1、阶段复习课第 三 章空间向量与立体几何 【核心解读核心解读】1.1.证明空间任意三点共线的方法证明空间任意三点共线的方法设空间三点设空间三点P P，A A，B B，(1)(1)(2)(2)对空间任一点对空间任一点O O，(3)(3)对空间任一点对空间任一点O O，PA PB ；OPOAt AB ；OPx OAyOB xy1.2.2.证明空间四点共面的方法证明空间四点共面的方法设空间四点设空间四点P P，A A，B B，C C，(1)(x(1)(x，y y为有序实数对为有序实数对)；(2)(2)对空间任一点对空间任一点O O，(3)(3)对空间任一点对空间任一点O O，(x+y+z=1)(x+y
2、+z=1)；CPx CAy CB OPOCx CAy CB ；OPx OAy OBzOC 4 PCABPBACPACB.或或3.3.空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示设设a=(a=(a1 1,a,a2 2,a,a3 3),),b=(b=(b1 1,b,b2 2,b,b3 3).).(1)(1)a+b=(a=(a1 1+b+b1 1,a,a2 2+b+b2 2,a,a3 3+b+b3 3),),a-b=(a=(a1 1-b-b1 1,a,a2 2-b-b2 2,a,a3 3-b-b3 3),),a=(a=(a1 1,a,a2 2,a,a3 3),),ab=a=a1 1b b1 1+a+
3、a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3.(2)(2)重要结论重要结论aba=ba a1 1=b=b1 1,a,a2 2=b=b2 2,a,a3 3=b=b3 3(R);(R);abab=0=0a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3=0.=0.4 4模、夹角和距离公式模、夹角和距离公式(1)(1)设设a=(a=(a1 1,a,a2 2,a,a3 3),),b=(b=(b1 1,b,b2 2,b,b3 3),),则则|a|coscosa，b(2)(2)设设A(aA(a1 1,b,b1 1,c,c1 1),B(a),B(a2 2,b,b2 2,c,c2
4、2),),则则222123aaa；a a112233222222123123a ba ba b.aaabbba ba b222AB212121dABaabbcc.5.5.空间向量的结论与线面位置关系的对应关系空间向量的结论与线面位置关系的对应关系(1)(1)设直线设直线l的方向向量是的方向向量是u=(a=(a1 1,b,b1 1,c,c1 1),),平面平面的法向量的法向量v=(a=(a2 2,b,b2 2,c,c2 2),),则则luvuv=0=0a a1 1a a2 2+b+b1 1b b2 2+c+c1 1c c2 2=0,=0,luvu=k=kv(a(a1 1,b,b1 1,c,c1
5、1)=k(a)=k(a2 2,b,b2 2,c,c2 2)a a1 1=ka=ka2 2,b,b1 1=kb=kb2 2,c,c1 1=kc=kc2 2(kR).(kR).(2)(2)设直线设直线l,m,m的方向向量分别为的方向向量分别为a,b,平面平面,的法向量分别的法向量分别为为u,v,则则lmmaba=k=kb,kR;,kR;lmmabab=0;=0;lauau=0;=0;laua=k=ku,kR;,kR;uvu=k=kv,kR;,kR;uvuv=0.=0.6.6.空间向量与空间角的关系空间向量与空间角的关系(1)(1)设异面直线设异面直线l1 1,l2 2的方向向量分别为的方向向量分别
6、为m1 1,m2 2,则则l1 1与与l2 2的夹角的夹角满足满足cos=|coscos=|cos|.|.(2)(2)设直线设直线l的方向向量和平面的方向向量和平面的法向量分别为的法向量分别为m,n,则直线则直线l与平面与平面的夹角的夹角满足满足sin=|cossin=|cos|.|.(3)(3)求二面角的大小求二面角的大小()()如图如图,AB,CD,AB,CD是二面角是二面角-l-的两个半平面的两个半平面,内与棱内与棱l垂直的直线垂直的直线,则二面角的大小则二面角的大小=.=.()()如图如图,n1 1,n2 2分别是二面角分别是二面角-l-的两个半平面的两个半平面,的法向量的法向量,则二
7、面角的大小则二面角的大小满足满足cos=coscos=cos 或或-cos-cos.ABCD ，主题一主题一 空间向量概念及运算空间向量概念及运算【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014贵州高二检测贵州高二检测)下列说法中正确的是下列说法中正确的是()()A.A.若若|a|=|=|b|，则，则a，b的长度相同，方向相同或相反的长度相同，方向相同或相反B.B.若向量若向量a是向量是向量b的相反向量，则的相反向量，则|a|=|=|b|C.C.空间向量的减法满足结合律空间向量的减法满足结合律D.D.在四边形在四边形ABCDABCD中，一定有中，一定有ABADAC (2)(2)如图，在正方形
8、如图，在正方形ABCDABCD中，已知中，已知ABAB2 2，M M为为BCBC的中点，若的中点，若N N为为正方形内正方形内(含边界含边界)任意一点，则任意一点，则 的最大值为的最大值为.AM AN 【自主解答自主解答】(1)(1)选选B.|B.|a|=|=|b|，说明，说明a与与b模长相等，但方向不模长相等，但方向不确定；对于确定；对于a的相反向量的相反向量b=-=-a，故，故|a|=|=|b|，从而，从而B B正确；空间正确；空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有形不具有 只有平行四边形才能成立只有平行四边
9、形才能成立.故故A A，C C，D D均不正确均不正确.ABADAC ，(2)(2)由数量积公式得，由数量积公式得，表示向量表示向量 在向量在向量 的方向上的投影，要使的方向上的投影，要使 值最大，值最大，只需只需 最大，又因点最大，又因点N N在正在正方形内方形内(含边界含边界)，所以当点，所以当点N N与与C C重合时，过点重合时，过点C C作作CHAMCHAM，垂，垂足为足为H H，得，得 最大，故由最大，故由ABAB2 2，M M为为BCBC的中点可得的中点可得 所以所以 的最大值为的最大值为6.6.答案：答案：6 6AM AN|AM|AN cosAM AN ，AN cosAM AN
10、，AM AN AN cosAM AN ，AN cosAM ANAH ，AM5AHAMMH5CM cos CMH ，15cos AMB55，AM AN ANAM【延伸探究延伸探究】题题(2)(2)中若结论改为中若结论改为 则结果如何？则结果如何？【解析解析】由数量积公式得由数量积公式得 表示向量表示向量 在向量在向量 的方向上的投影，要使的方向上的投影，要使 值最大，只需值最大，只需 最大，又因点最大，又因点N N在正方在正方形内形内(含边界含边界)，所以当点，所以当点N N与与C C重合时，重合时，CBABCBAB，得，得 最大，故最大，故 的最大值为的最大值为4.4.AN AB ，AN AB
11、|AN|AB cosAN AB ，AN cosAN AB ，AN AB AN cosAN AB ，AN cosAN ABAB ，ANAB AN AB 【方法技巧方法技巧】空间向量运算的几何意义空间向量运算的几何意义(1)(1)加法、减法：其几何意义体现在平行四边形法则与三角形加法、减法：其几何意义体现在平行四边形法则与三角形法则中法则中.(2)(2)数乘运算：其几何意义体现的是在有向直线上的向量长度数乘运算：其几何意义体现的是在有向直线上的向量长度与方向的转化与方向的转化.(3)(3)数量积公式：其几何意义体现在夹角与模的理解上数量积公式：其几何意义体现在夹角与模的理解上.如利用如利用|a|2
12、 2=aa可以解决线段长度问题，可以解决线段长度问题，在单位向量在单位向量e方向上的方向上的投影为投影为AB AB cosAB.，e【补偿训练补偿训练】在以下四个式子中在以下四个式子中a+bc，a(bc)，a(bc)，|ab|=|=|a|b|，表达正确的有，表达正确的有()()A.1A.1个个B.2B.2个个C.3C.3个个D.0D.0个个【解析解析】选选A.A.根据数量积的定义，根据数量积的定义，bc是一个实数，是一个实数，a+bc无意义无意义.实数与向量无数量积，故实数与向量无数量积，故a(bc)错，错，|ab|=|=|a|b|cos|cosa，b|，只有，只有a(bc)正确正确.主题二主
13、题二 空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算【典例典例2 2】(1)(1)若向量若向量a=(4=(4，2 2，4)4)，b=(6=(6，3 3，2)2)，则，则(2(2a3 3b)()(a+2+2b)=)=.(2)(2)若若A(xA(x，5 5x x，2x2x1)1)，B(1B(1，x+2x+2，2-x)2-x)，当取最小值，当取最小值时，时，x x的值等于的值等于.【自主解答自主解答】(1)(1)因为因为2 2a3 3b=(=(1010，1313，14)14)，a+2+2b=(16=(16，4 4，0)0)，所以，所以(2(2a3 3b)(a+2+2b)=(=(1010，1313，14)14)
14、(16(16，4 4，0)0)212.212.答案：答案：212212AB|(2)(2)由点由点A A，B B坐标，得坐标，得=(1=(1x x，2x2x3 3，3x+3)3x+3)，所以所以当当x=x=时，取最小值时，取最小值.答案：答案：AB 222AB1 x2x33x3 214x32x19，87AB|87【方法技巧方法技巧】熟记空间向量的坐标运算公式熟记空间向量的坐标运算公式设设a=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),(1)(1)加减运算加减运算:ab=(x=(x1 1x x2 2,y,y1 1y y2 2,z,z1
15、 1z z2 2).).(2)(2)数量积运算数量积运算:ab=x=x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2+z+z1 1z z2 2.(3)(3)向量夹角向量夹角:cos:cos=121212222222111222x xy yz z.xyzxyz(4)(4)向量长度向量长度:设设M M1 1(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),M),M2 2(x(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),则则提醒提醒:在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算算.22212121212M Mxxyyzz.【拓展延伸拓展延伸】向量坐标运
16、算的综合应用向量坐标运算的综合应用向量运算的坐标表示公式要熟记，从而能准确快速地进行向量运算的坐标表示公式要熟记，从而能准确快速地进行计算计算.专门运算的题目很少，一般与共面向量定理、共线向量专门运算的题目很少，一般与共面向量定理、共线向量定理组合出题，熟练掌握这两个定理也是运算的基础定理组合出题，熟练掌握这两个定理也是运算的基础.共面向共面向量：利用量：利用p与与a，b向量共面向量共面p=x=xa+y+yb时，一定要注意时，一定要注意a，b不不能共线；反之利用能共线；反之利用p=x=xa+y+ybp与与a，b向量共面时，则不需要向量共面时，则不需要a，b不共线的条件不共线的条件.常见结论：空
17、间任一点常见结论：空间任一点O O和不共线三点和不共线三点A A，B B，C C，则，则 (x+y+z=1)(x+y+z=1)是是P P，A A，B B，C C四点共面的充要条件四点共面的充要条件.OPxOAyOBzOC 【补偿训练补偿训练】设点设点C(2a+1,a+1,2)C(2a+1,a+1,2)在点在点P(2,0,0),A(1,-3,2),P(2,0,0),A(1,-3,2),B(8,-1,4)B(8,-1,4)确定的平面上确定的平面上,则则a a的值为的值为()A.-7A.-7B.4B.4C.-16C.-16D.16D.16【解析解析】选选D.=(-1D.=(-1，-3-3，2)2)，
18、=(6=(6，-1-1，4).4).根据共面向量定理，设根据共面向量定理，设 (x(x，yR)yR)，则则(2a(2a1 1，a+1a+1，2)=x(2)=x(1 1，3 3，2)+y(62)+y(6，1 1，4)4)=(=(x+6yx+6y，3x3xy y，2x+4y)2x+4y)，所以所以解得解得x=x=7 7，y=4y=4，a=16.a=16.PA PBPCxPAyPB 2a 1x6ya13xy22x4y，主题三主题三 空间向量与平行、垂直问题空间向量与平行、垂直问题【典例典例3 3】(1)(1)已知已知A A，B B，C C三点的坐标分别为三点的坐标分别为A(4A(4，1 1，3)3)
19、，B(2B(2，5 5，1)1)，C(3C(3，7 7，)，若则，若则等于等于()()A A2828B B2828C C1414D D1414ABAC ，(2)(2014(2)(2014银川高二检测银川高二检测)如图如图,在长方体在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AA,AA1 1=AD=1,E=AD=1,E为为CDCD的中点的中点.求证求证:B:B1 1EADEAD1 1.在棱在棱AAAA1 1上是否存在一点上是否存在一点P P，使得，使得DPDP平面平面B B1 1AEAE？若存在，求？若存在，求APAP的长；若不存在，说明理由的长；若不存在，说
20、明理由.【自主解答自主解答】(1)(1)选选D.D.(2 2，6 6，2)2)，(1 1，6 6，3)3)，因为因为 所以所以 2 21 16 66 62(2(3)3)0 0，解得解得14.14.AB AC ABAC ，AB AC (2)(2)以以A A为原点，为原点，的方向分别为的方向分别为x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴轴的正方向建立空间直角坐标系的正方向建立空间直角坐标系(如图如图).).设设AB=aAB=a，则则A(0A(0，0 0，0)0)，D(0D(0，1 1，0)0)，D D1 1(0(0，1 1，1)1)，E(E(，1 1，0)0)，B B1 1(a(a，0 0，1)1)，
21、故故 =(0=(0，1 1，1)1)，=(=(，1 1，-1)-1)，=(a=(a，0 0，1)1)，=(=(，1 1，0).0).因为因为 =0+10+11+(-1)1+(-1)1=01=0，所以所以B B1 1EADEAD1 1.1ABAD AA ，a21AD 1B Ea21AB AE a211AD B E a2假设在棱假设在棱AAAA1 1上存在一点上存在一点P(0P(0，0 0，z z0 0)(0z)(0z0 01)1)，使得使得DPDP平面平面B B1 1AE.AE.此时此时 =(0=(0，-1-1，z z0 0).).又设平面又设平面B B1 1AEAE的法向量的法向量n=(x=(
22、x，y y，z).z).由由 得得DP 1ABAE ，nnaxz0axy0.2，取取x=1x=1，得平面，得平面B B1 1AEAE的一个法向量的一个法向量n=(1=(1，-a).-a).要使要使DPDP平面平面B B1 1AEAE，只要，只要n ，有，有 -az-az0 0=0=0，解得解得z z0 0=又又DPDP 平面平面B B1 1AEAE，所以存在点，所以存在点P P，满足，满足DPDP平面平面B B1 1AEAE，此时，此时AP=AP=a2DP a21.21.2【方法技巧方法技巧】利用空间向量证明空间中的位置关系利用空间向量证明空间中的位置关系(1)(1)线线平行：线线平行：证明两
23、条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量量(2)(2)线线垂直：线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直.(3)(3)线面平行线面平行:证明直线的方向向量与平面的法向量垂直证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量;利用共面向量定理利用共面向量定理,即证明直线的方向向量可用平面内两不即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示共线向量线性表示.(4)(4)线面垂直线面垂
24、直:证明直线的方向向量与平面的法向量平行证明直线的方向向量与平面的法向量平行;利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.(5)(5)面面平行面面平行:证明两个平面的法向量平行证明两个平面的法向量平行(即是共线向量即是共线向量););转化为线面平行、线线平行问题转化为线面平行、线线平行问题.(6)(6)面面垂直面面垂直:证明两个平面的法向量互相垂直证明两个平面的法向量互相垂直;转化为线面垂直、线线垂直问题转化为线面垂直、线线垂直问题.【补偿训练补偿训练】如图所示如图所示,在平行六面体在平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1
25、 1中中,M,N,M,N分分别是别是C C1 1D D1 1,AB,AB的中点的中点,E,E在在AAAA1 1上且上且AE=2EAAE=2EA1 1,F,F在在CCCC1 1上且上且CF=FCCF=FC1 1,试证明试证明MENF.MENF.12【证明证明】由平行六面体的性质知由平行六面体的性质知所以所以又又M M，E E，N N，F F不共线，所以不共线，所以MENF.MENF.1111111111ME MDD AA E11C DADA A2311AB ADAA2311NF NB BC CFAB ADCC2311AB ADAA23 ，MENF，主题四主题四 利用空间向量求空间角利用空间向量求
26、空间角【典例典例4 4】(1)(2012(1)(2012四川高考四川高考)如图如图,在正方体在正方体ABCDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,M,N,M,N分别是棱分别是棱CD,CCCD,CC1 1的中点的中点,则异面直线则异面直线A A1 1M M与与DNDN所成的角的所成的角的大小是大小是.(2)(2013(2)(2013江苏高考江苏高考)如图如图,在直三棱柱在直三棱柱A A1 1B B1 1C C1 1-ABCABC中中,ABAC,AB=AC=2,AABAC,AB=AC=2,A1 1A=4,A=4,点点D D是是BCBC的中点的中点.求异面直线求异面直线A
27、A1 1B B与与C C1 1D D所成角的余弦值所成角的余弦值.求平面求平面ADCADC1 1与平面与平面ABAABA1 1所成二面角的正弦值所成二面角的正弦值.【自主解答自主解答】(1)(1)设正方体的棱长为设正方体的棱长为1 1，建立如图所示的空间直，建立如图所示的空间直角坐标系角坐标系DxyzDxyz，则则D(0D(0，0 0，0)0)，N(0N(0，1 1，)，A A1 1(1(1，0 0，1)1)，M(0M(0，0)0)，所以所以 =(-1=(-1，-1)-1)，=(0=(0，1 1，)，所以所以所以所以 =90=90，所以异面直线所以异面直线A A1 1M M与与DNDN所成的角
28、的大小为所成的角的大小为9090.答案：答案：90901212121A MDN12111A M DNcosA M DN0A M DN ，1A M DN，(2)(2)以以A A为坐标原点，为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系AxyzAxyz，则则A(0A(0，0 0，0)0)，B(2B(2，0 0，0)0)，C(0C(0，2 2，0)0)，D(1D(1，1 1，0)0)，A A1 1(0(0，0 0，4)4)，C C1 1(0(0，2 2，4)4)，所以所以 =(2=(2，0 0，-4)-4)，=(1=(1，-1-1，-4).-4).因为因为所以异面直线所以异面直
29、线A A1 1B B与与C C1 1D D所成角的余弦值为所成角的余弦值为 .1A B 1C D 111111A B C D183 10cosA BC D1020 18A B C D ，3 1010设平面设平面ADCADC1 1的法向量为的法向量为n1 1=(x=(x，y y，z)z)，因为因为 =(1=(1，1 1，0)0)，=(0=(0，2 2，4)4)，所以所以n1 1 =0 =0，n1 1 =0 =0，即，即x+y=0 x+y=0且且y+2z=0y+2z=0，取取z=1z=1，得得x=2x=2，y=-2y=-2，所以所以n1 1=(2=(2，-2-2，1)1)是平面是平面ADCADC1
30、 1的一个法向量的一个法向量.取平面取平面AAAA1 1B B的的一个法向量为一个法向量为n2 2=(0=(0，1 1，0)0)，设平面，设平面ADCADC1 1与平面与平面ABAABA1 1所成二所成二面角的大小为面角的大小为.由由|cos|=|cos|=得得sin sin=因此，平面因此，平面ADCADC1 1与平面与平面ABAABA1 1所成二面角的正弦值为所成二面角的正弦值为 AD 1AC AD 1AC 121222391|n nn n53，5.3【方法技巧方法技巧】用向量法求空间角的注意点用向量法求空间角的注意点(1)(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为异面直线所成角：两异
31、面直线所成角的范围为0 09090，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解.(2)(2)直线与平面所成的角：要求直线直线与平面所成的角：要求直线a a与平面与平面所成的角所成的角，先，先求这个平面求这个平面的法向量的法向量n与直线与直线a a的方向向量的方向向量a夹角的余弦夹角的余弦coscosn，a，易知，易知=n，a-或者或者 n，a.22(3)(3)二面角二面角:如图如图,有两个平面有两个平面与与,分别作这两个平面的法向分别作这两个平面的法向量量n1 1与与n2 2,则平面则平面与与所成的角跟法向量所成的角跟法向量n1 1与与
32、n2 2所成的角相等所成的角相等或互补或互补,所以首先应判断二面角是锐角还是钝角所以首先应判断二面角是锐角还是钝角.【补偿训练补偿训练】(2013(2013江西高考江西高考)如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCDP-ABCD中，中，PAPA平面平面ABCDABCD，E E为为BDBD的中点，的中点，G G为为PDPD的中点，的中点，DABDABDCBDCB，EA=EB=AB=1EA=EB=AB=1，PA=PA=连接连接CECE并延长交并延长交ADAD于于F.F.(1)(1)求证：求证：ADAD平面平面CFG.CFG.(2)(2)求平面求平面BCPBCP与平面与平面DCPDCP的夹角的余弦值的夹角
33、的余弦值.32，【解题指南解题指南】(1)(1)利用判定定理证明线面垂直时，需证线线垂利用判定定理证明线面垂直时，需证线线垂直，本题易证：直，本题易证：EFADEFAD，GFAD.GFAD.(2)(2)建立空间直角坐标系，借助空间向量求出建立空间直角坐标系，借助空间向量求出.【解析解析】(1)(1)在在ABDABD中，因为中，因为E E是是BDBD的中点，所以的中点，所以EA=EB=EA=EB=ED=AB=1ED=AB=1，故，故BAD=ABE=AEB=BAD=ABE=AEB=因为因为DABDABDCBDCB，所以所以EABEABECBECB，从而有，从而有FED=BEC=AEB=FED=BE
34、C=AEB=所以所以FED=FEAFED=FEA，故，故EFADEFAD，AF=FDAF=FD，又因为，又因为PG=GDPG=GD，所以，所以FGPA.FGPA.又又PAPA平面平面ABCDABCD，所以，所以GFADGFAD，又，又GFEF=FGFEF=F，故，故ADAD平面平面CFG.CFG.2，3，.3(2)(2)以点以点A A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则则A(0A(0，0 0，0)0)，B(1B(1，0 0，0)0)，所以所以设平面设平面BCPBCP的法向量的法向量n1 1=(1=(1，y y1 1，z z1 1)，则则 解得解
35、得 即即n1 1=33C(0)D(03 0)22，3P(0 0).2，1333 3BC(0)CP()22222 ，33CD(0).22 ，11113y022333yz0222，113y32z3，3 2(1).33，同理，设平面同理，设平面DCPDCP的法向量的法向量n2 2=(1=(1，y y2 2，z z2 2)，则则 解得解得 即即n2 2=(1=(1，2).2).从而平面从而平面BCPBCP与平面与平面DCPDCP的夹角的余弦值为的夹角的余弦值为cos=cos=22233y022333yz0222，22y3z2，31212423.41689|n nnn主题五主题五 空间向量解决空间的探索
36、性问题空间向量解决空间的探索性问题【典例典例5 5】(2013(2013北京高考北京高考)如图如图,在三棱柱在三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,AAAA1 1C C1 1C C是边长为是边长为4 4的正方形的正方形.平面平面ABCABC平面平面AAAA1 1C C1 1C,AB=3,BC=5.C,AB=3,BC=5.(1)(1)求证求证:AA:AA1 1平面平面ABC.ABC.(2)(2)求二面角求二面角A A1 1-BC-BC1 1-B-B1 1的余弦值的余弦值.(3)(3)证明证明:在线段在线段BCBC1 1上存在点上存在点D,D,使得使得ADAADA1 1B,
37、B,并求并求 的值的值.1BDBC【自主解答自主解答】(1)(1)因为因为A A1 1ACCACC1 1是正方形是正方形,所以所以AAAA1 1AC.AC.又因为平面又因为平面ABCABC平面平面A A1 1ACCACC1 1,交线为交线为AC,AC,所以所以AAAA1 1平面平面ABC.ABC.(2)(2)因为因为AC=4,BC=5,AB=3,AC=4,BC=5,AB=3,所以所以ACAB.ACAB.分别以分别以AC,AB,AAAC,AB,AA1 1为为x x轴轴,y,y轴轴,z,z轴建立如图所示的空间直角坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系系.则则A A1 1(0(0，0 0，4)4)，B(
38、0B(0，3 3，0)0)，C C1 1(4(4，0 0，4)4)，B B1 1(0(0，3 3，4)4)，=(4=(4，0 0，0)0)，=(0=(0，3 3，4)4)，=(4=(4，3 3，0)0)，=(0=(0，0 0，4)4)，设平面设平面A A1 1BCBC1 1的法向量为的法向量为n1 1=(x=(x1 1，y y1 1，z z1 1)，平面，平面B B1 1BCBC1 1的法向量的法向量为为n2 2=(x=(x2 2，y y2 2，z z2 2)，所以所以所以所以11A C1A B 11B C1BB 11111A C0A B0，nn1114x03y4z0，所以可取所以可取n1 1
39、=(0=(0，4 4，3).3).由由 可得可得 可取可取n2 2=(3=(3，4 4，0).0).所以所以coscosn1 1，n2 2=由图可知二面角由图可知二面角A A1 1-BC-BC1 1-B-B1 1为锐角，为锐角，所以余弦值为所以余弦值为11212B C0BB0，nn2224x3y04z0，12121616.5 525n nn n16.25(3)(3)设点设点D D的竖坐标为的竖坐标为t(0t4)t(0t4)，在平面，在平面BCCBCC1 1B B1 1中作中作DEBCDEBC于于E E，根据比例关系可知，根据比例关系可知D(tD(t，(4(4t)t)，t)(0t4)t)(0t4
40、)，所以，所以 =(t=(t，(4(4t)t)，t)t)，=(0=(0，3 3，4)4)，又因为又因为所以所以 (4(4t)t)4t=04t=0，所以所以t=t=所以所以34AD 341A B 1ADA B ，943625，11BDDE9.BCCC25【方法技巧方法技巧】探索性问题的处理策略探索性问题的处理策略 用空间向量研究立体几何中的探索性用空间向量研究立体几何中的探索性(或存在性或存在性)问题的关问题的关键是构建向量及空间直角坐标系，然后利用空间向量的数量积、键是构建向量及空间直角坐标系，然后利用空间向量的数量积、向量模的投影公式处理空间平行、垂直等位置关系问题，可避向量模的投影公式处理
41、空间平行、垂直等位置关系问题，可避开传统的开传统的“作作证证算算”中的难点，具有较强的可操作中的难点，具有较强的可操作性性提醒：提醒：利用空间几何体的位置关系转化为向量运算的关系式，利用空间几何体的位置关系转化为向量运算的关系式，建立方程是动点存在性问题得以解决的关键建立方程是动点存在性问题得以解决的关键【补偿训练补偿训练】在底面是菱形的四棱锥在底面是菱形的四棱锥P-ABCDP-ABCD中，中，ABC=60ABC=60，PA=AC=aPA=AC=a，PB=PD=PB=PD=点点E E在在PDPD上，且上，且PEEDPEED2121，在棱，在棱PCPC上是否存在一点，使上是否存在一点，使BFBF
42、平面平面AECAEC？证明你的结论？证明你的结论2a，【解析解析】以为坐标原点，直线以为坐标原点，直线ADAD，APAP分别为分别为y y轴、轴、z z轴，过点轴，过点A A作垂直于平面作垂直于平面yOzyOz的直线为的直线为x x轴，建立空间直角坐标系由题轴，建立空间直角坐标系由题知知A(0A(0，0 0，0)0)，B BC C ，D(0D(0，a a，0)0)，P(0P(0，0 0，a)a)，E E3aa(0)22，3a a(0)22，2a a(0)33，2a aAE(0)33，3a a31AC(0)AP0 0aPC(aaa)222231BP(aaa)22 ，设点是棱设点是棱PCPC上的点
43、，上的点，(其中其中0 01)1)，则则令令 得得31PFPC(aaa)22 ，31 a1aBFBPPF(a 1)22，12BFACAE ，111212223a3a1122aa2a4112233a1a 1133 ，1212123.2 ，即当即当=时，时，亦即亦即F F是是PCPC的中点时，的中点时，共面又共面又BFBF 平面平面AECAEC，所以当，所以当F F是棱是棱PCPC的中点时，的中点时，BFBF平面平面AECAEC1213BFACAE22 ，BFAC AE ，【强化训练强化训练】1.1.已知已知a(1 1，0 0，2)2)，b(6(6，221 1，2)2)，若，若ab，则则与与的值可
44、以是的值可以是()()A A2 2，B BC C3 3，2 2D D2 2，2 2121 13 2，【解析解析】选选A.A.因为因为ab，所以存在实数，所以存在实数k k，使，使bk ka，即即(6(6，221 1，2)2)(k(kk k，0 0，2k)2k)，所以所以或所以所以或kk621022k ，122k2 ，123k3.，2 2在长方体在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，下列关于的表达式中，下列关于的表达式.正确的个数是正确的个数是()()A.1A.1个个B.2B.2个个C.3C.3个个D.4D.4个个1AC 11111111111111AAA
45、 BA D ADCCD CABDDD C1(ABCD)A C2 ；，【解题指南解题指南】可借助空间几何体中的有向线段，利用平行四可借助空间几何体中的有向线段，利用平行四边形法则、三角形法则结合所对应的向量进行表示边形法则、三角形法则结合所对应的向量进行表示.【解析解析】选选B.B.通过题意，可知通过题意，可知又所以正确；又所以正确；对于，所以错误；对于，所以错误；同理错误；对于，易得同理错误；对于，易得所以正确，故选所以正确，故选B.B.111111ACAAA BB C ，1111B CA D，1111ADCCD CADDDD CAC ，111111111(ABCD)A CAAA CAC2 ，
46、3.3.如图所示如图所示,在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,以以D D为原点建立空间直为原点建立空间直角坐标系角坐标系,E,E为为BBBB1 1的中点的中点,F,F为为A A1 1D D1 1的中点的中点,则下列向量中能作为则下列向量中能作为平面平面AEFAEF的法向量的是的法向量的是()A A(1(1，2 2，4)4)B B(4 4，1 1，2)2)C C(2(2，2 2，1)1)D D(1(1，2 2，2)2)【解析解析】选选B.B.设平面设平面AEFAEF的法向量的法向量n(x(x，y y，z)z)，正方体，正方体ABCD-ABCD-
47、A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为1 1，则，则A(1A(1，0 0，0)0)，E(1E(1，1 1，)，F(F(，0 0，1)1)故故由由 即即 所以所以只有选项只有选项B B满足，故选满足，故选B.B.121211AE(01)AF(01)22 ，AE0AF0 ，nn1yz021xz02，1yz2x2z.，4.4.若向量若向量a(1(1，2)2)，b(2(2，1 1，2)2)，a，b夹角的余弦夹角的余弦值为值为 则则等于等于_._.【解析解析】coscosa，b 所以所以2 2或或答案：答案：2 2或或89，2248959 ，a ba b2.552555.5.a
48、(1(1t t，1 1t t，t)t)，b(2(2，t t，t)t)，则，则|ba|的最小值的最小值是是_._.【解析解析】ba(1(1t t，2t2t1 1，0)0)，因为因为|ba|2 2(1(1t)t)2 2(2t(2t1)1)2 25t5t2 22t2t2 2 所以所以|ba|minmin答案：答案：21995(t)555，3 5.53 55【误区警示误区警示】求向量求向量ba的模时，不能先进行向量的坐标运的模时，不能先进行向量的坐标运算，再求向量模，而是直接利用算，再求向量模，而是直接利用|ba|=|=而导致计算而导致计算烦琐烦琐.2ba6 6(2013(2013重庆高考重庆高考)如
49、图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCDP-ABCD中，中，PAPA底面底面ABCDABCD，BC=CD=2BC=CD=2，AC=4AC=4，ACB=ACD=FACB=ACD=F为为PCPC的中点，的中点，AFPBAFPB(1)(1)求求PAPA的长的长.(2)(2)求二面角求二面角B-AF-DB-AF-D的正弦值的正弦值3，【解题指南解题指南】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，根据建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，根据AFPBAFPB可求出可求出PAPA的长，再通过求平面的法向量可以求出二面角的长，再通过求平面的法向量可以求出二面角的正弦值的正弦值.【解析解析】(1)(1)如图，连接如图，
50、连接BDBD交交ACAC于于O O，因为，因为BC=CDBC=CD，即，即BCDBCD为等腰三角形，又为等腰三角形，又ACAC平分平分BCDBCD，故，故ACBDACBD，以，以O O为坐标原点，为坐标原点，的方向分别为的方向分别为x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴轴的正方向，建立空间直角坐标系的正方向，建立空间直角坐标系OxyzOxyz，则则OC=CDcos =1OC=CDcos =1，而，而AC=4AC=4，得，得AO=ACAO=ACOC=3.OC=3.又又OD=CDsin OD=CDsin 故故A(0A(0，3 3，0)0)，B(B(，0 0，0)0)，C(0C(0，1 1，0)0)，
