1、 开始 输出 S 结束 i10 i3 N Y SS+2i （第 6题图） ii2 S4 苏州大学苏州大学 2020 届高考考前指导卷届高考考前指导卷 数学 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请把 答案直接填在答题卡相应位置上 1 已知集合 | 12Axx ， |1Bx x， 则AB 2 已知纯虚数z满足(1 i)2iza， 则实数a等于 3某高速公路移动雷达测速检测车在某时段对某段路过往 的 400 辆汽车的车速进行检测，根据检测的结果绘制出 如图所示的频率分布直方图，根据直方图的数据估计 400 辆汽车中时速在区间90 110)，的约有 辆
2、4函数( )12lgf xxx的定义域为 5在直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 2 2 1 (0) y x 的离心率为3， 则的值为 6执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为 7展览会会务组安排了分别标有序号为“1 号” 、 “2 号” 、 “3 号”的三辆 车，采用等可能随机的顺序前往酒店接嘉宾某与会嘉宾设计了两种 乘车方案方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一 辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐 第一辆车则该嘉宾坐到“3 号”车的概率是 8已知函数( )cosf xxx，则( )f x在点( ) 22 f ，处的切线的斜率为 9已知 n S是等比
3、数列 n a前n项的和，若公比2q ，则 135 6 aaa S 的值是 10已知2sincos() 4 ，则tan() 4 的值是 11 九章算术是我国古代著名数学经典里面对勾股定理的论述 比西方早一千多年， 其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中， 不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其 意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去 锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺问这块圆柱形木料的直 径是多少？长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图 如图所示 （阴影部分为镶嵌在墙体内的部分） 已知弦1AB 尺， 弓形高1CD 寸，估算该木材的体积约为 （立方寸） （第 3
4、 题图） 墙体 C D F EB A O （第 11 题图） （注：1 丈10尺100寸，3.14） 12已知函数 2 |log2| 01 ( ) 3 1 xx f x xx ， ， ， 若存在互不相等的正实数 123 xxx， ，满足 123 xxx且 123 ()()()f xf xf x，则 31 ()x f x的最大值为 13已知点 P 为正方形 ABCD 内部一点（包含边界） ，E F，分别是线段BC CD，中点若 0CP DP，且APAEAF，则的取值范围是 14 已知 D 是ABC边AC上一点， 且 1 s 4 32 c oCBDABDDA C， 则3A B B C 的最大值为
5、二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） ABC的内角A B C， ，的对边分别为a b c，且1a ，3cossinCcA （1）求C； （2）若3b ，D是AB上的点，CD平分ACB，求ACD的面积 16 （本小题满分 14 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面 ABCD 是矩形， 点 E 在棱 PC 上 （异于点P C，） ， 平面 ABE 与棱 PD 交于点 F （1）求证：ABEF； （2）若 AFEF，求证：平面 PAD平面 ABCD E F AB C D P （第 16
6、 题图） 17 （本小题满分 14 分） 如图，某公园内有一半圆形人工湖，O 为圆心，半径为 1 千米为了人民群众美好 生活的需求，政府为民办实事，拟规划在OCD区域种荷花，在OBD区域建小型 水上项目已知AOCCOD （1）求四边形OCDB的面积（用表示） ； （2）当四边形OCDB的面积最大时，求 BD 的长（最终结果可保留根号） 18 （本小题满分 16 分） 如图，已知椭圆 22 22 1 (0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，短轴长为 2，左、右顶点分 别为A B，设点( 2) (0)Mmm ，连接MA交椭圆于点C （1）求该椭圆的标准方程； （2）若OCCM，求四边形OB
7、MC的面积 O D C BA （第 17 题图） （第 18 题图） 19 （本小题满分 16 分） 已知函数 2 ( )2lnf xxaxx（其中 a 为常数） （1）求函数( )f x的单调区间； （2）设函数( )f x有两个极值点 1212 ()xxxx，若 12 ()f xmx恒成立，求实数m的 取值范围 20 （本小题满分 16 分） 对于数列 n a， 若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和， 则称 n a为P 数列 （1）若 n a的前n项和32 n n S ，试判断 n a是否是P数列，并说明理由； （2） 设数列 12310 aaaa， ， ， ，是首项为1， 公差
8、为d的等差数列， 若该数列是P数列， 求d的取值范围； （3）设无穷数列 n a是首项为a、公比为q的等比数列，有穷数列 nn bc，是从 n a 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为 12 TT，求 n a是P数列时a与q所满足的条件，并证明命题 “若0a 且 12 TT， 则 n a不 是P数列” 苏州大学苏州大学 2020 届高考考前指导卷届高考考前指导卷 数学（附加题） 21 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题 ，并在相应的 答题区域 内作 答 ，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 A选修选修 4 2：矩阵与变换
9、：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，设点(5)P x，在矩阵 M 12 34 对应的变换下得到点 (2)Q yy ，求 1 x y M B选修选修 4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，建立极坐标 系，直线l的极坐标方程为sin()2 4 ，曲线C的参数方程为 2cos3 () sin22 x y ， ，求l与曲线C交点的直角坐标 C选修选修 4 5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知00xy，且满足 22 1127 4 xy xy ，求15 3 4xy
10、的最小值 【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域 内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 在四棱锥PABCD中，/AB CD，2224ABCDBCAD，60DAB， AEBE，PAD为正三角形，且平面PAD平面ABCD （1）求二面角PECD的余弦值； （2）线段PC上是否存在一点M，使得异面直线DM和 PE所成的角的余弦值为 6 8 ？若存在， 指出点M的 位置；若不存在，请说明理由 23 （本小题满分 10 分） 已知非空集合M满足0 1 2Mn， ， * (2)nnN ， 若存在非负整数 ()k
11、 kn， 使得当aM时， 均有2kaM， 则称集合M具有性质P 记具有性质P的集合M 的个数为( )f n （1）求(2)f的值； （2）求( )f n的表达式 E A C D P B （第 22 题图） 苏州大学苏州大学 2020 届高考考前指导卷届高考考前指导卷 参考答案 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 1 |12xx 22 3280 4 1 (0 2 ， 52 652 7 5 6 8 2 9 1 3 10 1 2 1153066 124 13 24 1 33 ， 1416 5 5 解答与提示： 1 |12ABxx 2 2i(2i)(1i)22 i 1i2
12、22 aaaa z 因为z为纯虚数， 所以 20 20 a a ， ， 解得2a 3由图可知，时速在区间80 90) 110 120)，的频率为(0.010.02) 100.3，所以时速 在区间90 110)，的频率为10.3，所以时速在区间90,110)的车辆约为4000.7280 辆 4由 120 0 x x ， ， 解得 1 0 2 x，即函数( )f x的定义域为 1 (0 2 ， 5离心率 1 3 1 c e a ，所以2 6执行第一次循环105Si，；执行第二次循环207Si，； 执行第三次循环349Si，；执行第四次循环5211Si，终止循环 所以52S 7记方案一与方案二坐到“
13、3 号”车的概率分别为 P1，P2，三辆车的出车顺序可能为： 123， 132， 213， 231， 312， 321 方案一坐 “3 号” 车可能： 132， 213， 231， 所以 1 3 6 P ； 方案二坐“3 号”车可能：312，321，所以 2 2 6 P 则该嘉宾坐到“3 号”车的概率 12 5 6 PPP 8( )cossinfxxxx，所以在 2 x 处的切线的斜率为 ( ) 22 k f 9 23 1 2 135 6 16 1() 111 (1)13 1 aq aaaq aqSq q 10因为 2sincos() 4 ，解得 1 tan 3 ，所以 1 1 1 3 tan
14、() 1 42 1 3 11如图，10AB （寸） ，则5AD （寸） ，1CD （寸） ，设圆 O 的半径为 x（寸） ，则(1)ODx（寸） 在RtADO，由勾股定 理可得 222 5(1)xx，解得13x （寸） ，则该木材的体积约为 22 1001316900x（立方寸） 12 函数( )f x的图象如右图所示， 由题意， 3 0()2f x， 即 3 19x， 因为 123 ()()()f xf xf x，所以 3133 ()(3)x f xxx，令 3 (1,3)tx，构造函数 32 ( )3g ttt， 2 ( )36g ttt ，所以 当2t 时， max ( )(2)4g t
15、g，所以 31 ()x f x的最大值为 4 13设正方形 ABCD 的边长为 a，以 A 为原点，AB AD，所在直线为 分别为x y，轴建立平面直角坐标系， 则(0 0)(0)()(0)AB aC a aDa， ， ， ， 设()P x y， 因为0CP DP，所以() ()0xa yax ya，即 2 22 ()() 24 aa xya，设 cos 22 sin 2 aa x a ya ， 又因为()() 22 aa E aFa， ，APAEAF，所以()()() 22 aa x yaa，即 2 2 a xa a ya ， ， 所以 2232 ()(sincos )1sin() 3322
16、34 aa xy aa ， 由 P 为正方形 ABCD 内部一点 （包含边界） ， 可得2 ， 所以 444 ， 所以 224 1sin()1 3433 ， 14法一：设ADt，则 3CDt，4ACt， 在ABD中， 222 ( 2) cos 2 2 tc ADB t ， D C B A 在BDC中， 222 (3 )( 2) cos 2 2 3 ta BDC t ， 又coscosADBBDC ， 所以 222222 ( 2)(3 )( 2) 2 22 2 3 tcta tt ，解得 222 1238tca， 在ABC中， 2222 (4 )2cosACtacacB，即 222 1 16 2
17、 tacac， 由可得 22 3 932 2 acac 所以 2222 3335 32(3 )(3 )(3 )()(3 ) 2228 ac acacacac ， 即 2 8 32 (3 ) 5 ac ，所以 16 5 3 5 ac， 当且仅当3ac，即 8 58 5 , 515 ac时等号成立， 所以3ABBC的最大值为16 5 5 法二：因为3CDAD，所以3CDDA，即3()BDBCBABD， 整理得到 31 44 BDBABC，两边平方后有 222913 16168 BDBABCBA BC， 所以 22913 2 16168 BABCBA BC即 229131 2| | 161684 B
18、ABCBABC， 整理得到 22 3 329| | 2 BABCBABC， 设|cBAaBC，所以 222 39 329(3) 22 caaccaac， 因为 2 93 33 3 () 2222 aca cca ， 所以 2222 935 32(3)(3)(3)(3) 288 caaccacaca， 8 3216 5 3 55 ca ，当且仅当 8 58 5 515 ac，时等号成立， 所以3ABBC的最大值为16 5 5 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分 15 （本小题满分 14 分） 解： （1）因为1a 且3cossinCcA，所以3 cossinaCcA， 2 分 在AB
19、C中，由正弦定理 sinsin ac AC ，所以sinsinaCcA， 所以3sincossinsinACCA 4 分 因为(0)A，所以sin0A ，所以3cossinCC， 因为(0)C，所以sin0C ，所以cos0C ，所以tan3C ， 6 分 因为(0)C，所以 3 C 8 分 （2）由（1）知， 3 ACB ，因为1a ，3b ， 所以ABC的面积 133 3 sinsin 2234 ABC SabACB ， 10 分 因为D是AB上的点，CD平分ACB， 所以 1 sin 1 26 1 3 sin 26 BCD ACD a CD Sa Sb b CD ， 12 分 因为 AB
20、CACDBCD SSS ，所以 333 39 3 44416 ACDABC SS 14 分 16 （本小题满分 14 分） 证： （1）因为四边形 ABCD 是矩形，所以ABCD 2 分 又 AB平面 PDC，CD平面 PDC， 所以AB平面 PDC， 5 分 又因为 AB平面 ABE，平面 ABE平面 PDCEF， 所以ABEF 7 分 （2）因为四边形 ABCD 是矩形，所以 ABAD 因为 AFEF， （1）中已证ABEF， 所以 ABAF， 9 分 因为 ABAD，由点 E 在棱 PC 上（异于点 C） ， 所以 F 点异于点 D，所以AFADA， 又AFAD，平面 PAD，所以 AB
21、平面 PAD， 12 分 又 AB平面 ABCD，所以平面 PAD平面 ABCD 14 分 17 （本小题满分 14 分） 解： （1）由题意AOCCOD ，设四边形OCDB的面积为( )S， 因为四边形OCDB可以分为OCD和OBD两部分， 所以 11 ( )sinsin(2 ) 22 OCDOBD SSSOC ODOB OD ， 3 分 E F AB C D P 因为1OBOCOD，所以 1 ( )(sinsin2 ) 2 S 因为020，所以0 2 所以四边形OCDB的面积 1 ( )(sinsin2 )(0) 22 S ， 6 分 （2）由（1） 1 ( )(sinsin2 )(0)
22、22 S ， 所以 22 11 ( )( sin )(sincos )coscossin 22 S 2 1 (4 coscos2) 2 ， 令( )0S，即 2 4coscos20，解得 133 cos 8 或 133 cos 8 ， 因为0 2 ，所以存在唯一的 0 ，使得 0 133 cos 8 10 分 当 0 0时，( )0S，( )S在 0 (0)，单调递增； 当 0 2 时，( )0S，( )S在 0 () 2 ，单调递减， 所以 0 时， max0 ( )()SS， 12 分 此时 222 0 2cos(2)BDOBODOB OD 22 000 1 1 2cos222(2cos1
23、)4cos ， 从而 0 133 2cos 4 BD （千米） 答：当四边形OCDB的面积最大时，BD 的长为 133 4 千米 14 分 18 （本小题满分 16 分） 解： （1）因为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，短轴长为 2， 所以 222 22 2 2 b abc c a ， ， ， 解得21ab， 所以该椭圆的标准方程为 2 2 1 2 x y 4 分 （2）因为点( 2) (0)(2 0)MmmA， 所以直线AM的方程为(2) 2 2 m yx，即 2 (2) 4 m yx 由 2 2 1 2 2 (2) 4 x y m yx ， ， 消去y得
24、 2222 (4)2 2280mxm xm 7 分 设 00 ()C xy，则 2 0 2 28 2 4 m x m ，所以 2 0 2 24 2 4 m x m ，所以 0 2 4 4 m y m 连接OM，取OM的中点R，则 2 () 22 m R， 10 分 连接CR，因为OCCM，所以CROM 又 3 0 2 0 4 2 224 23 2 2 OMCR m y mmm kk m x ， 所以 3 2 4 1 2 4 23 2 mmm m ，即 42 280mm， 因为0m ，所以2m ， 13 分 所以四边形OBMC的面积 2 114 24 2 222 223( 2)4 ABMAOC
25、SSS 16 分 19 （本小题满分 16 分） 解： （1）因为 2 ( )2lnf xxaxx，所以 2 22 ( ) (0) xax fxx x 2 分 令 2 ( )22p xxax， 2 16a ， 当0即44a 时，( ) 0p x ，即( )0fx， 所以函数( )f x单调递增区间为(0)， 当0 即4a 或4a 时， 22 12 1616 44 aaaa xx ， 若4a ，则 12 0xx，所以( )0p x ，即( )0fx， 所以函数( )f x的单调递增区间为(0)， 若4a ，则 21 0xx，由( )0fx即( )0p x ，得 1 0xx或 2 xx； 由( )
26、0fx，即( )0p x 得 12 xxx 所以函数( )f x的单调递增区间为 12 (0) ()xx ，；单调递减区间为 12 ()xx， 综上，当4a时，函数( )f x的单调递增区间为(0)，无减区间；当4a 时， 函数( )f x的单调递增区间为 12 (0) ()xx ，单调递减区间为 12 ()xx， 6 分 （2）由（1）得 2 22 ( ) (0) xax fxx x ， 若( )f x有两个极值点 12 xx，则 12 xx，是方程 2 220xax的两个不等正实根， 由（1）知4a 则 1212 21 2 a xxx x，故 12 01xx ， 8 分 要使 12 ()f
27、 xmx恒成立，只需 1 2 ()f x m x 恒成立 因为 222 31111111 1111 22 1 ( )2ln222ln 22ln 1 f xxaxxxxx xxxx xx x ， 10 分 令 3 ( )22 ln (01)h tttttt ，则 2 ( )32lnh ttt， 12 分 当01t 时，( )0h t，( )h t为减函数，所以( )(1)3h th 14 分 由题意，要使 12 ()f xmx恒成立，只需满足3m 所以实数m的取值范围(3 ， 16 分 20 （本小题满分 16 分） 解： （1）由32 n n S ，可知 11 2 3n nnn aSS ， 故
28、 1 320 n nn aS 对一切正整数n都成立，故 n a是P数列 3 分 （2）由题意知，该数列的前n项和为 (1) 2 n n n Snd ， 1 1 n and ， 由数列 12310 aaaa， ， ， ，是P数列，可知 211 aSa，故公差0d 2 1 3 (1)10 22 nn d Sand n 对满足19n 中的每一个正整数n都成立， 即 2 3 (1)10 22 d nd n 对于19n 都成立 6 分 由 2 2 3 1(1)10 22 3 99(1)10 22 d d d d ， ， 可得 8 0 27 d，故d的取值范围是 8 (0) 27 ， 8 分 （3）若 n
29、 a是P数列，则 12 aSaaq， 若0a ，则1q ，又由 1nn aS 对一切正整数n都成立， 可知 1 1 n n q aqa q ，即 1 2( )nq q 对一切正整数n都成立， 由 1 ( )0 n q ， 1 ( )(0 1) n q ，故20q，可得2q 若0a ，则1q ，又由 1nn aS 对一切正整数n都成立， 可知 1 1 n n q aqa q ，即(2)1 n q q对一切正整数n都成立， 又当(1q ，时，(2)1 n q q当2n 时不成立， 故有 (0 1) (2)1 q q q ， ， ， 或 2 ( 1 0) (2)1 q q q ， ， ， 解得 15
30、 (0)(0 1) 2 q ， 所以 n a是P数列时，a与q所满足的条件为 0 2 a q ， ， 或 0 15 (0 1)(0) 2 a q ， ， 12 分 下面用反证法证明命题“若0a 且 12 TT，则 n a不是P数列” 假设 n a是P数列，由0a ，可知2q且 n a中每一项均为正数， 若 n b中的每一项都在 n c中，则由这两数列是不同数列，可知 12 TT， 若 n c中的每一项都在 n b中，同理可得 12 TT 若 n b中至少有一项不在 n c中且 n c中至少有一项不在 n b中， 设 nn bc ，是将 nn bc，中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列， 它们
31、的所有 项和分别为 12 TT ， 不妨设, nn bc 中的最大项在 n b中，设为 m a，则2m， 则 21211mm TaaaaT ，故 21 TT ，所以 21 TT， 故总有 12 TT，与 12 TT矛盾故 n a不是P数列 16 分 数学（附加题） 21 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题 ，若多做，则按作答的前两 题评分 A选修选修 4 2：矩阵与变换：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 解：依题意 12 34 5 x 2y y ，即 102 320 xy xy ， ， 解得 4 8 x y ， ， 3 分 由逆矩阵公式知，矩阵 M 12 34 的逆矩阵 1
32、21 31 22 M， 7 分 所以 1 x y M 21 31 22 4 8 16 10 10 分 B选修选修 4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 解：直线 22 (sincos )2 22 l：， 所以直线l的直角坐标方程为20xy 3 分 曲线C的普通方程为 22 (2)1 ( 32)xyx ， 6 分 22 20 (2)1 ( 32) xy xyx ， -， 消去 y 整理得 2 2870xx， 则 2 2 2 x ，所以交点坐标为 22 ( 2) 22 ， 10 分 C选修选修 4 5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分 10 分） 解：由00xy， 22 1127 4 xy xy ， 得 22 15316127 444 xy xyxy 22 3 3 8 81127327 33126 88444 xy x xyy
