1、经济计量学Chp 4多元回归：估计与多元回归：估计与假设检验假设检验主要内容主要内容n 多元线性回归模型及其假定多元线性回归模型及其假定n 多元线性回归参数的估计多元线性回归参数的估计n 多元回归模型的拟合优度多元回归模型的拟合优度n 多元回归模型的假设检验多元回归模型的假设检验n 关于设定误差关于设定误差n 实例实例n从单解释变量到多解释变量从单解释变量到多解释变量一个例子：一个例子：学习目标学习目标多元回归模型的估计问题多元回归模型的估计问题多元回归模型的假设检验问题多元回归模型的假设检验问题多元回归模型区别于双变量模型的特性多元回归模型区别于双变量模型的特性如何决定多元回归模型中解释变量
2、的个数如何决定多元回归模型中解释变量的个数4.1 多元线性回归模型及其假定分析中国汽车行业未来的趋势,应具体分析这样一些问题：中国汽车市场发展的状况如何？（用销售量观测）影响中国汽车销量的主要因素是什么？（如收入、价格、费用、道路状况、能源、政策环境等）各种因素对汽车销量影响的性质怎样？（正、负）各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？所得到的数量结论是否可靠？中国汽车行业今后的发展前景怎样？应当如何制定汽车的产业政策？很明显，只用一个解释变量已很难分析汽车产业的发展,还需要寻求有更多个解释变量情况的回归分析方法。怎样分析多种因素的影响？怎样分析多种因素的影响？多元线性回归模型多元线性回归模
3、型 多元线性回归模型：多元线性回归模型：表现在线性回归模型中的解表现在线性回归模型中的解释变量有多个。释变量有多个。一般表现形式：一般表现形式：i=1,2,n其中其中:k为解释变量的数目，为解释变量的数目，B Bj j称为称为回归参数回归参数（regression coefficient）。）。01122iiikkiiYBB XB XB Xu也被称为也被称为总体回归函数总体回归函数的的随机表达形式随机表达形式。它的。它的非随机表达式非随机表达式为为:1201122(|,)iiikiiikkiE Y XXXBBXB XB X 表示：表示：各变量各变量X X值固定时值固定时Y Y的均值，即总体回归
4、的均值，即总体回归线上的点线上的点。习惯上：把常数项看成为一虚变量的系数，习惯上：把常数项看成为一虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始终取该虚变量的样本观测值始终取1。于是：。于是：模型中解释变量的数目为（模型中解释变量的数目为（k+1）01122iiikkiiYBB XB XB Xu确定确定成分成分随机随机成分成分Bj也被称为也被称为偏回归系数偏回归系数，表示在其他解释变量保，表示在其他解释变量保持不变的情况下，持不变的情况下，X j每变化每变化1个单位时，个单位时，Y的均的均值值E(Y)的变化的变化;或者说或者说Bj给出了给出了X j的单位变化对的单位变化对Y均值的均值的“直接直接”或或“
5、净净”（不含其他变量）影响。（不含其他变量）影响。其其随机表示式随机表示式:ei称为称为残差残差或或剩余项剩余项(residuals)，可看成是，可看成是总体回归函数中随机扰动项总体回归函数中随机扰动项ui的近似替代。的近似替代。用来估计总体回归函数的用来估计总体回归函数的样本回归函数样本回归函数为为：01122iiikkiiYbb Xb Xb Xe01122iiikkiYbbXb Xb X多元线性回归模型的基本假定多元线性回归模型的基本假定 假设假设1：回归模型是参数线性的，并且正确设定：回归模型是参数线性的，并且正确设定假设假设2：解释变量与扰动项不相关：解释变量与扰动项不相关假设假设3，
6、随机误差项具有零均值、同方差，服从，随机误差项具有零均值、同方差，服从正态分布及不序列相关性（相当于书中的正态分布及不序列相关性（相当于书中的3、4、5、7等四个假设）。等四个假设）。0)(iE22)()(iiEVar0)(),(jijiECovnjiji,2,1,多元线性回归模型的基本假定多元线性回归模型的基本假定 假设假设4：解释变量之间不存在完全共线性，：解释变量之间不存在完全共线性，即两个解释变量之间无确切的线性关系。即两个解释变量之间无确切的线性关系。在存在完全共线性的情况下，不能估计偏在存在完全共线性的情况下，不能估计偏回归系数，即不能估计各解释变量各自对回归系数，即不能估计各解释
7、变量各自对应变量应变量Y的影响。的影响。实际问题中，很少会遇到完全共线性的情实际问题中，很少会遇到完全共线性的情况，但却面临高度共线性或近似完全共线况，但却面临高度共线性或近似完全共线性的情况。这将第三部分说明。性的情况。这将第三部分说明。4.2 多元线性回归参多元线性回归参数的估计数的估计主要内容主要内容 1.1.普通最小二乘估计量普通最小二乘估计量2.OLS2.OLS估计量的方差与标准误估计量的方差与标准误 3.3.多元回归多元回归OLSOLS估计量的性质估计量的性质4.4.估计实例估计实例 1.1.普通最小二乘估计普通最小二乘估计n对于随机抽取的对于随机抽取的n组观测值组观测值(Yi,X
8、ji),i=1,2,n;j=1,k如果如果样本函数样本函数的参数估计值已经得到，则有的参数估计值已经得到，则有：i=1,2n 根据根据最小二乘原理最小二乘原理，参数估计值应该是如下方，参数估计值应该是如下方程组的解程组的解 011iikkiYbb Xb X其中：2112)(niiiniiYYeQ01000kQbQbQb20111niikkiiYbb Xb X 于是得到关于待估参数估计值的于是得到关于待估参数估计值的正规方程组正规方程组：解这解这k+1个方程组成的线性代数方程组，即个方程组成的线性代数方程组，即可得到可得到(k+1)个待估参数的估计值个待估参数的估计值bj,j=0,1,k0110
9、1111011ikkiiikkiiiiikkikiikibb Xb XYbb Xb XXY Xbb Xb XXY X 对于三变量模型：对于三变量模型：解得：解得：01122210111212220211222iiiiiiiiiiiiYbb Xb XY XbXbXbX XY XbXbX XbX 22111222221212iiiiiiiiiiiy xxy xx xbxxx x 21221212221212iiiiiiiiiiiy xxy xx xbxxx x01122bYb Xb X2.OLS2.OLS估计量的方差与标准误估计量的方差与标准误n 标准误的作用：标准误的作用：建立真实参数的置信区间
10、；建立真实参数的置信区间；检验统计假设检验统计假设方差与标准误的具体公式：方差与标准误的具体公式：22221221121220222121221iiiiiiiiXxXxXXx xVar bnxxx x 22212221212iiiiixVar bxxx x 21222221212iiiiixVar bxxx x各参数的标准误各参数的标准误分别等于它们方分别等于它们方差的平方根。差的平方根。223ien2221122iiiiiiiieYYyby xby x多元回归的矩阵形式多元回归的矩阵形式 一般形式一般形式:矩阵形式矩阵形式:ikikiiiuxBxBxBBy22110UXYBuuuBBBxxx
11、xxxxxxyyynkknnnkkn 1 1 1211021222121211121对于多元线性回归模型对于多元线性回归模型使使 达到最小时的参数值，称为模型参数的最小二乘估计。达到最小时的参数值，称为模型参数的最小二乘估计。多元线性回归模型的矩阵形式：多元线性回归模型的矩阵形式：由一阶条件得到（证明附后）：由一阶条件得到（证明附后）：于是于是 ikikiiiuxxxy22110nikikiikxxyf1211010)(),(UXYB0/UXYXXXXXYX/1/)(b BOLS法一阶条件：法一阶条件：0ikiiiinknkknikikikiikiiikikiiiikikiiuxuxuuuux
12、xxxxxuxxBxBByxuxxBxBByxuxBxBBy121211211111011101110 1 1 1 0)(0)(0)(3.3.多元回归多元回归OLSOLS参数估计量的性质参数估计量的性质在满足基本假设的情况下，其结构参数在满足基本假设的情况下，其结构参数B的的普通普通最小二乘估计最小二乘估计矩估计矩估计及及最大似然估计最大似然估计仍具有：仍具有：线性性线性性、无偏性无偏性、有效性有效性。同时，随着样本容量增加，参数估计量具有：同时，随着样本容量增加，参数估计量具有：渐近无偏性、渐近有效性、一致性渐近无偏性、渐近有效性、一致性。1、线性性、线性性 其中其中,C=(XX)-1 X
13、为一仅与固定的为一仅与固定的X有关的行有关的行向量向量 2、无偏性、无偏性 1bX XX YCY 111 E bEX XX YEX XXXBuBX XE X uB 3、有效性（最小方差性）有效性（最小方差性）这里利用了假设这里利用了假设:E(Xu)=0参数估计量参数估计量b的方差协方差矩阵的方差协方差矩阵 111111122 Cov bE bE bbE bE bBbBEX XX uu XX XX XX E uuXX XE uuX XIX XX X 其中利用了其中利用了 和和 2E uuI 111 bX XX YX XXXBuBX XX u 12Cov bX X 根据高斯根据高斯马尔可夫定理，马
14、尔可夫定理，在所有无偏估计量的方差中是最小的。在所有无偏估计量的方差中是最小的。关于关于样本容量问题样本容量问题 所谓所谓“最小样本容量最小样本容量”，即从最小二乘原理，即从最小二乘原理和最大似然原理出发，欲得到参数估计量，不管和最大似然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。其质量如何，所要求的样本容量的下限。最小样本容量最小样本容量 样本最小容量必须不少于模型中解释变量样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）的数目（包括常数项）,即即 n k+1+1因为，因为，无多重共线性要求：秩无多重共线性要求：秩(X)=)=k+1+1 2 2、满足基本要求的
15、样本容量、满足基本要求的样本容量 从统计检验的角度从统计检验的角度：n 30 时，时，Z检验才能应用；检验才能应用；n-k8 8时时,t分布较为稳定分布较为稳定 一般经验认为一般经验认为:当当n30或者至少或者至少n3(k+1)时，才能说满足模时，才能说满足模型估计的基本要求。型估计的基本要求。模型的良好性质只有在大样本下才能得到理模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明论上的证明8.3 多元线性回归模型的拟合优度拟合优度拟合优度多元可决系数（判定系数）多元可决系数（判定系数）.可决系数与校正的可决系数可决系数与校正的可决系数则2222)()(2)()()()(YYYYYYYYYYYY
16、YYTSSiiiiiiiiii 总离差平方和的分解总离差平方和的分解由于由于:)()(YYeYYYYiiii=0 所以有：所以有：ESSRSSYYYYTSSiii22)()(注意：注意：222222YYYYYYYYYYYYYYYYYYiiiiiiiiiiii011iiikikiibebe Xbe XYe 可决系数可决系数TSSRSSTSSESSR12该统计量越接近于该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。，模型的拟合优度越高。对于三变量回归：对于三变量回归：23322222110tttttiiiiyxybxybRuxBxBBy 在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变在应用过程中发现，如果
17、在模型中增加一个解释变量，量，R2往往增大。往往增大。这就给人一个这就给人一个错觉错觉：要使得模型拟合得好，只要增要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。加解释变量即可。但是，现实情况往往是，由增但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，的增大与拟合好坏无关，R2需校正。需校正。校正的可决系数校正的可决系数（adjusted coefficient of determination）在样本容量一定的情况下，增加解释变量必在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以定使得自由度减少，所以校正的思路是：校正的思路是：将残差将残差平
18、方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响以剔除变量个数对拟合优度的影响:)1/()1/(12nTSSknRSSR其中：其中：n-k-1为残差平方和的自由度，为残差平方和的自由度，n-1为总体为总体平方和的自由度。（平方和的自由度。（k为解释变量的个数）为解释变量的个数）注：两个解释变量，注：两个解释变量，但要估计三个参数但要估计三个参数 221111nRRnk *2、赤池信息准则和施瓦茨准则、赤池信息准则和施瓦茨准则为了比较所含解释变量个数不同的多元为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的标准还有回归模
19、型的拟合优度，常用的标准还有:nknAIC)1(2lnee施瓦茨准则施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）nnknAClnlnee这两准则均要求这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少仅当所增加的解释变量能够减少AICAIC值或值或ACAC值时才在原模型中增加该解释变量值时才在原模型中增加该解释变量。赤池信息准则赤池信息准则（Akaike information criterion,AIC）n例：例：P158（古董钟拍卖）（古董钟拍卖）n校正的判定系数校正的判定系数 有如下性质：有如下性质：如果如果k1，则，则R2总是大于总是大于0，但，但 可能为负可能为负2R22RR 2R
20、8.4 多元线性回归模型的假设检验假设检验假设检验 一、变量的显著性检验（一、变量的显著性检验（t t检验）检验）二、方程的显著性检验二、方程的显著性检验(F(F检验检验)三、参数的置信区间三、参数的置信区间 一、变量的显著性检验（一、变量的显著性检验（t t检验）检验）n 方程的可决系数方程的可决系数R2虽然度量了估计回归直线的虽然度量了估计回归直线的拟合优度，但拟合优度，但R2本身却不能判定回归系数是否是本身却不能判定回归系数是否是统计显著的，即是否显著不为零。统计显著的，即是否显著不为零。n 因此，必须对每个解释变量进行显著性检验因此，必须对每个解释变量进行显著性检验偏回归系数的显著性检
21、验，以决定是否作为解释偏回归系数的显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。变量被保留在模型中。n 这一检验是由对变量的这一检验是由对变量的 t 检验完成的。检验完成的。n可以证明，在多元线性回归的基本假设条件下，可以证明，在多元线性回归的基本假设条件下，服从正态分布，它们的均值分别为服从正态分布，它们的均值分别为B0，B1，B2，方差分别如方差分别如P157。n但由于但由于 2无法观察，故用其无偏估计量代替，所无法观察，故用其无偏估计量代替，所得的得的OLS估计量服从自由度为估计量服从自由度为(n-3)的的t分布，而非分布，而非正态分布，即：正态分布，即：0030nbBttse b
22、2232nbBttse b 1131nbBttse b 1、t统计量统计量 2、t检验检验显著性检验法显著性检验法 设计原假设与备择假设：设计原假设与备择假设：H1：B Bi 0 0 给定显著性水平给定显著性水平，可得到临界值，可得到临界值t/2(n-k-1)，由样本求出统计量由样本求出统计量t的数值，通过的数值，通过|t|t|t/2(n-k-1)或或|t|t|t/2(n-k-1)来拒绝或接受原假设来拒绝或接受原假设H0，从而，从而判定对应的解释变判定对应的解释变量是否应包括在模型中。量是否应包括在模型中。H0：B Bi=0=0 （i=1,2k）注：这里还得注意是单边检验还是双边检验的问题。注
23、：这里还得注意是单边检验还是双边检验的问题。2、t检验检验置信区间法置信区间法 设计原假设与备择假设：设计原假设与备择假设：H1：B Bi 0 0 根据给定的显著性水平根据给定的显著性水平，可得到临界值，可得到临界值t/2(n-k-1)，进而求得总体参数（偏回归系数）的置信区，进而求得总体参数（偏回归系数）的置信区间，再看该区间是否包含零假设的间，再看该区间是否包含零假设的B B值值B B*（一（一般为般为0 0），以决定接受还是拒绝零假设。），以决定接受还是拒绝零假设。H0：B Bi=0=0 （i=1,2k）/2/22221PtttbBtse b 2/2222/22btse bBbtse b
24、 二、方程的显著性检验二、方程的显著性检验(F(F检验检验)方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系量与解释变量之间的线性关系在总体上在总体上是否显著是否显著成立作出推断。成立作出推断。1、方程显著性的、方程显著性的F检验检验 即检验模型即检验模型 Yi=B0+B1X1i+B2X2i+BkXki+i i=1,2,n中的参数中的参数Bj是否显著不为是否显著不为0。可提出如下原假设与备择假设：可提出如下原假设与备择假设：H0：B0=B1=B2=Bk=0 H1：Bj不全为不全为0 F F检验的思想检验的思想来自于总离差平方和的分解式：来自
25、于总离差平方和的分解式：TSS=ESS+RSS由于回归平方和由于回归平方和ESS=i2是解释变量是解释变量X的联合的联合体对被解释变量体对被解释变量Y的线性作用的结果，考虑比值：的线性作用的结果，考虑比值：22iiyESSRSSe 如果这个比值较大，则如果这个比值较大，则X的联合体对的联合体对Y的解的解释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性关系。上可能不存在线性关系。因此因此,可通过该比值的大小对总体线性关系可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断进行推断。根据数理统计学中的知识，在原假设根据数理统计学中的知识，在原假设H0成成立的
26、条件下，统计量立的条件下，统计量)1/(/knRSSkESSF服从自由度为服从自由度为(k,n-k-1)1)的的F分布。分布。给定显著性水平给定显著性水平，可得到临界值，可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量，由样本求出统计量F的数值，通过的数值，通过 F F F(k,n-k-1)或或 F FF(k,n-k-1)来拒绝或接受原假设来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程，以判定原方程总体上总体上的线性关系是否显著成立。的线性关系是否显著成立。注意：注意：一元线性回归中，一元线性回归中，t t检验与检验与F F检验一致检验一致 一方面一方面，t检验与检验与F检验都是对相同的原假设检验都是
27、对相同的原假设H0：B B1=0=0 进行检验进行检验;另一方面另一方面，两个统计量之间有如下关系：，两个统计量之间有如下关系：222221212221222iiiiiiybxeFbtnxe ne n、关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论 22/1/1RkFRnk 注意其与教材注意其与教材P163P163的区别的区别计算得参数的置信区间：计算得参数的置信区间：B0：(44.284,197.116)B1：(0.0937,0.3489)B2：(0.0951,0.8080)从回归计算中已得到：从回归计算中已得到：在在中国居民人均收入消费支出中国居民人均
28、收入消费支出二元模型二元模型例中例中,给定给定=0.05，查表得临界值：，查表得临界值：t0.025(19)=2.093b0=120.70,Sb0=36.51b1=0.2213,Sb1=0.061b2=0.4515,Sb2=0.170如何才能缩小置信区间？如何才能缩小置信区间？增大样本容量增大样本容量n n，因为在同样的样本容量下，因为在同样的样本容量下，n n越大，越大，t t分布表中的临界值越小，同时，增大分布表中的临界值越小，同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；小；提高模型的拟合优度提高模型的拟合优度，因为样本参数估计量，因为样本
29、参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型优度越高，的标准差与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差平方和应越小。残差平方和应越小。n提高样本观测值的分散度提高样本观测值的分散度,一般情况下，样本观一般情况下，样本观测值越分散，测值越分散，(XX)-1的分母的的分母的|XX|的值越大，的值越大，致使区间缩小。致使区间缩小。8.4 多元线性回归模型的设定误差n设定误差，是指模型中遗漏或增加若干重设定误差，是指模型中遗漏或增加若干重要或不重要的变量。要或不重要的变量。n对于古典钟拍卖的例子，由于设定的不同，对于古典钟拍卖的例子，由于设定的不同，会得到会得到系数不同系数不同截距不同截距不同R2也不同等
30、。也不同等。解释变量的选择解释变量的选择n通常做法：通常做法：只要只要调整的判定系数值调整的判定系数值增大，就可以增加新的增大，就可以增加新的解释变量解释变量对于增加的变量的系数，只要其对于增加的变量的系数，只要其|t|值大于值大于1，调整的判定系数值调整的判定系数值就会增加。就会增加。n对于表对于表8-4(P166)结果的说明结果的说明受限最小二乘法受限最小二乘法n受限模型：不包含任何自变量；受限模型：不包含任何自变量；对应受限最小二乘法（对应受限最小二乘法（RLS）n非受限模型：包含所有的自变量；非受限模型：包含所有的自变量；对应非受限最小二乘法（对应非受限最小二乘法（URLS）n如何在如何在RLS与与URLS之间进行选择？计算之间进行选择？计算F值。值。22,2/1/urrm nkurRRmFFRnk n检验的零假设：检验的零假设：H0：受限模型的约束是有效的：受限模型的约束是有效的n如果如果FF，则拒绝受限回归，这种情形下，则拒绝受限回归，这种情形下，受限模型的约束是无效的。受限模型的约束是无效的。n例：例：P167注：比较受限回归与非受限回归时，应应量必注：比较受限回归与非受限回归时，应应量必须相同须相同
