1、 表征激光器腔内光子数和工作物质各有关能级上的原子数随时间变化的微分方程组，称为激光器速率方程组(rate equations)。归纳共性，针对一些简化的、具有代表性的模型列出速率方程组，所谓的三能级和四能级系统。激光速率方程理论的出发点是原子的自发辐射、受激辐射和受激吸收几率的基本关系式。22111233212112121121221212212122121,8,)(,)()(fBfBchBABWnWdtdnBWnWdtdnnAdtdnststsp 线型函数可以理解为几率按频率的分布函数),()()()(8),()(0212121213302121gBBWAhcgBB)(),(),()(21
2、02021020AhngAhngPP),()(02121gAA),()(8802133213321gAhcAhcB2102121),()(AdgAdAA21()表示在总自发跃迁几率A21中，分配在频率处单位频率内的自发跃迁几率；W21()表示在总受激跃迁几率W21中，分配在频率处单位频率内的受激跃迁几率dgBndWndtdnAndAndtdnstsp),()()()()(02122122121221221对表达式进行修正该积分与辐射场的带宽有关。1 原子和连续光辐射场的相互作用，2 原子和准单色光辐射场相互作用，由于激光的高度单色性，认为原子和准单色光相互作用，辐射场的中心频率为，带宽为，且。
3、被积函数只在中心频率附近的一个极窄范围内才有非零值。在此频率范围内，可以近似看成不变。引入函数=(-),()(),()(0212021221gBndgBndtdnst表示频率为的准单色光辐射场的总能量密度，Jm-3dd)(),(0g 在频率为的单色辐射场的作用下，受激跃迁几率为),(,),(0121202121gBWgBWllNWNW),(),(0121202121由于谱线加宽，和原子相互作用的单色光的频率并不一定要精确等于原子发光的中心频率0才能产生受激跃迁，而是在=0附近一个频率范围内都能产生受激跃迁。激光器内与第l模内的光子数密度Nl的关系为=Nlh为工作物质中的光速),(8),(),(
4、8),(02022112012020221021gAffgADHAA2023212212022122142ln,4 21(,0)和12(,0)分别称为发射截面和吸收截面，它们具有面积的量纲中心频率处的发射截面与吸收截面最大。当=0时，均匀加宽物质和非均匀加宽物质的发射截面分别为lllnVngAVNVngANngAW),(),(),(02102102121VngAanWll),(02121nl为腔内第l模内的总光子数得到：一个模式内的一个光子引起的受激跃迁几率等于分配到同一模式上的自发跃迁几率。llllnaffWnaW121221,n：腔内单位体积中频率处于附近单位频率间隔内的光波模式数328c
5、n 对W21作出近似计算 设谱线的总自发辐射跃迁几率为A21，谱线宽度为，并假设A21均匀分配在所包含的所有模式上，则分配在一个模式上的自发辐射跃迁几率为VnAal21llNnAVnnAW212121nNAffVnnAffWffWll21122112211212 三能级系统速率方程组：各能级集居数随时间变化的方程和激光器腔内的光子数密度随时间变化的规律RlllNWnWndtdNnnnnSnASnWnWndtdnASnWndtdn121212321323212122121212313231313)()(n为单位体积工作物质内的总粒子数，第l个模式的光子寿命为Rl，工作物质长度l等于腔长L。Rll
6、lllNNnffndtdNnnnnSnASnNnffndtdnASnWndtdn),()()(),()()(02111223213232121202111222313231313 四能级系统速率方程组RlllllNNnffndtdNnnnnnAnWnSndtdnSnASnNnffndtdnASnWndtdn),()()(),()()(0211122321030303010103232121202111222303230303 四能级系统另外一种粒子数密度速率方程llNnffnnnRdtdnNnffnnRdtdn),()(),()(0211122212111102111222222R1、R2为单
7、位体积中，在单位时间内激励至E1、E2能级的粒子数（激励速率）；1、2为E1、E2能级的寿命；21为E2能级由于至E1能级跃迁造成的有限寿命。In Figure we show the ground state 0 as well as the two laser levels 2 and 1 of a four-level laser system.The density of atoms pumped per unit time into level 2 is taken as R2,and that pumped into 1 is R1.Pumping into 1 is,of cou
8、rse,undesirable since it leads to a reduction of the inversion.In many practical situations it cannot be avoided.The actual decay lifetime of atoms in level 2 at the absence of any radiation field is taken as t2.This decay rate has a contribution tspont which is due to spontaneous(photon emitting)21
9、 transition as well as to additional non-radiative relaxation from 2 to 1.The lifetime of atoms in level 1 is t1.采用激励速率和能级寿命来描述粒子数变化速率而不涉及具体的激励及跃迁过程 前面的速率方程忽略了激光下能级的激励过程，对大部分激光工作物质来说，这一忽略是允许的。根据所研究工作物质的激励与跃迁过程选择或建立适用的速率方程 如果激光器中有m个振荡模，其中第l个模的频率、光子数密度、光子寿命分别为l、Nl及Rl。则E2能级的粒子数密度速率方程为 由于每个模式的频率、损耗、值不同，
10、必须建立m个光子数密度速率方程，其中第l个模的光子数密度速率方程为3232121202111222)(),()(SnASnNnffndtdnlllRllllNNnffndtdN),()(0211122),(0lg 1）假设各个模式的衍射损耗比腔内工作物质的损耗及反射镜损耗小很多，因而可以认为各个模式的损耗是相同的。2）将线型函数 用一矩形谱线 代替，并使矩形谱线的高度与谱线轮廓中心点的高度相等，矩形谱线所包含的面积与原有谱线包含的面积相等。即),(0g),(0g),(1),(),(00000ggg 对洛仑兹线型与高斯线型，等效线宽分别为 按照以上简化模型，四能级多模振荡的速率方程可写为（见下页
11、），式中N为各模式光子数密度的总和；21为中心频率处的发射截面；1为E3能级向E2能级无辐射跃迁的量子效率；2为E2能级向E1能级跃迁的荧光效率FF2ln21,2nnnnnWnSndtdnSnAnNnffndtdnSnWndtdnNNnffndtdNR321003010103232212211122213230303211122)()(21212123032321SAAASS 为总量子效率，它的意义：由光泵抽运到E3能级的粒子，只有一部分通过无辐射跃迁到达激光上能级E2，另一部分通过其它途径返回基态。而到达E2能级的粒子，也只有一部分通过自发辐射跃迁到达E1能级并发射荧光，其余粒子通过无辐射跃迁而跃迁到E1能级。21F光子数工作物质从光泵吸收的发射荧光的光子数F 爱因斯坦采用唯象法得到光和物质相互作用的关系式 考虑线型函数后必要的修正：几率按频率的分布函数 原子和准单色光相互作用 单模振荡速率方程组（三能级系统和四能级系统）多模振荡速率方程组
