zsinz+cosz，的值。的值。izzz0dcos izz0)(sind iizzzz00dsinsin方法二方法二izzz0cossin .11 e此方法使用了微积分中此方法使用了微积分中“分部积分法分部积分法”课堂练习课堂练习.dsin 10的值的值求求 zzz答案答案10d11sinsincos?.zz z
30、 小小 结结介绍了原函数、不定积分的定义以及牛顿介绍了原函数、不定积分的定义以及牛顿莱布莱布尼兹公式。尼兹公式。在学习中应注意与在学习中应注意与高等数学高等数学中相关内容相结中相关内容相结合合,更好的理解本课内容。更好的理解本课内容。d)()(0zzfzFCzFzzf)(d)()()(d)(0110zGzGzzfzz 思考题思考题解析函数在单连通域内积分的牛顿解析函数在单连通域内积分的牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿与实函数定积分的牛顿莱布尼兹公式有何异同莱布尼兹公式有何异同?思考题答案思考题答案两者的提法和结果是类似的。两者的提法和结果是类似的。两者对函数的要求差异很大。两者
31、对函数的要求差异很大。但在复积分中要求但在复积分中要求f(z)为单连域中的解析函数，且为单连域中的解析函数，且积分路线是曲线积分路线是曲线C，因而，因而z0,z都是复数；都是复数；在实积分中要求在实积分中要求f(x)为区域为区域a,b上的连续实函数，上的连续实函数，a,x都是实数。都是实数。1、问题的提出、问题的提出2.11zzdz 根据第一节例根据第一节例3 3可知可知,由此希望将基本定理推广到多连域中。由此希望将基本定理推广到多连域中。三、基本定理的推广三、基本定理的推广izz211211实例，计算实例，计算因为因为|z|=2是包含是包含z=1在内的闭曲线，在内的闭曲线，DC1C1DAA
32、BB EE FF，CDDCC按逆时针进行外部的闭曲线的正方向为看成一条复合闭路及若把两条简单闭曲线:，1 ,1按顺时针进行按顺时针进行内部的闭曲线内部的闭曲线C),D D,D(的左手边总在的内部的正向进行时即沿.0)(Cdzzf则 解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。作连续变形而改变它的值。闭路变形原理闭路变形原理说明：说明：在变形过程中曲线不经过函数在变形过程中曲线不经过函数f(z)的不解析的点。的不解析的点。2 2、复合闭路定理、复合闭路定理1)1)闭路变形原理闭路变形原理2)2)复合闭路定理复合闭路定理。DCCCCC
33、，nkCdzzfdzzfdzzf，nkC，Dzf。CCCCCCCnkCCCknnk的正向复合边界为均取逆时针方向其中或则续上连在内解析在若含又互不相交互不包其中所围成的多连通区域及内边界由简单闭曲线外边界由简单闭曲线区域设210n1k21210),2,1,0(0)()()(),2,1,0()(,，,D 00D0C1C2C3CCzdzzz22例例5 5 计算积分计算积分解：解：依题意知依题意知,C包含这两个奇点。包含这两个奇点。xyo 1C)(zf所以所以f(z)在在C所围区域内有奇点所围区域内有奇点z=0及及z=1。因为因为)1(22zzzz112zzzzz22，C为包含圆周为包含圆周在内的任
34、何正向简单闭曲线。在内的任何正向简单闭曲线。2z在在C内作两个互不包含也互不相交内作两个互不包含也互不相交的正向圆周的正向圆周C1和和C2，C1只包含奇点只包含奇点z=0，C2只包含奇点只包含奇点z=1,xyo 1C1C2C根据复合闭路定理根据复合闭路定理,Czdzzz22212222CCzdzzzzdzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i ,Czzdze 例例6 6 计算积分计算积分xyo121C2C解：解：zez圆环域的边界构成一条复合闭路。圆环域的边界构成一条复合闭路。根据闭路复合定理，得根据闭路复合定理，得.0d CzzzeC1和和C2围成一
35、个圆环域，围成一个圆环域，函数函数在此圆环域和其边界上处处解析，在此圆环域和其边界上处处解析，C为正向圆周为正向圆周|z|=2和负向圆周和负向圆周|z|=1所所组成组成。小小 结结讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理，掌握并能灵活应用它是本章的难点。中的重要定理，掌握并能灵活应用它是本章的难点。常用结论常用结论:.0,00,2d)(1 1nnizazCn思考题思考题复合闭路定理在积分计算中有什么用复合闭路定理在积分计算中有什么用?要要注意什么问题注意什么问题?思考题答案思考题答案利用复合闭路定理是利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的最主计
36、算沿闭曲线积分的最主要方法要方法。使用复合闭路定理时使用复合闭路定理时,要要注意曲线的方向注意曲线的方向。一、问题的提出一、问题的提出Czdzzzf0)(0)(zzzf根据闭路变形原理知，根据闭路变形原理知，该积分值不随闭曲线该积分值不随闭曲线 C 的变化的变化而改变而改变,求这个值。求这个值。第三节第三节 柯西积分公式柯西积分公式 C为为B内围绕内围绕z0的闭曲线。的闭曲线。所以所以一般不为零，一般不为零，若若f(z)在在B内解析，那么内解析，那么在在z0不解析。不解析。设设B为一单连通域，为一单连通域，z0为为B中一点。中一点。,zz0 )(.d)(d)(000缩小缩小将接近于将接近于 C
37、Czzzzfzzzzf Czzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfC 积分曲线积分曲线C取作以取作以z0为中心，半径为很小的为中心，半径为很小的的的正向圆周正向圆周由由f(z)的连续性，的连续性，在在C上函数上函数f(z)的值将随着的值将随着的缩小而逐渐接近于的缩小而逐渐接近于它的圆心它的圆心z0处的值，处的值，Czdzzzfi zf .)(21)(00二、柯西积分公式二、柯西积分公式定理定理 设函数设函数f(z)在以简单正向闭曲线在以简单正向闭曲线C所围成的区域所围成的区域B内解析，在内解析，在C上连续，则对上连续，则对B内任意一点内任意一点z0，有，有D 0zC柯西积分公
38、式柯西积分公式关于柯西积分公式的说明关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示。内部任一点的值用它在边界上的值表示。(这是解析函数的又一特征这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法，而且给出了解析函数的一个积分表达式。种方法，而且给出了解析函数的一个积分表达式。(这是研究解析函数的有力工具这是研究解析函数的有力工具)(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。,0ieRzzC是圆周若deRzfdzzzzfizfiR
39、zz)(21)(21)(200000例例1 1 求下列积分求下列积分：解：解：222C.d)(5(z)2(,1:izcosz(1)zzizz；izCdz，取正向其中1iz 由柯西积分公式由柯西积分公式dzCizcosz)cos(2ii12 ichizzicos2(1)(1)因为因为f(z)=cosz在复平面内解析，在复平面内解析，z=-i 位于位于内内,222d)(5(z)2(zzizzizzzi22523i225)(zzzf由柯西积分公式由柯西积分公式222d)(5(zzzizz2225zizzz2225zizzz令令在在|z|2内解析，内解析，z=i位于位于|z|2内内，例例2 2 计算积
40、分计算积分2.1zzzdze解：解：由柯西积分公式由柯西积分公式2d1zzzze.2ie 12zzei因为因为 f(z)=ez 在复平面内解析，在复平面内解析，z=1位于位于|z|2内，内，例例3 3;211 (1):,d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分解：解：2112d14sin)1(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 2)3(;211)2(zz 2112d14sin)2(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 22d14sin)3(zzzz由闭路复合定理由闭路复合定理,得得 22d14sinzzzz
41、 2112d14sinzzzz 2112d14sinzzzzii 2222.2 i 例例4 4.d)cos(sin ,d0cos1 ezzezz并证明并证明求积分求积分解解:根据柯西积分公式知，根据柯西积分公式知，1dzzzze02 zzei;2 i )(,irez令令,1 rz 1dzzzze diireirereei diee i dsincosie i diee i cos0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei,21i zdzezz cos0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei 1dzzzze比较两式得比较两式得.d)cos(sin0cos e因为因为课堂
42、练习课堂练习.d)1(32 zzzzze计算积分计算积分答案：答案：1,1,0 zzz有三个奇点有三个奇点32d)1(zzzzze)2(1eei21122112212d)1(d)1(d)1(zzzzzzzzzezzzezzze小小 结结 柯西积分公式是复积分计算中的重要公式，它的证明柯西积分公式是复积分计算中的重要公式，它的证明基于柯西基于柯西古萨基本定理，其重要性在于：古萨基本定理，其重要性在于：一个解析函数一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示，故它是研究解析函数的重要工具。故它是研究解析函数的重要工具。Czzzzfizf.
43、d)(21)(00柯西积分公式柯西积分公式:思考题思考题柯西积分公式是对有界区域而言的柯西积分公式是对有界区域而言的,能否推广能否推广到无界区域中到无界区域中?思考题答案思考题答案可以。可以。,)(要要做做一一些些限限制制但但对对函函数数zf ,)(上解析上解析及边界及边界在在设设CGzf )(,0,0()(,zfRzRzfz时时使当使当即即一致趋于零一致趋于零时时并且当并且当,内任意一点内任意一点则对则对G,d)(21)(Czzzfif 有有其中积分方向应是顺时针方向。其中积分方向应是顺时针方向。一、问题的提出一、问题的提出问题问题:(1)解析函数是否有高阶导数解析函数是否有高阶导数?(2)
44、若有高阶导数若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同其定义和求法是否与实变函数相同?回答回答:(1)解析函数有各高阶导数。解析函数有各高阶导数。(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示，表示，这与实变函数完全不同。这与实变函数完全不同。解析函数高阶导数的定义是什么解析函数高阶导数的定义是什么?第四节第四节 高阶导数高阶导数二、主要定理二、主要定理定理六定理六 若若f(z)在正向闭曲线在正向闭曲线C所围区域所围区域B内解析，内解析，在在C上连续，则对上连续，则对B内任意一点内任意一点z0，有，有),2,1()()(2)(100)(nz
45、dzzzfi!nzfCnn 不在于通过积分来求导，而在于通过求导来不在于通过积分来求导，而在于通过求导来求积分。求积分。高阶导数公式的作用：高阶导数公式的作用：例例1 1 计算下列积分，其中计算下列积分，其中C为正向圆周：为正向圆周：解：解：CzCzdzezdzz.)1()2(;)1(cos)1(225 zz5)1(coszcosCnnzdzzzfinzf 100)()()(2!)(Czzzd)1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi;125i 根据公式根据公式(1)函数函数在在C内内z=1处不解析，处不解析，但但在在C内处处解析，内处处解析，rz.122)1(zez1C2Cxyo
46、iCi 22)1(zez在在C内以内以i为中心作一个正向圆周为中心作一个正向圆周C1，以以-i为中心作一个正向圆周为中心作一个正向圆周C2，则函数则函数在由在由C,C1,C2围成的区域内解析围成的区域内解析,(2)函数函数在在C内的内的z=i处不解析，处不解析，1C2Cxyo iCi 根据复合闭路定理根据复合闭路定理 Czzzed)1(22 21d)1(d)1(2222CzCzzzezze 1d)1(22Czzze 1d)()(22Czzizizeizzizei 2)()!12(2,2)1(iei1C2Cxyo iCi 2d)1(22Czzze同理可得同理可得,2)1(iei Czzzed)1
47、(22于是于是 2)1(iei 2)1(iei)(1(2iiieei )1sin1(cos)1(22 i.41sin2 i推导1推导2例例2 2.dcos)2(;d)1(1(1)12243 zzzzzzezzz求积分求积分解：解：,1 )1(3在复平面内解析在复平面内解析函数函数 z,2 10内在zz,3 n 243d)1(1zzzz1)3(3 1!32zzi;2 i Cnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(根据公式根据公式 12dcos)2(zzzzze ,cos 在复平面内解析在复平面内解析函数函数zez ,1 00内内在在 zz,1 n 12dcoszzzzze0)cos(!
48、12 zzzei0sincos2 zzzzezei.2 i 例例3 3解解:)(.d 1为整数为整数求积分求积分nzzeznz ,0)1(n ,1 上解析上解析在在 zzenz由柯西古萨基本定理得由柯西古萨基本定理得 1;0dznzzze,1)2(n由柯西积分公式得由柯西积分公式得 1dznzzze0)(2 zzei;2 i ,1)3(n Cnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(根据公式根据公式 1dznzzze0)1()()!1(2 znzeni.)!1(2 ni课堂练习课堂练习Czdzzzzzg.)()(30240参考答案参考答案.)16(2)(200i zzg1 1、由柯西古
49、萨基本定理得、由柯西古萨基本定理得2 2、根据公式、根据公式0)(13024dzzzzzz设设C是不通过是不通过z0的简单闭曲线，求的简单闭曲线，求z0在在C外，外，g(z0)=0；Cnndzzzzfinzf100)()()(2!)(z0在在C内，内，例例4 4 求积分求积分解：解：.31)2(;23)1(zz zz32)2(1,23)1(z,1)(3zzf Czzzd)2(1 32 Czzzd)2(1 23231!12 zzi;83 i 函数函数有两个奇点有两个奇点z=0和和z=2，Czdzz.)2(132其中其中C：仅包含奇点仅包含奇点z=2,取取31)2(z根据复合闭路定理和高阶导数公式
50、，根据复合闭路定理和高阶导数公式，Czzzd)2(1 32 21d)2(1d)2(1 3232CCzzzzzz 21d)2(1d)2(1 2332CCzzzzzz23021!12)2(1!22 zzzizi8383ii .0 作简单闭曲线作简单闭曲线C1和和C2分别包含分别包含0和和2，且，且C1和和C2互不包含互不相交，互不包含互不相交，两个奇点两个奇点z=0和和z=2都含在都含在C内，内，,zdzf C0)(例例5 5 设函数设函数f(z)在单连通域在单连通域B内连续，且对于内连续，且对于(Morera定理定理)证明：证明：依题意可知依题意可知zzdf0)(,dfzFzz0)()(在在B内
