1、2023-5-211第第1515章章 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式15.115.215.4 15.515.615.715.3割集割集关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵矩阵矩阵A、Bf、Qf 之间的关系之间的关系回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式列表法列表法2023-5-2121.割集、割集、独立割集、单树支割集的概念独立割集、单树支割集的概念2.关联矩阵关联矩阵3.矩阵形式矩阵形式KVL、KCL4.4.结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式 重点重点：难点难点：
2、列写复杂电路的结点电压矩阵方程列写复杂电路的结点电压矩阵方程2023-5-2132023-5-214电路的电路的规模日益增大，结构日趋复杂规模日益增大，结构日趋复杂为了便于利用为了便于利用计算机辅助计算机辅助分析，求解方程分析，求解方程研究研究系统化建立电路方程系统化建立电路方程的方法的方法第三章中第三章中一般分析法一般分析法-有效的电路分析方法有效的电路分析方法电路分析电路分析-对给定的电路模型进行分析计算对给定的电路模型进行分析计算方程用方程用矩阵形式表示矩阵形式表示人工观察法人工观察法2023-5-215(1 9 6)(2 8 9)(3 6 8)(4 6 7)(5 7 8)（1 2 4
3、5）(3 6 5 8 7),(3 6 2 8)是割集吗？是割集吗？把把Q中全部支路移去，图中全部支路移去，图G分割分割成成两两个部分；个部分；连通图连通图G中的一组支路集合中的一组支路集合Q满足：满足：少移去一条，仍连通少移去一条，仍连通割集割集割集割集Q1.1.割集定义割集定义15.1 割集割集8765432192023-5-216ebcdaf1.1.割集定义割集定义确定割集的方法：确定割集的方法：在连通图上做闭合面（至少包含一个结点），在连通图上做闭合面（至少包含一个结点），和闭合面和闭合面切割切割的所有支路集合。的所有支路集合。结点上所有的支路一定构成割集？结点上所有的支路一定构成割集？
4、割集割集KCL方程方程2023-5-217一组独立的割集一组独立的割集KCL方程对应的割集方程对应的割集 树支树支 集合不能构成割集集合不能构成割集每一树支和相应的连支可构成割集每一树支和相应的连支可构成割集2.基本割集基本割集独立割集：独立割集：876543219单树支割集单树支割集一组一组单树支割集单树支割集是一组独立割集，也称为是一组独立割集，也称为基本割集基本割集（连支）（连支）2023-5-2182.基本割集基本割集图图G闭合面切割树支闭合面切割树支(一次割一条树支一次割一条树支)树树T412A3567841235678确定基本割集的方法：确定基本割集的方法：2023-5-219 用
5、矩阵表示电路方程用矩阵表示电路方程 须知须知KCL、KVL的矩阵形式的矩阵形式KCL、KVL是电路拓扑性质约束的表现是电路拓扑性质约束的表现支路支路结点结点回路回路割集割集KCL和和KVL的矩阵形式的矩阵形式关联矩阵关联矩阵回路矩阵回路矩阵割集矩阵割集矩阵2023-5-211015.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵用矩阵描述用矩阵描述结点结点和和支路支路的关联性质的关联性质6452311条支路与结点相连条支路与结点相连结点与支路关联：结点与支路关联：背离背离+1指向指向-1结点与支路非关联结点与支路非关联0n个结点个结点b条支路的图用条支路的图用n b的矩阵描述的矩
6、阵描述1.1.关联矩阵关联矩阵 A 2023-5-2111645231n个结点个结点b条支路的图用条支路的图用n b的矩阵描述的矩阵描述A=12341 2 3 4 5 6 支支结结-1 -1 1 0 0 00 0 -1 -1 0 11 0 0 1 1 00 1 0 0 -1 -1列对应支路。列对应支路。只有两个非零元素，一个只有两个非零元素，一个+1，一个，一个-1。背离背离指向指向行对应结点。行对应结点。该行有几个非零元素，该行有几个非零元素，则和该结点相连有几条支路，方向是什么。则和该结点相连有几条支路，方向是什么。A中只有中只有n-1行线性独立行线性独立1.1.关联矩阵关联矩阵 A 特点
7、特点2023-5-2112645231A=(n-1)b支路支路b结结点点n-11.关联矩阵关联矩阵AA=12341 2 3 4 5 6 支支结结-1 -1 1 0 0 00 0 -1 -1 0 11 0 0 1 1 00 1 0 0 -1 -1被划去的行对应的结点被划去的行对应的结点作为参考结点作为参考结点降阶关联矩阵降阶关联矩阵 A 123A=1 2 3 4 5 6 支支结结1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 -1 1 0 1 -1 -1 0 02023-5-2113用用 A 表示表示KCL方程的矩阵形式方程的矩阵形式 T 654321 i i i i iii 以结点以结点为参考结点为参
8、考结点A i=-1 -1 1 0 0 00 0 -1 -1 0 11 0 0 1 1 0iiiiii654321 iiiiiiiii541643321n-1个独立个独立KCL方程方程1.1.关联矩阵关联矩阵 A 关联矩阵关联矩阵 A 的方程的方程支路电流列向量支路电流列向量0矩阵形式的矩阵形式的KCL:A i=06452312023-5-2114用矩阵用矩阵AT表示支路电压与结点电压的关系表示支路电压与结点电压的关系支路、结点电压列向量支路、结点电压列向量:T 654321 u u u u uuu n3n2n1uuuun 321nT011001101100000111nnnuuuuA 2332
9、211n3n1nnnnnnnuuuuuuuuu uuuuuu6543211.1.关联矩阵关联矩阵 A 关联矩阵关联矩阵 A 的方程的方程结点电压法结点电压法的基本思想的基本思想 KVLnTuAu 矩矩阵阵形形式式的的6452312023-5-21152.回路回路矩阵矩阵 B 用矩阵描述用矩阵描述回路回路和和支路支路的关联性质的关联性质回路中包含支路回路中包含支路回路与支路关联：回路与支路关联：相同相同+1相反相反-1回路与支路非关联回路与支路非关联0n个结点个结点b条支路的图用条支路的图用l b的矩阵描述的矩阵描述1 nbl独立回路数独立回路数6452316232645365311独立回路矩阵
10、独立回路矩阵2023-5-21162.回路回路矩阵矩阵 B 231 B110101 100110654321111000 基本回路矩阵基本回路矩阵Bf列：先连支后树支列：先连支后树支|l ltfBB fB111001 101010110100 653421E6452312023-5-2117用用B表示表示KVL方程矩阵形式方程矩阵形式 653421uuuuuul个独立个独立KVL方程方程2.2.回路矩阵回路矩阵 B 回路矩阵回路矩阵 B 的方程的方程支路电压列向量支路电压列向量 653421uuuuuuu ulut 110100101010111001uBf65342106546326531
11、uuuuuuuuuu矩阵形式的矩阵形式的KVL：B u=02316452312023-5-21182.2.回路矩阵回路矩阵 B 回路矩阵回路矩阵 B 的方程的方程 3213121321lllllllllliiiiiiiiii用矩阵用矩阵BT表示支路电流与回路电流的关系表示支路电流与回路电流的关系 T 653421 i i i i iii 回路电流列向量：回路电流列向量：321lllliiii 321T111101011100010001lllliiiiB矩阵形式的矩阵形式的KCL：B T il=i i 回路电流法回路电流法的基本思想的基本思想2316452312023-5-21193.割集矩阵
12、割集矩阵Q用矩阵形式描述割集和支路的关联性质用矩阵形式描述割集和支路的关联性质割集中包含支路割集中包含支路割集与支路关联：割集与支路关联：相同相同+1相反相反-1割集与支路非关联割集与支路非关联0Q为为(n-1)b的矩阵的矩阵割集方向：指向、背离割集方向：指向、背离Q1Q2Q3-1 -1 1 0 0 01 0 0 1 1 0-1 -1 0 -1 0 1Q654321基本割集矩阵基本割集矩阵:Qf=lt|Ql1 0 0 -1 -1 00 1 0 1 0 10 0 1 -1 -1 -1 fQ4216536452312023-5-2120 421653iiiiiin-1个独立割个独立割集集KCL方程
13、方程3.3.割集矩阵割集矩阵 Q 割集矩阵割集矩阵 Q 的方程的方程 111100101010011001iQf421653 4216415213iiiiiiiiii矩阵形式的矩阵形式的KCL：Qf i=00 矩阵形式的矩阵形式的KVL：Qf Tut=u树支电压（割集电压）列相量：树支电压（割集电压）列相量：ut=u3 u5 u6 TQ1Q2Q36452312023-5-2121小结小结QABKCLKVLA i=0 uuA nTB T il =iBu=0Qfi=0QfT ut=u结点电压法结点电压法回路电流法回路电流法割集电压法割集电压法2023-5-21221.1.结点电压法的基本思想结点电
14、压法的基本思想任选一个参考结点任选一个参考结点,对对n-1个独立结点写出（个独立结点写出（n-1)个独个独立立KCL方程方程写出各支路的支路电压、支路电流方写出各支路的支路电压、支路电流方程程由由KVL导出支路电压导出支路电压uk与结点电压与结点电压un的关系的关系 uuA nTA i=015.5 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式 0i)(kkufi bk,1 b个支路个支路VCR方程方程支路方程支路方程以支路电压表示支以支路电压表示支路电流路电流2023-5-21232.复合支路复合支路/标准支路标准支路独立电源与支路方向独立电源与支路方向相反相反；受控电；受控电流源与支路方向流
15、源与支路方向相同相同；第第k条支路：支路电压条支路：支路电压与支路电流的方向与支路电流的方向关联关联；kIkU复合支路定义了一条支复合支路定义了一条支路路最多最多可以包含的元件数可以包含的元件数及连接方式，允许及连接方式，允许缺少缺少某某些元件。些元件。0 0 ds kkIIZk(Yk)kUs_+kI 0s kUZk(Yk)kI复合支路的特点复合支路的特点 kIdZk(Yk)kUs_+kIekIkIs+_kU+_kUe2023-5-2124 2.2.复合支路复合支路/标准支路标准支路 支路阻抗支路阻抗0 kZ即不允许存在即不允许存在无伴电压源无伴电压源支路支路复合支路的特点复合支路的特点支路方
16、程的矩阵形式支路方程的矩阵形式无受控源，无耦合无受控源，无耦合 sekkkIII sekkkIUY )(sskkkkIUUY bk,1 Zk(Yk)kUs_+kIekIkIs+_kU+_kUe本身规定不能含受控电压源本身规定不能含受控电压源 kIdZk(Yk)kUs_+kIekIkIs+_kU+_kUe局限局限2023-5-2125 2.2.复合支路复合支路/标准支路标准支路支路方程的矩阵形式支路方程的矩阵形式无受控源，无耦合无受控源，无耦合 )(sskkkkkIUUYI bk,1 bIII21 bYYY21 bbUUUUUUs2s21s1 bIIIs2s1s支路导纳矩阵，支路导纳矩阵，为对角
17、阵为对角阵)(ssIUUYI UI支路电流（压）列相量支路电流（压）列相量 ssUI电流（压）源列相量电流（压）源列相量1 bbb 1 b1 bZk(Yk)kUs_+kIekIkIs+_kU+_kUe2023-5-2126 2.2.复合支路复合支路/标准支路标准支路支路方程的矩阵形式支路方程的矩阵形式有受控源，无耦合有受控源，无耦合 )(dsskkkkkkIIUUYI Zj(Yj)jUs_+jIejIjI s+_jU+_jUe kIdZk(Yk)kUs_+kIekIkIs+_kU+_kUe设第设第k条支路受第条支路受第j条支路条支路无源元件无源元件电压或电流的控制电压或电流的控制 edjkjk
18、UgI VCCS edjkjkII CCCS 其他支路均无受控源其他支路均无受控源 )(sshhhhhIUUYI )(sjjkjUUg )(sjjjkjUUY )(sdjjkjkUUYI ejjkjUY 2023-5-2127 2.复合支路复合支路/标准支路标准支路支路方程的矩阵形式支路方程的矩阵形式有受控源，无耦合有受控源，无耦合 )(dsskkkkkkIIUUYI 设第设第k条支路受第条支路受第j条支路条支路无源元件无源元件电压或电流的控制电压或电流的控制 VCCS CCCS )(sshhhhhIUUYI )(sjjkjUUg )(sjjjkjUUY )(sdjjkjkUUYI bkjbk
19、jYYYYIIII11 bbkkjjUUUUUUUUsss1s1 bkjIIIIsss1skjY )(ssIUUYI 非对角阵非对角阵j k 受控源所受控源所在支路在支路控制控制量所量所在支在支路路2023-5-2128 2.复合支路复合支路/标准支路标准支路支路方程的矩阵形式支路方程的矩阵形式无受控源、有耦合无受控源、有耦合 )(sskkkkkIUUYI bk,3 jL11sU_+1eI1I1sI+_1UjL22sU_+2eI2I2sI+_2U*M js1e21e11jjUIMILU s2e221e2jjUILIMU kkkkUIZUse bUUUU321 bZZLL321jj bbIIII
20、IIIIs3s32s21s1 bUUUUs3ss21skkkIIIse )(ssUIIZU 支路阻抗矩阵，支路阻抗矩阵，非对角阵非对角阵Zk(Yk)kUs_+kIekIkIs+_kU+_kUeM jM j2023-5-2129 2.2.复合支路复合支路/标准支路标准支路支路方程的矩阵形式支路方程的矩阵形式无受控源、有耦合无受控源、有耦合 *M j bZZLMMLZ321jjjj )(ssUIIZU 1 ZY )(ssUIIZU YYY)(ssIUUYI 支路导纳支路导纳矩阵、非矩阵、非对角阵对角阵令：令：jL11sU_+1eI1I1sI+_1UjL22sU_+2eI2I2sI+_2U2023-
21、5-2130 3.3.结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式)(ssIUUYI 0 IATnUAU 0)(ss IAUUYAssTUYAIAUAYAn Yn结点导纳阵结点导纳阵独立电源引起的注入结独立电源引起的注入结点的电流列向量点的电流列向量ssTUYAIAUAYAn bb bn )1()1(nb1)1(nbn )1(1 bbb bn )1(1 b（n-1）个方程）个方程2023-5-2131结点分析法的步骤结点分析法的步骤把电路抽象为有向图把电路抽象为有向图5V1 3A1A0.5 5 0.5 2 1+_124356形成矩阵形成矩阵A123A=1 2 3 4 5 6 1 1 0 0 0
22、 1 0-1 1 1 0 0 0 0-1 0 1 -12023-5-2132形成矩阵形成矩阵Y Y形成形成Us、IsUs=-5 0 0 0 0 0 TIs=0 0 0 -1 3 0 T20.520.2115V1 3A1A0.5 5 0.5 2 1+_1243562023-5-2133用矩阵乘法求得结点方程用矩阵乘法求得结点方程 311042127.25.015.05.3321nnnUUUssTUYAIAUAYAn 123A=1 2 3 4 5 6 1 1 0 0 0 1 0-1 1 1 0 0 0 0-1 0 1 -1 112.025.02YUs=-5 0 0 0 0 0 TIs=0 0 0
23、-1 3 0 T5V1 3A1A0.5 5 0.5 2 1+_2023-5-2134例例p.406例例15-3解解 654321j1j1jj11LLCCRRY 0123+_s1is4id4id2is4us2u+_1u1R2R3C4C5L6L6i1212dUgI 646d4II 6646jUL 21g 646j L T4s1ss00-00III T4s2ss000-0UUU 15362462023-5-2135 654321IIIIIIT4s1ss00-00III T4s2ss000-0UUU 654321j1j1jj11LLCCRRY 21g 646j L 65s4432s21UUUUUUUU 00004s1sII654321j1j1jj11LLCCRR 21g 646j L )(ssIUUYI 2023-5-2136本章小结：本章小结：1.掌握：割集、掌握：割集、独立割集、单树支割集等图论中独立割集、单树支割集等图论中 基本概念。基本概念。2.关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵的列写及其关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵的列写及其 对应表示的矩阵形式对应表示的矩阵形式KCL和和KVL。3.电路结点电压方程的矩阵形式电路结点电压方程的矩阵形式
