1、概率统计第四章习题课习题四习题四则量为学生做实验需要动物数,.1X05.01.02.04.025.054321PX为平均每组需要动物数量3.2)(51kkkpxXE比较哪种方法精度高？如下，甲乙两种方法测得结果.2 48 49 50 51 52 0.1 0.1 0.6 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.221,XX)(1XP)(2XP50)()(21XEXE2)(1)(21XDXD.甲方法测得精度高.39.3，方差和标准差已取出的废品数的期望取得合格品以前废品不再放回去，求在如果每次取出的这批零件中任取一个，个次品，从个合格品一批零件中有22012209449433210PX
2、301.0)(30kkkpxXE322.0301.0)()()(230222kkkpxEXXEXD567.0)(XD4.设随机变量X的数学期望为E(X)，方差为D(X)0，引入新的随机变量)()(*XDXEXX验证E(X*)=0，D(X*)=10)()()(1)()(*)(XEXEXDXDXEXEXE2)()(XDXEXE1)(1)()(12XDDXXEXEXD D(X*)=E X*E(X)*2=E(X*2)=标准化随机变量标准化随机变量设随机变量 X 的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称)()(XDXEXX为 X 的标准化随机变量.1)(,0)(XDXE.)(),(,01,
3、11)(.52XDXExxxfX求其他的密度函数为随机变量211)()()()(01)(11222222112dxxxdxxfxXEEXXEDXdxxxdxxxfEX.)(),(,21)(.6|XDXExexfXx求的密度函数为随机变量22)()()()(02)(|22222|dxexdxxfxXEEXXEDXdxexdxxxfEXxx16 设设r.v X服从几何分布，服从几何分布，P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,，其中其中0p1,求求E(X),D(X)解：解：记记q=1-p11)(kkkpqXE1)(kkqp1)(kkqp)1(qqpp1求和与求导求和与求导交换次序交换次序等比
4、级数等比级数求和公式求和公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 1122)(kkpqkXE)1(1111kkkkkqqkkp 1)(kkqqp+E(X)pqqqp1)1(pqqp1)1(23ppq12222pp22pp21p21pp,2,1,0,)1(11)(kaaakXPk7.设 X 的分布律为0a)(),(XDXE其中为已知常数，求aaqapkpqkXPk1,11,2,1,0,)(解法一仿照16题 1(),1,2,1,11kP Ykpqkapqaa解法二利用16题结论)1()(,11)(2aapqYDapYE1YXaYEYEXE1)()1()()1(1)()1()(aYDYDXD引入几何分
5、布的随机变量，由上题的结果知 9.证明：对任意常数C,D(X)E(X C)222)()(XECXEXECXE22)()(XECXEXE当C=E(X)时，显然等号成立；当C E(X)时，0)(2XEC)(2XDCXE2)()(XECXD证明二：D(X)E(X C)2DXCXE2)()()2(2222EXXECCXXE0)(2XEC222)(CCEXEX.%955.67143.1011.10正常值范围求身高的厘米，厘米，标准差布，期望岁男孩身高服从正态分)67.5,1.143(2NX95.0)|1.143(|aXP），（则解得154.21131.99,11.11a0,00,)(xxexfx02)(
6、2)()1(dxxedxxxfYEx2022xxexe022)()()2(dxeedxxfeYExxx310313 xe12.设随机变量X的概率密度为求:(1)Y=2X(2)Y=e2X的数学期望.2)(,)(XDXEiiniiXnX11).(),(XDXE求niniiniinXEnXnEXE1111)(1)1()(nnXDnXnDXDniniinniiXX212212111)(1)1()(,相互独立13.设X1,X2,Xn是独立同分布的随机变量i=1,2,n.记nXDXE2)(,)(数学期望的性质方差的性质.9280300100500,30,1030,10.14，试确定最少进货量值不小于期望元
7、，为使商店所获利润单位商品仅获利部调剂供应，此时每一若供不应求，则可从外元；一单位商品亏损求则削价处理，每处理元；若供大于可获利商店每销售一单位商品中的某一整数间经销商店进货数量为区，而量设某种商品每周的需求UXaXXaXXaaXaXgLa10,100)(50030,300)(500)(，则利润为设进货数量为解aXaXXaaXL10,10060030,200300.928052503505.7d)200300(201d)100600(201d)(201)(230103010aaxaxxaxxxgLEaa.219280.263220单位元的最少进货量为故利润期望值不小于解得 a其他,010 ,1
8、0,),(yxyxyxf dxdyyxxyfXYE),()(101031)(dxdyyxxy15.设二维随机变量(X,Y)的密度函数为 求E(X),E(Y),E(X Y).dxdyyxxfXE),()(dxdyyxyfYE),()(1010127)(dxdyyxx127),cov(2)()()()2.(18YXYDXDYXD22)()()(YXEYXEYXD)()()(2)()(YEXEXYEYDXD2)()()2(2222EYEXEYEXXYYXE),cov(2)()(YXYDXD.),cov(),.(19XYYXDYX求上服从均匀分布，在解：的面积为区域D21的联合密度为所以，YX,Dyx
9、Dyxyxf，0211D.361)()()(),cov(YEXEXYEYX21)()(),cov(YDXDYXXY仿照15题)()()(YEXEXYE其他其他,05,)(,010,2)()5(yeyfxxxfyYX20.设X，Y相互独立,概率密度分别为求E(XY)解法一解法二dxdyyfxxyfdxdyyxxyfXYEYX)()(),()(dyyyfdxxxfYX)()(1)0(,.22XYabaXY),cov(),cov(baXXYX1)()()()(),cov(XaDXaDYDXDYXXY)(),cov(XaDXXa)()(2XDaYD其他,020,20),(81),(yxyxyxf.,X
10、YEYEX求67)(81)(2020dyyxxdxXE67)(81)(2020dyyxydxYE)()()(),cov(YEXEXYEYX3616767)(812020dyyxyxdx23.设随机变量（X，Y）具有概率密度361167)(81)()()(22022022dyyxxdxXEXEXD3611)(YD1113611361),cov(DYDXYXXY25.设 X,Y 相互独立,且都服从 N(,2),U=aX+bY,V=aX-bY,a,b 为常数，且都不为零，求UV 解解)()()(),cov(VEUEUVEVU)()()()()()(2222YbEXaEYbEXaEYEbXEa由2)(
11、)(,)()(YDXDYEXE222222)()(YEXE222)(),cov(baVU而22222)()()()(baYDbXDaUD22222)()()()(baYDbXDaVD故2222babaUV)()(),cov(VDUDVUUV222)(),cov(baVU)()(),cov(),cov(),cov(2222YDbXDaYYbXXabYaXbYaX利用协方差的性质利用协方差的性质思考：还有其他方法吗？26.已知正常男性成人血液中，每一毫已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是升白细胞数平均是7300，均方差是，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞利用切比雪夫不等
12、式估计每毫升白细胞数在数在52009400之间的概率之间的概率.解：设每毫升白细胞数为解：设每毫升白细胞数为X依题意，依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为所求为 P(5200 X 9400)P(5200 X 9400)=P(5200-7300 X-7300 9400-7300)=P(-2100 X-E(X)2100)2)2100()(1XD=P(|X-E(X)|2100)由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 P(|X-E(X)|2100)2)2100700(198911即估计每毫升白细胞数在即估计每毫升白细胞数在52009400之间的之间的概率不小于概率不小于8/9.3)05.0(
13、50.27次的概率和大于，求收到的呼叫次数总收到的呼叫次数服从个寻呼台，每个寻呼台P05.0)05.0(iiiDXEXPX由中心极限定理由中心极限定理)5.2,5.2(501NXii近似375.0)5.25.23(1)3(501iiXP)3(1501iiXP28.28.一保险公司有一保险公司有1000010000人投保，每人人投保，每人付付1818元保险费，已知投保人出意外率为元保险费，已知投保人出意外率为0.006.0.006.若若出意外出意外公司赔付公司赔付25002500元元.求保险公司亏本求保险公司亏本 的概率的概率.解解设设X为投保的为投保的1000010000人中人中出意外的出意外的人数人数则则)006.0,10000(BX,60)(XE.64.59)(XDX2500181000072 X由中心极限定理由中心极限定理)72(XP64.5960721)72(1XP06.0)55.1(1)64.59,60(N
