1、第二课时组合的应用第二课时组合的应用第一章计数原理第一章计数原理栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理学习导航学习导航学习目标学习目标重点难点重点难点重点重点:常见组合问题的解决策略常见组合问题的解决策略.难点难点:实际问题的转化实际问题的转化.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理新知初探新知初探 思维启动思维启动 解答有限制条件的组合问题的基本方法是解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法直接法”和和“_“_(排除法排除法)”.其中用直接法求解时其中用直接法求解时,应坚持应坚持“特殊元素特殊元素优先选取优先选取”的原则的原则,优先安排优先安排_的选取的选取,再安排其他元素再
2、安排其他元素的选取的选取.间接法间接法特殊元素特殊元素 而选择间接法的原则是而选择间接法的原则是“正难则反正难则反”,也就是若正面问题分类也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大较多、较复杂或计算量较大,不妨从反面问题入手不妨从反面问题入手,试一试看是否试一试看是否简捷些简捷些,特别是涉及特别是涉及“至多至多”、“至少至少”等组合问题时更是如此等组合问题时更是如此.优待排列优待排列集团排列集团排列间隔排列间隔排列栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理 做一做做一做1.从甲、乙、丙、丁四位同学中选两人参加一项活动从甲、乙、丙、丁四位同学中选两人参加一项活动,甲、乙两甲、乙两人有一人参加
3、有人有一人参加有_种选法种选法.答案答案:42.从从4台甲型和台甲型和5台乙型电视机中任意取出台乙型电视机中任意取出3台台,其中至少有甲型其中至少有甲型和乙型电视机各和乙型电视机各1台台,则不同的取法共有则不同的取法共有_种种.答案答案:70栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理题型一有限制条件的组合问题题型一有限制条件的组合问题 在一次数学竞赛中在一次数学竞赛中,某学校有某学校有12人通过了初试人通过了初试,学校要从中学校要从中选出选出5人去参加市级培训人去参加市级培训,在下列条件下在下列条件下,有多少种不同的选法有多少种不同的选法?(1)任意选任意选5人人;(2)甲、乙、丙三人必须参
4、加甲、乙、丙三人必须参加;(3)甲、乙、丙三人不能参加甲、乙、丙三人不能参加;(4)甲、乙、丙三人只能有甲、乙、丙三人只能有1人参加人参加;(5)甲、乙、丙三人至少甲、乙、丙三人至少1人参加人参加.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理【名师点评名师点评】有限制条件的抽有限制条件的抽(选选)取问题取问题,主要有两类主要有两类:一是一是“含含”与与“不含不含”问题问题,其解法常用直接分步法其解法常用直接分步法,即即“含含”的先取出的先取出,“不含不含”的可把所指元素去掉再取的可把所指元素去掉再取,分步计分步计数数;二是二是“至多至多”“”“至少至
5、少”问题问题,其解法常有两种解决思其解法常有两种解决思路路:一是直接分类法一是直接分类法,但要注意分类要不重不漏但要注意分类要不重不漏;二是间接法二是间接法,注意找准对立面注意找准对立面,确保不重不漏确保不重不漏.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理互动探究互动探究1.若本例题条件不变若本例题条件不变,求甲、乙、丙三人至多求甲、乙、丙三人至多2人参加人参加,有多少种不有多少种不同的选法同的选法?栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理题型二几何问题中的组合问题题型二几何问题中的组合问题、是两个平行平面是两个平行平面,在在内取四个点内取四个点,在在内取五个点内取五个点.(1)这些点最
6、多能确定几条直线这些点最多能确定几条直线?几个平面几个平面?(2)以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥?栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理【名师点评名师点评】解与几何有关的问题解与几何有关的问题,基本思路有两种基本思路有两种,一是考一是考虑用特殊元素去分类虑用特殊元素去分类,用直接法求解用直接法求解;二是间接法二是间接法,在所有的取法在所有的取法中中,去掉不符合题意的取法去掉不符合题意的取法(如共线三点不能构成三角形如共线三点不能构成三角形),这两种这两种方法方法,都应熟练掌握都应熟练掌握.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理变式训练变式训练
7、2.已知已知AOB的边的边OA上有上有5个点个点,边边OB上有上有6个点个点,用用这些点和这些点和O点为顶点点为顶点,能构成多少个不同的三角形能构成多少个不同的三角形?栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理题型三排列与组合的综合运用题型三排列与组合的综合运用 现有现有4个不同的球个不同的球,4个不同的盒子个不同的盒子,把球全部放入盒内把球全部放入盒内:(1)共有几种放法共有几种放法?(2)恰有恰有1个空盒个空盒,有几种放法有几种放法?(3)恰有恰有2个盒子不放球个盒子不放球,有几种放法有几种放法?【思路点拨思路点拨】此题关键是此题关键是(2),恰有恰有1个空盒相当于一定有个空盒相当于一定
8、有2个小个小球放在同一个盒子中球放在同一个盒子中,因此因此,先从先从4个不同的小球中取出个不同的小球中取出2个放在一个放在一起起(作为一个整体作为一个整体),是组合问题是组合问题.又因为又因为4个盒子中只有个盒子中只有1个是空的个是空的,所以另外所以另外3个盒子中分别放入个盒子中分别放入2个个,1个个,1个小球个小球,是排列问题是排列问题.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理【名师点评名师点评】(1)解排列组合的综合问题解排列组合的综合问题,首先要认真审题首先要认真审题,把握把握问题的实质问题的实质,分清是排列还是组合问题分清是排列还是组合问
9、题,再注意结合分类与分步两再注意结合分类与分步两个原理个原理,要按元素的性质确立分类的标准要按元素的性质确立分类的标准,按事情的发生过程确定按事情的发生过程确定分步的顺序分步的顺序.(2)解排列组合综合问题的一般思路是解排列组合综合问题的一般思路是“先选后排先选后排”,也就是先把也就是先把符合题意的元素都选出来符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列再对元素或位置进行排列.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理变式训练变式训练3.从从1到到9的九个数中取三个偶数和四个奇数的九个数中取三个偶数和四个奇数,试问试问:(1)能组成多少个没有重复数字的七位数能组成多少个没有重复数字的七位数
10、?(2)上述七位数中三个偶数排在一起有几个上述七位数中三个偶数排在一起有几个?(3)在在(1)中的七位数中中的七位数中,偶数排在一起偶数排在一起,奇数也排在一起的有几个奇数也排在一起的有几个?栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理1.在一次特大铁路交通事故中在一次特大铁路交通事故中,某医院从某医院从10名医疗专家中抽调名医疗专家中抽调6名奔名奔赴事故现场抢救伤员赴事故现场抢救伤员,其中这其中这10名医疗专家中有名医疗专家中有4名是外科专家名是外科专家.问问:(1)抽调的抽调的6名专家中恰有名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种名是外科专家的抽调方法有多少种?(2)至少有至少有2名外
11、科专家的抽调方法有多少种名外科专家的抽调方法有多少种?(3)至多有至多有2名外科专家的抽调方法有多少种名外科专家的抽调方法有多少种?栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理2.有有6本不同的书按下列分配方式分配本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配问共有多少种不同的分配方式方式?(1)分成分成1本、本、2本、本、3本三组本三组;(2)分给甲、乙、丙三人分给甲、乙、丙三人,其中一个人其中一个人1本本,一个人一个人2本本,一个人一个人3本本;(3)分成每组都是分成每组都是2本的三组本的三组.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理栏
12、目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理方法技巧方法技巧:处理排列、组合综合题时处理排列、组合综合题时,应遵循三大原则应遵循三大原则,掌握基本类掌握基本类型型,突出转化思想突出转化思想.三大原则是三大原则是:先特殊后一般的原则、先取后排的原则、先分类后先特殊后一般的原则、先取后排的原则、先分类后分步的原则分步的原则.明确以下三点明确以下三点:(1)整体分类整体分类.对事件进行整体分类对事件进行整体分类,从集从集合的意义讲合的意义讲,分类要做到各类的并集等于全集分类要做到各类的并集等于全集,以保证分类的不遗漏以保证分类的不遗漏,任意两类的交集等于空集任意两类的交集等于空集,以保证分类的不重复以
13、保证分类的不重复,计算结果是使用分计算结果是使用分类加法计数原理类加法计数原理;(2)局部分步局部分步.整体分类以后整体分类以后,对每一类进行局部分对每一类进行局部分步步,分步要做到步骤连续分步要做到步骤连续,以保证分步的不遗漏以保证分步的不遗漏,同时步骤要独立同时步骤要独立,以以保证分步的不重复保证分步的不重复,计算每一类的相应结果时计算每一类的相应结果时,使用分步乘法计数原使用分步乘法计数原理理;(3)考查有无顺序、无序的问题考查有无顺序、无序的问题,用组合解答用组合解答;有序的问题属排列有序的问题属排列问题问题.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理 失误防范失误防范1.区分开是排列还是组合区分开是排列还是组合,是分步还是分类是分步还是分类.2.注意几何问题本身的限制条件注意几何问题本身的限制条件,如共线、共面、交点等如共线、共面、交点等,要要注意分清对应关系注意分清对应关系,可用可用“直接法直接法”,也可用也可用“间接法间接法”.
