1、第七章时间序列分析模型本章结构n时间序列模型发展n基础阶段-平稳时间序列模型n核心阶段-非平稳时间序列模型n完善阶段-异方差条件下模型时间序列分析方法的发展过程时间序列分析方法的发展过程n基础阶段基础阶段n核心阶段核心阶段n完善阶段完善阶段基础阶段基础阶段nG.U.Yule n1927年，年，AR（自回归）（自回归）模型模型nG.T.Walkern1931年，年，MA（平均）（平均）模型模型n ARMA（自回归移动平均）（自回归移动平均）模型模型AR模型模型1 1、定义、定义：具有如下结构的模型称为：具有如下结构的模型称为p p阶自回归阶自回归模型模型，简记为，简记为AR(p)AR(p)特别地
2、、当特别地、当0 0=0=0时，称为时，称为中心化中心化AR(p)模型模型 tsEtsEVarExxxxstttptptpttt,0)x(,0)(,)(,0)(0ts222110 保证最高阶数为p保证残差白噪声保证t期的随机干扰与过去s期的序列值无关nAR模型的传递形式模型的传递形式 Green函数函数可得（过程略）可得（过程略）由由ttxB )(jtjjjpijtjiittGkBx 0t01x)(，记，记ttjjBGBG )(j0 其中ki(i=1,p)为常数，i为特征值且在单位圆内n框中式子称为框中式子称为AR模型的模型的传递形式传递形式，而系数，而系数Gj,j=1,2,称为称为Green
3、函数函数。nGreen函数性质函数性质：呈负指数下降，且：呈负指数下降，且（2）Green函数函数递推公式递推公式0|limj jGttttttBGBBGxxB )()()()(由由利用待定系数法解上述方程可得递推公式pkpkjGGGkkkjjkkj,0,2,1110其中，MA模型模型n1 1、定义、定义：具有如下结构的模型称为：具有如下结构的模型称为q q阶阶移动平均模型移动平均模型，简记为，简记为 MA(q)MA(q)n特别当特别当=0=0时，称为时，称为中心化中心化MA(q)MA(q)模型。模型。【注意注意】（1）MA模型总满足平稳条件模型总满足平稳条件；（；（2）AR(p)的假设条件不
4、满足时可以考虑用此模型。的假设条件不满足时可以考虑用此模型。（3）系数敏感性较）系数敏感性较AR模型差。模型差。tsEVarExstttqqtqtttt,0)(,)(0)(022211，用均值+过去时期的随机干扰或误差来预测自己nMA的逆函数的递推公式的逆函数的递推公式n对可逆的对可逆的MA模型，有模型，有n逆函数逆函数I(B)I(B)递推公式递推公式qkqkjIIIkkkjjkkj,0,2,1110其中，ttttttxxBIBxBIBx)()()()(ARMA模型模型1 1、定义定义 具有如下结构的模型称为具有如下结构的模型称为自回归移动自回归移动平均模型平均模型，简记为，简记为ARMA(p
5、,q)n特别当特别当0 0=0=0 时，称为时，称为中心化中心化ARMA(p,q)模型模型tsEVarExxxstttqpqtqttptptt,0)(,)(0)(00211110，用过去的自己，并考虑到随机干扰或误差序列来预测自己系数多项式系数多项式n引进延迟算子，引进延迟算子，中心化中心化ARMA(p,q)模型模型可简记为可简记为 其中其中p阶自回归系数多项式：阶自回归系数多项式：q阶移动平均系数多项式：阶移动平均系数多项式：ttBxB)()(qqBBBB2211)(ppBBBB2211)(3、传递形式与逆转形式、传递形式与逆转形式n传递形式传递形式n逆转形式逆转形式11)()(jjtjtt
6、tGBBx 1,110kGGGkjjjkjk 11)()(jjtjtttxIxxBB 1,110kIIIkjjjkjk Green函数：逆函数：可转化为无穷阶MA模型可转化为无穷阶AR模型 qj,0qj,j,0j,jjjj pp其中其中平稳时间序列建模步骤平稳时间序列建模步骤平稳非白噪声序列计算样本相关系数模型识别参数估计模型检验模型优化序列预测YesNo核心阶段核心阶段nG.E.P.Box和和 G.M.Jenkins n1970年，出版年，出版Time Series Analysis Forecasting and Control。n提出提出ARIMA(p,d,q)（差分自回归滑动平均差分自
7、回归滑动平均）模型）模型（BoxJenkins 模型）模型）-经典模型经典模型。(其中其中p为自回归项数，为自回归项数，q为滑动平均项数，为滑动平均项数，d为使之成为平稳为使之成为平稳序列所做的差分阶数序列所做的差分阶数)。nBoxJenkins模型模型实际上主要是运用于实际上主要是运用于单变量单变量、同方差同方差场合的场合的线性线性模型模型，存在局限性。，存在局限性。Cramer分解定理（1961）n任何一个时间序列 都可以分解为两部分的叠加：其中一部分是由多项式决定的确定性趋势成分，另一部分是平稳的零均值误差成分，即txtttx确定性影响随机性影响taB)(djjjt0确定性因素分解n现在
8、的因素分解n长期趋势波动n季节性变化n随机波动确定性时序分析的目的n克服其它因素的影响，单纯测度出某一个确定性因素对序列的影响n推断出各种确定性因素彼此之间的相互作用关系及它们对序列的综合影响趋势分析n目的n有些时间序列具有非常显著的趋势，我们分析的目的就是要找到序列中的这种趋势，并利用这种趋势对序列的发展作出合理的预测 n常用方法n趋势拟合法n平滑法趋势拟合法n趋势拟合法就是把时间作为自变量，相应的序列观察值作为因变量，建立序列值随时间变化的回归模型的方法 n分类n线性拟合n非线性拟合平滑法n平滑法是进行趋势分析和预测时常用的一种方法。它是利用修匀技术，削弱短期随机波动对序列的影响，使序列平
9、滑化，从而显示出长期趋势变化的规律 n常用平滑方法n移动平均法n指数平滑法移动平均法n基本思想n假定在一个比较短的时间间隔里，序列值之间的差异主要是由随机波动造成的。根据这种假定，我们可以用一定时间间隔内的平均值作为某一期的估计值 n分类nn期中心移动平均nn期移动平均指数平滑法n指数平滑方法的基本思想n在实际生活中，我们会发现对大多数随机事件而言，一般都是近期的结果对现在的影响会大些，远期的结果对现在的影响会小些。为了更好地反映这种影响作用，我们将考虑到时间间隔对事件发展的影响，各期权重随时间间隔的增大而呈指数衰减。这就是指数平滑法的基本思想 n分类n简单指数平滑nHolt两参数指数平滑季节
10、指数n季节指数的概念n所谓季节指数就是用简单平均法计算的周期内各时期季节性影响的相对数 n季节模型ijjijISxx季节指数的计算n计算周期内各期平均数n计算总平均数n计算季节指数mknxxniikk,2,1,1nmxxnimkik11mkxxSkk,2,1,季节指数的理解n季节指数反映了该季度与总平均值之间的一种比较稳定的关系n如果这个比值大于1，就说明该季度的值常常会高于总平均值n如果这个比值小于1，就说明该季度的值常常低于总平均值n如果序列的季节指数都近似等于1，那就说明该序列没有明显的季节效应 综合分析n常用综合分析模型n加法模型n乘法模型n混合模型ttttISTxttttISTx)(
11、)ttttttttITSxbITSxaARIMA模型结构n使用场合n差分平稳序列拟合n模型结构tsExtsEVarEBxBtsstttttd,0,0)(,)(0)()()(2，ARIMA模型的平稳性nARIMA(p,d,q)模型共有p+d个特征根，其中p个在单位圆内，d个在单位圆上。所以当 时ARIMA(p,d,q)模型非平稳。n例5.5ARIMA(0,1,0)时序图0dARIMA模型的方差齐性n 时，原序列方差非齐性nd阶差分后，差分后序列方差齐性0d2110)()()0,1,0(txVarxVarARIMAttt模型2)()()0,1,0(ttVarxVarARIMA模型ARIMA 模型族
12、nd=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)nP=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)nq=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)nd=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=random walk model随机游走模型(random walk)n模型结构n模型产生典故nKarl Pearson(1905)在自然杂志上提问：假如有个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？tsExtsEVarExxtsstttttt,0,0)(,)(0)(21，疏系数模型nARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高
13、阶数为p，移动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知系数：n如果该模型中有部分自相关系数 或部分移动平滑系数 为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型。qp,11pjj1,qkk1,疏系数模型类型n如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为n 为非零自相关系数的阶数n如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为n 为非零移动平均系数的阶数n如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简记为),),(1qdppARIMAm),(,(1nqqdpARIMA),(,),(11nmqqdppARIMAmpp,1nqq,1季节模型n简单季节模型n乘积
14、季节模型 简单季节模型n简单季节模型是指序列中的季节效应和其它效应之间是加法关系n简单季节模型通过简单的趋势差分、季节差分之后序列即可转化为平稳，它的模型结构通常如下 ttttITSxttdDBBx)()(乘积季节模型n使用场合n序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中的相关关系 n构造原理n短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取n季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(P,Q)模型提取n假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系，模型结构如下 tSStDSdBBBBx)()()()(Auto-Regressive模型n构造思想n首先通
15、过确定性因素分解方法提取序列中主要的确定性信息n然后对残差序列拟合自回归模型，以便充分提取相关信息 ttttSTxtptptta11Auto-Regressive模型结构1,0),(,)(,0)(211iaaCovaVaraEaSTxitttttptptttttt对趋势效应的常用拟合方法n自变量为时间t的幂函数n自变量为历史观察值tkktttT10tktkttxxT110对季节效应的常用拟合方法n给定季节指数n建立季节自回归模型ttSSlmtlmttxxT10完善阶段完善阶段n异方差场合异方差场合nRobert F.Engle，1982年，年，ARCH（自回归条件异方差自回归条件异方差）模）模
16、型型。nBollerslov，1985年年GARCH（时变自回归时变自回归）模型）模型 都是对经典都是对经典ARIMA模型的很好补充。模型的很好补充。n多变量场合多变量场合nC.Granger，1987年，提出了年，提出了协整（协整（co-integration）理论理论极大促进了多变量时间序列分析发展，因此获得极大促进了多变量时间序列分析发展，因此获得2003年诺贝尔经年诺贝尔经济学奖。济学奖。n非线性场合非线性场合n汤家豪教授等，汤家豪教授等，1980年，年，门限自回归模型门限自回归模型是分析非线性时间序列的经典模型。是分析非线性时间序列的经典模型。异方差的性质n异方差的定义n如果随机误差
17、序列的方差会随着时间的变化而变化，这种情况被称作为异方差n异方差的影响n忽视异方差的存在会导致残差的方差会被严重低估，继而参数显著性检验容易犯纳伪错误，这使得参数的显著性检验失去意义，最终导致模型的拟合精度受影响。)()(thVart异方差直观诊断n残差图n残差平方图残差图n方差齐性残差图n递增型异方差残差图残差平方图n原理n残差序列的方差实际上就是它平方的期望。n所以考察残差序列是否方差齐性，主要是考察残差平方序列是否平稳)()(2ttEVar异方差处理方法n假如已知异方差函数具体形式，进行方差齐性变化n假如不知异方差函数的具体形式，拟合条件异方差模型 方差齐性变换n使用场合n序列显示出显著
18、的异方差性，且方差与均值之间具有某种函数关系 其中：是某个已知函数n处理思路n尝试寻找一个转换函数 ，使得经转换后的变量满足方差齐性)(2tth)(h)(g2)(txgVar条件异方差模型nARCH模型nGARCH模型nGARCH模型的变体nEGARCH模型nIGARCH模型nGARCH-M模型nAR-GARCH模型ARCH模型n假定n原理n通过构造残差平方序列的自回归模型来拟合异方差函数 nARCH(q)模型结构qjjtjtttttttthehxxtfx1221),()1,0(NhttGARCH 模型结构n使用场合nARCH模型实际上适用于异方差函数短期自相关过程 nGARCH模型实际上适用
19、于异方差函数长期自相关过程 n模型结构qjjtjpiititttttttthhehxxtfx12121),(GARCH模型的约束条件n参数非负 n参数有界 0,0,0ji111qjjpiiEGARCH模型)()()ln()ln(),(1121ttttqjtjpiititttttttteEeeegeghhehxxtfxIGARCH模型1),(1112121qjjpiiqjjtjpiititttttttthhehxxtfxGARCH-M模型qjjtjpiitittttttttthhehhxxtfx12121),(AR-GARCH模型qjjtjpiititttttmkktkttttthhehxxtfx121121),(ARIMA模型建模步骤获获得得观观察察值值序序列列平稳性平稳性检验检验差分差分运算运算YN白噪声白噪声检验检验Y分分析析结结束束N拟合拟合ARMA模型模型平稳时间序列建模步骤平稳时间序列建模步骤平稳非白噪声序列计算样本相关系数模型识别参数估计模型检验模型优化序列预测YesNo
