1、 2020 年全国高考新课标 II 卷名师押题信息卷 理科数学理科数学 2020.6.29 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的） 1若集合 Ax|2x0，Bx|0x1，则 AB（ ） A0，2 B0，1 C1，2 D1，2 1.【答案】B 【解析】集合 Ax|2x0x|x2，Bx|0x1，ABx|0x10，1故选：B 2已知 i 为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） Ai（1+i） Bi（1i）2 Ci2（1+i）2 Di+i2+i3+i4 2.【答案】C 【解析】对于 A，i（1+i）1+i，不是
2、纯虚数；对于 B，i（1i）22i22，不是纯虚数；对 于 C，i2（1+i）22i，是纯虚数；对于 D，i+i2+i3+i4i1i+10，不是纯虚数 故选：C 3.已知向量，则 （） A-14 B-12 C10 D-4 3.【答案】D 【解析】由已知可得，所以 4庚子新春，“新冠”病毒肆虐。习近平总书记强调要“坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻 击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知某学校为了解高三年级 1000 名同学 宅家学习期间上课、锻炼、休息等情况，决定将高三年级学生编号为 1，2，31000，从这 1000 名学生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行网上
3、问卷调查，若 46 号同学被抽到，则下面 4 名同学中也被抽到的是（ ） A8 号学生 B200 号学生 C616 号学生 D815 号学生 4.【答案】C 【解析】由题知 1000 名学生系统抽样抽取 100 名，则每隔 10 名抽取 1 名，若 46 被抽取，则被抽取 的是 6，16，26，36，46，10k+6，由四个选项只有 C 满足关系式，61660 10+6，故选 C. 5. 若函数 f （x） 、 g （x） 分别是定义在 R 上的偶函数、 奇函数， 且满足 2f （x） g （x） ex， 则 （ ） Af（2）f（3）g（1） Bg（1）f（3）f（2） Cf（2）g（1）f
4、（3） Dg（1）f（2）f（3） 5.【答案】D 【解析】函数 f（x） 、g（x）分别是定义在 R 上的偶函数、奇函数，且满足 2f（x）g（x）ex， 则 2f（x）g（x）ex，即 2f（x）+g（x）ex，与 2f（x）g（x）ex，联立解得：f（x） ，g（x）则函数 f（x）在0，+）上单调递增，在（，0）上单调递减函 数 g（x）在 R 上单调递减f（3）f（2）1.8，g（1）1.8g（ 1）f（2）f（3） ，故选：D 6.在正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，点 P 是上底面 A1B1C1D1内一动点，则三棱锥 PABC 的 三视图的面积之和最大值为（ ） A6
5、 B7 C8 D9 6.【答案】C 【解析】当点 P 与 D1重合时，三棱锥体 PABC 的三视图的面积最大则俯视图为正方形 ABCD， 正视图为D1DC，侧视图为C1BC，故三棱锥 PABC 的三视图的面积之和的最大值为 故选：C 7.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于 4 2 3 的长方体框架（由 24 个棱长为 1 个单位长度的 正方体框架组合而成） ，一建筑工人从 A 点沿脚手架到点 B，每步走 1 个单位长度，且不连续向 上攀登，则其行走的最近路线共有（ ） A150 条 B525 条 C840 条 D1260 条 7.【答案】B 【解析】根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，
6、不能走重复的路； 所以一共要走 3 次向上，4 次向右，2 次向前，一共 9 次； 因为不能连续向上，所以先把不向上的次数排列起来，也就是 4 次向左和 2 次向前全排列 A66， 因为 4 次向左是没有顺序的，所以还要除以 A44， 同理 2 次向前是没有顺序的，再除以以 A22， 接下来，就是把 3 次向上插到 6 次不向上之间的空当中 7 个位置排三个元素，也就是 C73， 则共有 C73525 种； 故选：B 8.分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，科赫曲线是比较典型的分形图形，1904 年瑞典数学家科赫第一次描述了这种曲线， 因此将这种曲线称为科赫曲线 其生成方法是：
7、（） 将正三角形（图（1） ）的每边三等分，以每边三等分后的中间的那一条线段为一边，向形外作等 边三角形，并将这“中间一段”去掉，得到图（2） ； （）将图（2）的每边三等分，重复上述的作 图方法，得到图（3） ； （）再按上述方法继续做下去，设图（1）中的等边三角形的边长为 1， 并且分别将图 （1） 、 图 （2） 、 图 （3） 、 、 图 （n） 、 中的图形依次记作 M1， M2， M3， ， Mn， ， 设 Mn的周长为 Ln，则 L4为（ ） A B C D 8.【答案】C 【解析】设 Mn中的边数为 Nn，Mn中每条边的长度为 Tn， 由题意可得数列Nn的递推关系式为 Nn4N
8、n1（n2） ，且 N13， 所以数列Nn是首项为 3， 公比为 4 的等比数列， 所以 Nn3 4n1， 又因为每个图形的边长都相等， 且长度变为原来的，所以边长 Tn满足递推关系式为 Tn（n2） ，且 T11，即数列Tn 是首项为 1，公比为的等比数列，所以 Tn，所以 Mn的周长 LnNnTn3， 则 L43 ，故选：C 9. 已知函数 f（x）sin（x+） （0，）的部分图象如图所示，且 f（x）上0，2 上恰有一个最大值和一个最小值，则 的取值范围是（ ） A，） B，） C （， D （， 9.【答案】B 【解析】由题意知，f（x）sin（x+） ，f（0），），x0，2， x
9、+2+， f （x） 上0， 2上恰有一个最大值和一个最小值， 2+ ，故选：B 10.点 M 为抛物线 yx2上任意一点，点 N 为圆 x2+y22y+0 上任意一点，若函数 f（x）loga （x+2）+2（a1）的图象恒过定点 P，则|MP|+|MN|的最小值为（ ） A B C3 D 10.【答案】A 【解析】抛物线 yx2上化为标准形式是 x24y，焦点是 F（0，1） ，准线方程是 x1；圆的方 程 x2+y22y+ 0 可化为 x2+（y1）2，圆心是 C（0，1） ，半径为 r ；函数 f（x）loga （x+2）+2（a1）的图象恒过定点 P（1，2） ，又点 M 为抛物线
10、yx2上任意一点，点 N 为圆 上任意一点，由图象知，|MP|+|MN|的最小值为|PD|r2（1）故选：A 11. 正方体的棱长为 a，作一平面 与正方体一条体对角线垂直，且 与正方体每个面都有公共点， 记这样得到的截面多边形的周长为 l，则（ ） A Bl4a C D以上都不正确 11.【答案】C 【解析】连结 A1B，A1D，BD，则 AC1平面 A1BD，AC1A1B；设平面 与平面 ABB1A1的交线 为 EF，则 AC1EF，EFA1B，同理可得平面 与其他各面的交线都与此平面的对角线平行，设 ，则，得 B1Ea，EF+NE +a（1），同理可得六边形其他相邻两边的和为，六边形的周
11、长 l 为定 值 3故选：C 12. 已 知 函 数 定 义 域 为R的 函 数 f x满 足 1 1 2 fxfx， 当1, 0x 时 ， 2 1 2,1 , 2 1 42, 0 2 xx xx x x f x ，若当1,2x时，不等式 2 27f xaa恒成立，则实数 a 的取值范 围是（） A.1,3，B. 1,3 C.3,1D.3, 1 12.A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13若，则 cos2+sin2_ 13.【答案】 【解析】tancos2+sin2故 答案为： 14. 5G 指的是第五代移动通信技术，比第四代移动通信技术的数据传输速率快数百倍
12、，某公司在研 发 5G 项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题 的概率为 0.6，乙部门攻克该技术难题的概率为 0.5则该公司攻克这项技术难题的概率为 _ 14.【答案】0.8 【解析】某公司在研发 5G 项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，甲部门攻 克该技术难题的概率为 0.6，乙部门攻克该技术难题的概率为 0.5 设事件 A 表示”甲部门攻克该技术难题“，事件 B 表示“乙部门攻克该技术难题”，则 P（A）0.6，P （B）0.5，该公司攻克这项技术难题的概率为：P1P（）1（10.6） （10.5）0.8故 答案为：0.8 15.
13、点 P 在函数 yex的图象上若满足到直线 yx+a 的距离为的点 P 有且仅有 3 个，则实数 a 的值为_ 15.【答案】3 【解析】过函数 yex的图象上点 P（x0，y0）作切线，使得此切线与直线 yx+a 平行，又 yex， 于是，则 x00，y01；P（0，1） ，于是当点 P 到直线 yx+a 的距离为时，则满足到 直线 yx+a 的距离为的点 P 有且仅有 3 个，解得 a1 或 a3，又当 a 1 时，函数 yex的图象与直线 yx1 没有交点，从而只有两个点到直线距离为 ，所以不满 足；故 a3 16. 已知双曲线的离心率为，过 E 的左焦点 F（5，0）作直线 l，直线
14、l 与双 曲线 E 分别交于点 A，B，与 E 的两渐近线分别交于点 C，D，若，则_ 16.【答案】 【解析】由 e，且 c5，可得 a2，b，即双曲线的方程为 1， 且渐近线方程为 y x， 设过 F 的直线方程为 xmy5， 联立直线 yx 可得 C （， ） ，由题意可得 A 为 FC 的中点，可得 A（，） ，将 A 的坐标代入双曲线的方程 x24y220，即为（20+5m）210080（2+m）2，解得 m（2 舍去） ，可得 A 的纵坐标 为，联立 yx 和直线 l 的方程可得 D（，） ，联立直线 xy5 和双曲线的 方程可得y2+y+50，即有 yAyB，进而可得 B（，）
15、，则|BD| ，故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，满足 2ccosB2a+b （）求角 C； （）若 D 为 AB 的中点，CD1，a2，求ABC 的面积 17.【解析】 （）由 2ccosB2a+b，得，化简得aba2+b2c2，故 ，又 C（0，） ，故 C （）设 ADBDx，则 cosADCcosBDC 化简得 2x2b2+2，又 cosACB ，即 b2+2b+44x2，由 得 b2+2b+42b2+4，b2故ABC 的面积 S ab
16、sinACB 2 2 18 （本小题满分 12 分） 2019 年 12 月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊 断为病毒性肺炎肺部感染， 后被命名为新型冠状病毒肺炎 （CoronaVirusDisease2019， COVID19） ， 简称“新冠肺炎”，下图是 2020 年 1 月 15 日至 1 月 24 日累计确诊人数随时间变化的散点图 为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数 y 与时间变量 t 的两 个回归模型，根据 1 月 15 日至 1 月 24 日的数据（时间变量 t 的值依次 1，2，10）建立模型 和参考数据
17、：其中， 1.511 1.512 1.513 1.514 1.515 5.5 390 17 385 6000 31500 134720 87 130 195 290 440 （1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为累计确诊人数 y 与时间变量 t 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） ； （2）根据（1）的判断结果及附表中数据，建立 y 关于 t 的回归方程； （3）以下是 1 月 25 日至 1 月 29 日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题： 时间 1 月 25 日 1 月 26 日 1 月 27 日 1 月 28 日 1 月 29 日 累计确诊人数的真实数 据
18、1975 2744 4515 5974 7111 （i）当 1 月 25 日至 1 月 27 日这 3 天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据 的比值）都小于 0.1 则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？ （ii）2020 年 1 月 24 日在人民政府的强力领导下，全国人民共同取了强力的预防“新冠肺炎”的措 施，若采取措施 5 天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是 否有效？并说明理由 附：对于一组数据（u1，v1） ， （u2，v2） ， （un，vn） ，其回归直线 的斜率和截距 的最小二乘估计分别为：， 18. 【解析】 （1）
19、根据散点图可知：，适宜作为累计确诊人数 y 与时间变量 t 的回归 方程类型； （ 2 ） 设 1.5t， 则， （3） （i）当 t11 时， 当 t12 时， 当 t13 时， （2）的回归方程可靠； （ii）当 t15 时，9696 远大于真实值 7111，故防护措施有效 19 （本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，BAC90 ，ABBC2，D，E 分别为 AA1， B1C 的中点 （1）证明：DE平面 BCC1B1； （2）若直线 BE 与平面 AA1B1B 所成角为 30 ，求二面角 CBDE 的大小 19. 【解析】 （1）证明：取 BC
20、 的中点 F，连结 AF，EF， 则 EFB1BDA，且 ， DEAF，且 DEAF，又ABC 是等腰直角三角形， AFBC，由 A1A面 ABC，且 A1AB1B，B1B面 ABC， B1BAF，B1BBFB，AF平面 BCC1B1， DE面 BCC1B （2）解：过 F 作 FHAB，由题意得 FH1， 由 A1A面 ABC，知 A1A面 ABC，知 A1AFH， FH面 AA1B1B，即点 F 到平面 AA1B1B 的距离为 1， 又 EFB1B，EF平面 AA1B1B，EF面 AA1B1B， 点 E 与点 F 到平面 AA1B1B 的距离相等， E 到平面 AA1B1B 的距离 d1，
21、 sin30 ，解得 BE2，EF，BB12， 以 F 为原点，FA 为 x 轴，FB 为 y 轴，FE 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 B（0，0） ，C（0，0） ，D（） ，E（0，0，） ， （0，2，0） ，（） ，（0，） ， 设平面 CBD 和平面 BDE 的法向量分别为， （x2，y2，z2） ， 则，取 x11，得 （1，0，1） ， ，取 y21，得 （0，1，1） ， cos ， 由图知二面角 CBDE 是锐二面角， 二面角 CBDE 的大小为 20 （本小题满分 12 分） 已知函数 f（x）lnx+2ax，其中 aR （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若
22、函数 f（x）存在两个极值点 x1，x2（其中 x2x1） ，且 f（x2）f（x1）的取值范围为 ，求 a 的取值范围 20. 【解析】 （1）g（x）x22ax+1，则4a24 当 a0 或0，即 a1 时，f（x）0 恒成立，所以 f（x）在（0，+）上单调递增 当，即 a1 时，由 f（x）0，得或； 由 f（x）0，得， f（x）在和上单调递增，在上单 调递减 综上所述，当 a1 时，f（x）在（0，+）上单调递增； 当a 1时 ， f （ x ） 在和上 单 调 递 增 ， 在 上单调递减 （2）由（1）得，当 a1 时，f（x）有两极值点 x1，x2（其中 x2x1） 由（1）得
23、 x1，x2为 g（x）x22ax+10 的两根，所以 x1+x22a，x1x21 所以 令，则，因为 ，所以 h（t）在（1，+）上单调递减，而 ，所以 2t4， 又，易知在2，4上单调递增， 所以，所以实数 a 的取值范围为 21 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C：的左焦点 F1（，0） ，点在椭圆 C 上 （）求椭圆 C 的标准方程； （）经过圆 O：x2+y25 上一动点 P 作椭圆 C 的两条切线，切点分别记为 A，B，直线 PA，PB 分别与圆 O 相交于异于点 P 的 M，N 两点 （i）求证： ； （ii）求OAB 的面积的取值范围 21.【解析】 （）由题意可得 c，+
24、1，a2b2+c2，解得 a24，b21， 所以椭圆的方程为：+y21； （） （i）证明：设 P（x0，y0） ， 当直线 PA，PB 的斜率都存在时，设过 P 与椭圆相切的直线方程为 yk（xx0）+y0， 联立直线与椭圆的方程， 整理可得（1+4k2）x2+8k（y0kx0）x+4（y0kx0）240，64k2（y0kx0）24（1+4k2）4 （y0kx0）24，由题意可得0，整理可得（4x 02）k2+2x0y0k+1y020，设直线 PA，PB 的 斜率分别为 k1，k2，所以 k1k2 ，又 x02+y025，所以 1，所以 PMPN，即 MN 为圆 O 的直径，所以+ ；当直线
25、 PA 或 PB 的斜率不存在时，不妨设 P （2，1） ，则直线 PA 的方程为 x2，所以 M（2，1） ，N（2，1） ，也满足+ ； （ii）设点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，当直线 PA 的斜率存在时，设直线 PA 的方程为：yk1（xx1） +y1，联立直线 PA 与椭圆的方程，消 y 可得（1+4k12）x2+8k1（y1k1x1）x+4 （yk1x1）240，64k12（y1k1x1）24（1+4k12）4（y1k1x1）24，由题意0，整 理可得（4x12）k12+2x1y1k1+1y120，则 k1 ，所以直线 PA 的方 程为：y（xx1）+y1，化简可得 x
26、1x+4y1y4y12+x12， 即+y1y1， 经验证， 当直线 PA 的斜率不存在时， 直线 PA 的方程为 x2 或 x2 也满足 +y1y1，同理可得直线 PB 的方程+y2y1，因为 P（x0，y0）在直线 PA，PB 上，所以 ，所以可得直线 AB 的方程为+y0y1，而 P 在圆 x2+y25 上，所以 x02+y02 5， 联立直线 AB 与椭圆的方程为， 整理可得 （3y02+5） x28x0x+1616y020， xA+xB ， x AxB ， 所以 O 到直线 AB 的距离 d， 弦长|AB| |xAxB| ，又点 O 到直线 AB 的距离 d ， 令 t，t1，4，则
27、SOABd|AB|，而 t+4，5， 所以OAB 的面积的取值范围是，1 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一 个题目计分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的 极坐标方程是 2cos21，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （2）设点 P 的直角坐标为（，0） ，直线 l 与曲线 C 相交于 AB 两点，求 22. 【解析】 （1）由 2cos21，得
28、 2cos2sin21， 曲线 C 的直角坐标方程为 x2y21； 由，得， 直线 l 的普通方程为 （2）点 P（，0）在直线 l 上，将直线 l 的参数方程转为（m 为参数） ， 设点 A，B 对应的参数分别为 m1，m2，将直线 l 的参数方程代入 x2y21 中，得 ， ， m1m2 4 ， 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f（x）|xa|x+2| （1）当 a3 时，求不等式 f（x）2x23x 的解集； （2）若关于 x 的不等式 f（x）6 在 x1，4有解，求实数 a 的取值范围 23. 【解析】 （1）当 a3 时，f（x）|x3|x+2| f（x）2x23x， 或或， x或或 x， 不等式的解集为x| （2）当 x1，4时，f（x）|xa|x2 不等式 f（x）6 在 x1，4有解， |xa|x+8 在 x1，4有解， 当 a8 时，显然不等式在 x1，4无解， 当 a8 时，要使|xa|x+8 在 x1，4有解， 只需|4a|4+8，8a16， 实数 a 的取值范围为8，16.
