1、第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑函数表达式的化简第 四 讲第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础上讲内容回顾上讲内容回顾 逻辑函数表达式的标准形式逻辑函数表达式的标准形式 u最小项最小项u最大项最大项 逻辑函数表达式的转换逻辑函数表达式的转换第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础本讲内容本讲内容内容：内容：逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法目的与要求：目的与要求：理解化简的意义和标准；理解化简的意义和标准；掌握代数化简的几种基本方法并能熟练运用；掌握代数化简的几种基本方法并能熟练运用；掌握用扩充公式化简逻辑函数的方法。掌握用扩充公式化简逻辑函数的方法。重点与难点：重点与难点：重
2、点：重点：5 5种常见的逻辑式；种常见的逻辑式；用并项法、吸收法、消去法、配项法对逻辑用并项法、吸收法、消去法、配项法对逻辑 函数进行化简。函数进行化简。难点：运用代数化简法对逻辑函数进行化简。难点：运用代数化简法对逻辑函数进行化简。第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础相关知识回顾相关知识回顾 逻辑代数的基本公式、基本定律和三个重要规则第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础基本定律和规则总结基本定律和规则总结（1）与普通代数相似的定律）与普通代数相似的定律交换律交换律A+BB+AABBA结合律结合律A+B+C(A+B)+C=A+(B+C)ABC=(AB)C=A(BC)分配律分配律A(B+C)
3、=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础（2）吸收律）吸收律 是逻辑函数化简中常用的基本定律。是逻辑函数化简中常用的基本定律。吸收律证 明AB+ABAA+ABAA+ABA+BAB+AC+BCAB+ACAB+ABA(B+B)=A1=AA+AB=A(1+B)=A1=AA+AB=(A+A)(A+B)=1(A+B)=A+B原式=AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)AB+AC第第式的推广：式的推广：AB+AC+BCDE=AB+AC第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础（3）摩根定律）摩根定律 又称为反演律，有下列又
4、称为反演律，有下列2种形式（可用真值表证明）。种形式（可用真值表证明）。BABABABA第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑函数化简的意义逻辑函数化简的意义 根据逻辑问题归纳出来的逻辑函数式往往不是最简逻辑根据逻辑问题归纳出来的逻辑函数式往往不是最简逻辑函数式。对逻辑函数进行化简和变换，可以得到最简的逻辑函数式。对逻辑函数进行化简和变换，可以得到最简的逻辑函数式和所需要的形式，设计出最简洁的逻辑电路。这对于函数式和所需要的形式，设计出最简洁的逻辑电路。这对于节省元器件、降低成本和提高系统的可靠性、提高产品的市节省元器件、降低成本和提高系统的可靠性、提高产品的市场竞争力都是非常重要的。场竞
5、争力都是非常重要的。二二.逻辑函数式的几种常见形式和变换逻辑函数式的几种常见形式和变换 常见的逻辑函数式主要有下列常见的逻辑函数式主要有下列5种形式。以种形式。以 为例：为例：CBABYY1=AB+BC 与-或表达式Y2=(A+B)(B+C)或-与表达式Y3=ABBC 与非-与非表达式Y4=A+B+C+D 或非-或非表达式Y5=AB+BC 与或非表达式2.4 2.4 逻辑函数化简逻辑函数化简 利用逻辑代数的基本定律，可以实现上述五种逻辑利用逻辑代数的基本定律，可以实现上述五种逻辑函数式之间的变换。函数式之间的变换。第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础三三.逻辑函数的最简式、逻辑函数的最简式、
6、1）最简与）最简与-或式或式 乘积项个数最少。乘积项个数最少。每个乘积项变量最少。每个乘积项变量最少。最简与或表达式最简与或表达式Y=ABE+AB+AC+ACE+BC+BCD=AB+AC+BC=AB+AC第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础2 2）最简与非最简与非-与非表达式与非表达式非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非-与非表达式。在最简与或表达式的基础上两次取反用摩根定律去掉下面的大非号3 3）最简或与表达式最简或与表达式括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。求出反函数的最简与或表达式利用反演规则写出函数的最简或与表达式Y=AB+AC=AB+AC=AB A
7、CY=AB+ACY=AB+AC=(A+B)(A+C)=AB+AC+BC=AB+ACY=(A+B)(A+C)第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础4 4）最简或非最简或非-或非表达式或非表达式非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或非表达式。求最简或与-或与表达式两次取反）最简与或非表达式最简与或非表达式非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少的与或非表达式。求最简或非-或非表达式用摩根定律去掉下面的大非号用摩根定律去掉大非号下面的非号Y=AB+AC=(A+B)(A+C)=(A+B)(A+C)=A+B+A+CY=AB+AC=A+B+A+C=AB+AC第二章第二章 逻
8、辑代数基础逻辑代数基础逻辑函数化简有逻辑函数化简有3种常用方法。种常用方法。即：代数化简法即：代数化简法、卡诺卡诺图化简法图化简法和列表化简法列表化简法。第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.4.1 2.4.1 代数化简法代数化简法 代数化简法就是运用逻辑代数的公理、定理和规则对逻代数化简法就是运用逻辑代数的公理、定理和规则对逻辑函数进行化简的方法。辑函数进行化简的方法。一、一、“与与-或或”表达式的化简表达式的化简 最简最简“与与-或或”表达式应满足两个条件：表达式应满足两个条件：1表达式中的表达式中的“与与”项个数最少；项个数最少；2在满足上述条件的前提下，每个在满足上述条件的前提下，
9、每个“与与”项中的变量项中的变量个个 数最少。数最少。满足上述两个条件可以使相应逻辑电路中所需门的数量以及门的输入端个数均为最少，从而使电路最经济。第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础1 1、并项法、并项法利用公式1，将两项合并为一项，并消去一个变量。若两个乘积项中分别若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反并成一项，并消去互为反变量的因子。变量的因子。运用摩根定律运用分配律运用分配律Y1=ABC+ABC+BC=(A+A)BC+BC =BC+BC=B(C+C)=
10、BY2=ABC+AB+AC=ABC+A(B+C)=ABC+ABC=A(BC+BC)=A第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础2 2、吸收法、吸收法如果乘积项是另如果乘积项是另外一个乘积项的因子，外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项则这另外一个乘积项是多余的。是多余的。运用摩根定律（）利用公式，消去多余的项。（）利用公式，消去多余的项。（）利用公式（）利用公式+，消去多余的变量。，消去多余的变量。如果一个乘积项如果一个乘积项的反是另一个乘积的反是另一个乘积项的因子，则这个项的因子，则这个因子是多余的因子是多余的。Y1=AB+ABCD(E+F)=ABY2A+BCD+ADBA+BCD+AD+B （
11、A+AD）+（B+BCD）A+BYAB+AC+BC AB+(A+B)C =AB+ABC =AB+CY=AB+C+ACD+BCD =AB+C+C(A+B)D =AB+C+(A+B)D =AB+C+ABD =AB+C+D第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础Y=AB+BC+BC+AB =AB+BC+(A+A)BC+AB(C+C)=AB+BC+ABC+ABC+ABC+ABC =AB(1+C)+BC(1+A)+AC(B+B)=AB+BC+ACY=ABC+ABC+ABC+ABC =(ABC+ABC)+(ABC+ABC)+(ABC+ABC)=AB+AC+BC、配项法、配项法（）利用公式（），为某一项配上（
12、）利用公式（），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。（）利用公式，为某项配上其所能合并的项。（）利用公式，为某项配上其所能合并的项。第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础Y2=AB+BC+AC(DE+FG)=AB+BCY1=AB+AC+ADE+CD =AB+(AC+CD+ADE)=AB+AC+CD利用冗余律，利用冗余律，将冗余项消去。将冗余项消去。、消去冗余项法、消去冗余项法第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础例：化简函数解：先求出Y的对偶函数Y，并对其进行化简。求Y的对偶函数，便得的最简或与表达式。Y=(B+D)(B+D+A+G)(C+E
13、)(C+G)(A+E+G)Y=BD+BDAG+CE+CG+AEG =BD+CE+CGY=(B+D)(C+E)(C+G)第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础例例 化简化简 CBADCBDDBCF解解 DBCBADDBCCBADBCDBCCBADCBDBCCBADCBDDBCF 实际应用中遇到的逻辑函数往往比较复杂，化简时应实际应用中遇到的逻辑函数往往比较复杂，化简时应灵活使用所学的公理、定理及规则，综合运用各种方法灵活使用所学的公理、定理及规则，综合运用各种方法。第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础例例 化简化简 CBACBACBAF)()(解解 CBACCBACACBACBACBACBAC
14、BACBACBAF )()()()()()(第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础5.5.逻辑函数扩充公式逻辑函数扩充公式 扩充公式一1）AA=0，AA=A的扩充当包含变量X、的函数f和变量X相“与”时，函数f中的X均可用“1”代替，均可用“0”代替；当f和 变量相“与”时，函数f中的X均可用“0”代替，均可用“1”代替。即 Xf（X，Y，Z）=Xf（1，0，Y，Z）f（X，Y，Z）=f（0，1，Y，Z）2）A+=1，A+B=A+B，A+AB=A的扩充当包含变量X、的函数f和变量X相“或”时，函数f中的X均可用“0”代替，均可用“1”代替。当f和 变量相“或”时，函数f中的X 均可用“1”代替
15、，均可用“0”代替。即 X+f（X，Y，Z）=X+f（0，1，Y，Z）+f（X，Y，Z）=+f（1，0，Y，Z）XXXXXXXXAAXXXXXXXX第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础 扩充公式二扩充公式二第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础利用扩充公式化简逻辑函数利用扩充公式化简逻辑函数 例例1 化简逻辑函数化简逻辑函数 ZYXZYXZYXZYXXL解：由扩充公式一得解：由扩充公式一得 ZYXZYXZYXZYXXLXYYXZYZYXZYZYZYZYXZYXZYXZYXZYXX)1100()(第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础例例2 化简逻辑函数化简逻辑函数)()(DEBBABACBA
16、BL解：应用扩充公式二，将函数解：应用扩充公式二，将函数L展开为的逻辑或的形式，展开为的逻辑或的形式，再用扩充公式一进行化简。再用扩充公式一进行化简。)()(DEBBABACBABLDEBACBABADECBAABDEAACABDEAACABDEBBABACBABBDEBBABACBABB)()()0)(1)(0(10()1)(0)(1(01()()()()(第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础例例3 化简逻辑函数化简逻辑函数)()()(EADACABAABL解：应用扩充公式二，将函数解：应用扩充公式二，将函数L展开为的逻辑与的形式，展开为的逻辑与的形式，再用扩充公式一进行化简。再用扩充公式
17、一进行化简。)()()(EADACABAABLBDFACEABBCDEFBDFBDFAACEABCEBABDFAEDFCBBAEDFCBBAEADFACABAABAEADFACABAABA)0)(1)(0)(1(1()1)(0)(1)(0()0()()()()()()(第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础二、二、“或或-与与”表达式的化简表达式的化简 最简最简“或或-与与”表达式应满足两个条件：表达式应满足两个条件：1表达式中的表达式中的“或或”项个数最少；项个数最少；2在满足上述条件的前提下，每个在满足上述条件的前提下，每个“或或”项中的变量项中的变量个数最少。个数最少。用代数化简法化简“
18、或-与”表达式可直接运用公理、定理中的“或-与”形式，并综合运用前面介绍“与-或”表达式化简时提出的各种方法进行化简。第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础例例 化简化简 CADCACBBAF)()(解解)()()()()()()()(CBBACACBBACADCACBBAF此外，可以采用两次对偶法。具体如下：具体如下：第一步：第一步：对“或-与”表达式表示的函数F求对偶，得到“与-或”表达式F；第二步：第二步：求出F的最简“与-或”表达式；第三步：第三步：对F再次求对偶,即可得到F的最简“或-与”表达式。第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础例例 化简化简)()()()CACBBABAF（第
19、二步：第二步：化简化简F；CBABA CBABABA )CA(BBABA CABCBABAF第三步：第三步：对F求对偶,得到F的最简“或-与”表达式。CBABAF)()(解解 第一步：第一步：求求F的对偶式的对偶式F；CABCBABAF第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础归纳：归纳：代数化简法的优点是：代数化简法的优点是：不受变量数目的约束；当对公理、不受变量数目的约束；当对公理、定理和规则十分熟练时，化简比较方便。定理和规则十分熟练时，化简比较方便。缺点是：缺点是：没有一定的规律和步骤，技巧性很强，而且在没有一定的规律和步骤，技巧性很强，而且在很多情况下难以判断化简结果是否最简。很多情况下难以判断化简结果是否最简。
