1、 一元二次方程整数根问题的几种思维策略一、利用判别式例1. 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程 与的根都是整数。解：方程有整数根， =16-16m0，得m1又方程有整数根 =16m24(4m24m5) 0 得. 综上所述，m1x可取的整数值是1，0，1当m=1时，方程为x-4x+4=0 没有整数解，舍去。而m0 m=123.（东城） 已知关于x的一元二次方程，.（1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系； （2）若ab=2，且，求a，b的值；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象与x轴的交点为A、C（点A在点C的左侧），与y轴的交点为B，顶点为D.若点P（x，y）是四边形ABCD边上
2、的点，试求3xy的最大值.解：(1) 关于x的一元二次方程有实数根, =有a2b20，（a+b）（a-b）0. , a+b0,ab0. . 2分（2） ab=2， 设(k0). 解关于x的一元二次方程，得 .当时，由得.当时，由得（不合题意，舍去）. . 5分（3） 当时，二次函数与x轴的交点为、C的交点坐标分别为A（6，0）、（2，0），与y轴交点坐标为（0，12），顶点坐标D为（4，4）. 设z3xy ，则. 画出函数和的图象，若直线平行移动时，可以发现当直线经过点C时符合题意，此时最大z的值等于6 7分二、利用求根公式例2设关于x的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。解：
3、=(2k2-6k-4)2-4(k2-4)(k2-6k+8)=4(k-6)2 由求根公式得即 只有当x1时，则有两式相减，得, 去分母，整理得 由于x1，x2是整数，故可求得或或.分别代入，易得k=3，6.23.(丰台模拟) 已知：关于x的方程. （1）求证：方程总有实数根； （2）当k取哪些整数时，关于x的方程的两个实数根均为负整数？23. 解：（1）分类讨论：若=0，则此方程为一元一次方程，即，有根，1分若0，则此方程为一元二次方程，=0， 2分方程有两个不相等的实数根，3分综上所述，方程总有实数根.（2）方程有两个实数根 方程为一元二次方程.利用求根公式， 4分得；，5分方程有两个负整数根
4、 是负整数，即是3的约数=，但=、时根不是负整数，=、.7分三、 利用方程根的定义例3. b为何值时，方程和有相同的整数根？并且求出它们的整数根？解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b) 当b2时,x=1+b,代入第一个方程,得 解得b=1,x=2当b=2时,两方程无整数根. b=1,相同的整数根是2四.利用因式分解例4. 已知关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数a有_个.解: 当a=1时,x=1 当a1时,原方程左边因式分解,得 (x1)(a1)x+(a+1)=0即得 x是整数 1-a=1,2, a= -1,0,2,3 由上可知符合条件的整数有5个.五.分析等式例5.
5、n为正整数，方程有一个整数根，则n=_.解：不妨设已知方程的整数根为，则整理。得因为为整数，所以为整数也一定是整数，要使为整数，必有.由此得，即解得n=3或-2（舍去） n=3。上述策略都是平常我们经常使用的策略，由于根系关系的弱化，对于一元二次方程根的题也就随之简单和弱化了。但是还是有部分题目在这里做文章，我觉得做这种题的常规套路一般可以这样，求判别式分析参数、利用求根公式求根，结合条件和判别式分析参数、分类讨论与试数、舍值求解。有时还要注意奇偶性的分析、方程的变形、整体带入换元思想的应用、还要注意在对根的确定时的分类等等！总之这种题对于学生来讲，只要有套路就相对容易解决，反之就无从下手。练
6、习题：1已知关于x的一元二次方程有两个正整数根，则m可能取的值为( ).（A） （B） （C）-4，-5（D）4，52.如果关于x的一元二次方程x2xm=0的两个根都是有理数，试确定m的值（写出两个不同的值即可），并求出方程的根。3、已知关于m的方程是一元二次方程（1） 求a的值（2） 当n=0时，判断原方程是否有整数解（3） 求当n取哪些整数时，原方程有整数解4、已知关于x的方程kx2+2(k+1)x-3=0（1） 请你为k选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根。（2） 若k满足不等式16k+30，试讨论方程实数根的情况5、已知关于x的一元二次方程x22mx3m2+8m4=0
7、.（1） 求证原方程总有两个实数根；（2） 给m一个合适的值，使这个一元二次方程的两个根都是分数.6.是整数，已知关于的一元二次方程只有整数根,则k= 7已知抛物线 （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若，且抛物线与轴交于整数点，求此抛物线的解析式8 已知关于x的一元二次方程只有正整数根，试求非负整数a的值9已知：抛物线 （1）当对称轴为时，求此抛物线的解析式和顶点坐标； （2）若代数式的值为正整数，求x的值附：一模试题1、（朝阳12）. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且my1?3、（门头沟23）已知以x为自变量的二次函数y=x22mxm7 （1）求证：不论m为任何实数，二次函数的
8、图象与x轴都有两个交点；（2）若二次函数的图象与x轴的两个交点在点（1，0）的两侧，关于x的一元二次方程m2x2(2m3)x1=0有两个实数根，且m为整数，求m的值；（3）在（2）的条件下，关于x的另一方程 x22(am)x2am26 m4=0 有大于0且小于5的实数根，求a的整数值 （与函数结合）4、（密云23）. 关于x的方程至少有一个整数解，且a是整数，求a的值.（注意奇偶性）5、（顺义23）. 已知：关于的一元二次方程（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根满足，求的值（易）6、(通州22) 若关于x的一元二次方程m2x2-(2m-3)x1=0的两实
9、数根为x1 、x2 ，且x1x2=, x1x2=,两实数根的倒数和是S.求：（1）m的取值范围；（2）S的取值范围.（注意对方程的变形）7、（海淀23）已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc（c0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1. （1）若方程的根为正整数，求整数k的值； （2）求代数式的值；（3）求证: 关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0 必有两个不相等的实数根.8、（东城23.）已知：关于的一元二次方程（1）若求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若12m40的整数，且方程有两个整数根，求的值（常规套路）9、（崇文23）（本小题满分7分）已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k3)x+k3 = 0有两个不相等实数根（k0）（I）用含k的式子表示方程的两实数根；（II）设方程的两实数根分别是，（其中），若一次函数y=(3k1)x+b与反比例函数y =的图像都经过点（x1，kx2），求一次函数与反比例函数的解析式（对根的确定要注意）
