1、1 江苏省南京师范大学附中 2020 届高三高考模拟 数 学 20206 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请将答案 填写在答题卡相应的位置上 ） 1已知集合 A2，3，B2，4，则 AB 2设 i 是虚数单位，复数izab(a，bR)，若 2 42iz ，则 ab 3将 6 个数据 1，2，3，4，5，a 去掉最大的一个，剩下的 5 个数 据的平均数为 1.8，则 a 4右图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是 5从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为 0 的概率是 6函数( )1 l
2、g(2)f xx的定义域为 7曲线2sin() 4 yx (0)的一个对称中心的坐标为(3，0)， 则的最小值为 8设双曲线 22 22 1 xy ab (a0，b0)的左焦点到左准线的距离与它到右准线的距离的比为 2：1，则双曲线的右顶点、右焦点到它的一条渐近线的距离分别为 1 d， 2 d，则 1 2 d d 9如图，一个圆柱的体积为 4，AB、CD 分别是上、下底面直径，且 CDAB，则三棱 锥 ABCD 的体积为 10已知 3 , 0 ( ) sin , 0 xxx f x x x ， 2 3 , 0 ( ) cos, 0 xx x g x xx x ，则不等式( ( )6f g x的
3、解集 为 11直线yaxb是曲线1yx的切线，则 ab 的最小值为 12 各项为正且公差不为 0 的等差数列 n a的第 1 项、 第 2 项、 第 6 项恰好是等比数列 n b 的连续三项（顺序不变） ，设 12231 111 n nn S a aa aa a ，若对于一切的Nn ， 第 4 题 2 1 1 n S a ，则 1 a的最小值为 13在ABC 中，AC2BC4，ACB 为钝角，M，N 是边 AB 上的两个动点，且 MN 1，若CM CN的最小值为 3 4 ，则 cosACB 第 9 题 第 13 题 第 14 题 14设 a，b 是两个实数，0ab，直线 l：ykxm和圆 22
4、 1xy交于两点 A，B， 若对于任意的 ka，b，均存在正数 m，使得OAB 的面积均不小于 3 4 ，则 b2a 的最大值为 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题纸指定区域 内作答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤 ） 15 （本题满分 14 分） 如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为矩形， 平面 PAD平面 ABCD， PAPD， PAPD，E，F 分别为 AD，PB 的中点 （1）求证：平面 PAB平面 PCD； （2）求证：EF平面 PCD 16 （本题满分 14 分） 已知，均为锐角，且 5 tantan() 43 （1）求 cos2的值
5、； 3 （2）若 1 sin() 3 ，求 tan的值 17 （本题满分 14 分） 一种机械装置的示意图如图所示，所有构件都在同一平面内，其中，O，A 是两个固定 点，OA2 米，线段 AB 是一个滑槽（宽度忽略不计） ，AB1 米，OAB60，线段 OP，OQ，PQ 是三根可以任意伸缩的连接杆，OPOQ，O，P，Q 按逆时针顺序排列，该 装置通过连接点 Q 在滑槽 AB 中来回运动，带动点 P 运动，在运动过程中，始终保持 OP 1 4 OQ （1）当点 Q 运动到 B 点时，求 OP 的长； （2）点 Q 在滑槽中来回运动时，求点 P 的运动轨迹的长度 18 （本题满分 16 分） 在平
6、面直角坐标系中，已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)，直线 l：ykxt(k，t R，k0) （1）若椭圆 C 的一条准线方程为 x4，且焦距为 2，求椭圆 C 的方程； （2）设椭圆 C 的左焦点为 F，上顶点为 A，直线 l 过点 F，且与 FA 垂直，交椭圆 C 于 M，N（M 在 x 轴上方） ，若 NF2FM，求椭圆 C 的离心率； （3）在（1）的条件下，若椭圆 C 上存在相异两点 P，Q 关于直线 l 对称，求 t2的取值 4 范围（用 k 表示） 19 （本题满分 16 分） 已知函数 1 ( )(1)exf xaxa ， 2 11 ( ) 22 g xaxx
7、a，其中 aR （1）当 a0 时，求函数 2 1 ( )( )(1) 2 F xf xx在 R 上的零点个数； （2）对任意的 x1，有( )( )f xg x恒成立，求实数 a 的取值范围 20 （本题满分 16 分） 若无穷数列 n a和无穷数列 n b满足：存在正常数 A，使得对任意的 nN，均有 nn abA，则称数列 n a与 n b具有关系 P(A) （1）设无穷数列 n a和 n b均是等差数列，且2 n an，2 n bn(nN)，问：数 列 n a与 n b是否具有关系 P(1)？说明理由； （2） 设无穷数列 n a是首项为 1， 公比为 1 3 的等比数列， 1 1 n
8、n ba ， nN， 证明： 数列 n a与 n b具有关系 P(A)，并求 A 的最小值； （3）设无穷数列 n a是首项为 1，公差为 d(dR)的等差数列，无穷数列 n b是首项 为 2，公比为 q(qN)的等比数列，试求数列 n a与 n b具有关系 P(A)的充要条件 5 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21 【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换 已知二阶矩阵 M 的逆矩阵 1 2 1 M 31 22 （1）求矩阵 M； （2）设直线 l：x4 在矩阵 M
9、 对应的变换的作用下得到直线 l，求 l的方程 B选修 44：坐标系与参数方程 直线 l 的参数方程为 8 2 xt t y （t 为参数） ，椭圆 C 的参数方程为 2 2 2 2 xm ym （m 为 参数） ，设 A 为曲线 C 上一动点，求 A 到直线 l 的距离的最小值 C选修 45：不等式选讲 6 已知：a，b，cR且231abc，求证： 222 1 14 abc 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 某中学有 4 位学生申请 A，B，C 三所大学的自主招生若每位学生只能申请其中一所 大学，且申请其中任何一所大学是等可能的 （1）求恰有 2 人申请 A 大学的概率； （2）求被申请大学的个数 X 的概率分布列与数学期望 E(X) 23 （本小题满分 10 分） 设整数 n3，集合 P1，2，3，n，A，B 是 P 的两个非空子集记 Mn为所有 7 满足 A 中的最大数小于 B 中的最小数的集合对(A，B)的个数 （1）求 M3； （2）求 Mn 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
